一、選擇題
1.分析法是從要證明的結論出發,逐步尋求使結論成立的( )
a.充分條件必要條件充要條件等價條件
答案:a
2.結論為:能被整除,令驗證結論是否正確,得到此結論成立的條件可以為( )
且為正奇數為正偶數
答案:c
3.在中,,則一定是( )
a.銳角三角形直角三角形鈍角三角形不確定
答案:c
4.在等差數列中,若,公差,則有,類經上述性質,在等比數列中,若,則的乙個不等關係是( )
答案:b
5.(1)已知,求證,用反證法證明時,可假設,
(2)已知,,求證方程的兩根的絕對值都小於1.用反證法證明時可假設方程有一根的絕對值大於或等於1,即假設,以下結論正確的是( )
a.與的假設都錯誤
b.與的假設都正確
c.的假設正確;的假設錯誤
d.的假設錯誤;的假設正確
答案:d
6.觀察式子:,,,,則可歸納出式子為( )
a. b.
c. d.
答案:c
7.如圖,在梯形中,.若,到與的距離之比為,則可推算出:.試用模擬的方法,推想出下述問題的結果.在上面的梯形中,延長梯形兩腰相交於點,設,的面積分別為,且到與的距離之比為,則的面積與的關係是( )
答案:c
8.已知,且,則( )
答案:b
9.用反證法證明命題:若整係數一元二次方程有有理根,那麼中至少有乙個是偶數時,下列假設中正確的是( )
a.假設都是偶數
b.假設都不是偶數
c.假設至多有乙個是偶數
d.假設至多有兩個是偶數
答案:b
10.用數學歸納法證明,從到,左邊需要增乘的代數式為( )
答案:b
11.模擬「兩角和與差的正余弦公式」的形式,對於給定的兩個函式,,,其中,且,下面正確的運算公式是( )
①;②;
③;④;
答案:d
12.正整數按下錶的規律排列
則上起第2005行,左起第2006列的數應為( )
答案:d
二、填空題
13.寫出用三段論證明為奇函式的步驟是 .
答案:滿足的函式是奇函式, 大前提
, 小前提
所以是奇函式結論
14.已知,用數學歸納法證明時,等於 .
答案:15.由三角形的性質通過模擬推理,得到四面體的如下性質:四面體的六個二面角的平分面交於一點,且這個點是四面體內切球的球心,那麼原來三角形的性質為 .
答案:三角形內角平分線交於一點,且這個點是三角形內切圓的圓心
16.下面是按照一定規律畫出的一列「樹型」圖:
設第個圖有個樹枝,則與之間的關係是 .
答案:三、解答題
17.如圖(1),在三角形中,,若,則;若模擬該命題,如圖(2),三稜錐中,面,若點在三角形所在平面內的射影為,則有什麼結論?命題是否是真命題.
解:命題是:三稜錐中,面,若點在三角形所在平面內的射影為,則有是乙個真命題.
證明如下:
在圖(2)中,鏈結,並延長交於,鏈結,則有.
因為面,,所以.
又,所以.
於是.18.如圖,已知矩形所在平面,分別是的中點.
求證:(1)平面;(2).
證明:(1)取的中點,鏈結.
分別為的中點.
為的中位線,
,,而為矩形,
,且.,且.
為平行四邊形,,而平面,平面,
平面.(2)矩形所在平面,
,而,與是平面內的兩條直交直線,
平面,而平面,
.又,.
19.求證:當乙個圓和乙個正方形的周長相等時,圓的面積比正方形的面積大.
證明:(分析法)設圓和正方形的周長為,依題意,圓的面積為,
正方形的面積為.
因此本題只需證明.
要證明上式,只需證明,
兩邊同乘以正數,得.
因此,只需證明.
上式是成立的,所以.
這就證明了如果乙個圓和乙個正方形的周長相等,那麼圓的面積比正方形的面積最大.
20.已知實數滿足,,求證中至少有乙個是負數.
證明:假設都是非負實數,因為,
所以,所以,,
所以,這與已知相矛盾,所以原假設不成立,即證得中至少有乙個是負數.
21.設,(其中,且).
(1)請你推測能否用來表示;
(2)如果(1)中獲得了乙個結論,請你推測能否將其推廣.
解:(1)由,
又,因此.
(2)由,即,
於是推測.
證明:因為,(大前提).
所以,,,(小前提及結論)
所以.22.若不等式對一切正整數都成立,求正整數的最大值,並證明結論.
解:當時,,即,
所以.而是正整數,所以取,下面用數學歸納法證明:.
(1)當時,已證;
(2)假設當時,不等式成立,即.
則當時,有.
因為,所以,
所以.所以當時不等式也成立.
由(1)(2)知,對一切正整數,都有,
所以的最大值等於25.
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