第三章機械能
一、主要內容
本章內容包括功、功率、動能、勢能（包括重力勢能和彈性勢能）等基本概念，以動能定理、重力做功的特點、重力做功與重力勢能變化的關係及機械能守恆定律等基本規律。其中對於功的計算、功率的理解、做功與物體能量變化關係的理解及機械能守恆定律的適用條件是本章的重點內容。
二、基本方法
本章中所涉及到的基本方法有：用向量分解的方法處理恒力功的計算，這裡既可以將力向量沿平行於物體位移方向和垂直於物體位移方向進行分解，也可以將物體的位移沿平行於力的方向和垂直於力的方向進行分解，從而確定出恒力對物體的作用效果；對於重力勢能這種相對物理量，可以通過巧妙的選取零勢能面的方法，從而使有關重力勢能的計算得以簡化。
三、錯解分析
在本章知識應用的過程中，初學者常犯的錯誤主要表現在：「先入為主」導致解決問題的思路過於僵化，如在計算功的問題中，一些學生一看到要計算功，就只想到w= fscosθ，而不能將思路開啟，從w=pt和w=δet等多條思路進行考慮；不注意物理規律的適用條件，導致亂套機械能守恆定律。
例1 如圖3-1，小物塊位於光滑斜面上，斜面位於光滑水平地面上，在小物塊沿斜面下滑的過程中，斜面對小物塊的作用力 [ ]
a．垂直於接觸面，做功為零
b．垂直於接觸面，做功不為零
c．不垂直於接觸面，做功為零
d．不垂直於接觸面，做功不為零
【錯解】斜面對小物塊的作用力是支援力，應與斜面垂直，因為支援力總與接觸面垂直，所以支援力不做功。故a選項正確。
【錯解原因】斜面固定時，物體沿斜面下滑時，支援力做功為零。受此題影響，有些人不加思索選a。這反映出對力做功的本質不太理解，沒有從求功的根本方法來思考，是形成錯解的原因。
【分析解答】根據功的定義w=f·scosθ為了求斜面對小物塊的支援力所做的功，應找到小物塊的位移。由於地面光滑，物塊與斜面體構成的系統在水平方向不受外力，在水平方向系統動量守恆。初狀態系統水平方向動量為零，當物塊有水平向左的動量時，斜面體必有水平向右的動量。
由於m＜m，則斜面體水平位移小於物塊水平位移。根據圖3-2上關係可以確定支援力與物塊位移夾角大於90°，則斜面對物塊做負功。應選b。
【評析】求解功的問題一般來說有兩條思路。一是可以從定義出發。二是可以用功能關係。
如本題物塊從斜面上滑下來時，減少的重力勢能轉化為物塊的動能和斜面的動能，物塊的機械能減少了，說明有外力對它做功。所以支援力做功。
例2 以20m/s的初速度，從地面豎直向上勢出一物體，它上公升的最大高度是18m。如果物體在運動過程中所受阻力的大小不變，則物體在離地面多高處，物體的動能與重力勢能相等。(g=10m/s2)
【錯解】以物體為研究物件，畫出運動草圖3-3，設物體上公升到h高處動能與重力勢能相等
此過程中，重力阻力做功，據動能定量有
物體上公升的最大高度為h
由式①，②，③解得h=9.5m
【錯解原因】初看似乎任何問題都沒有，仔細審題，問物全體離地面多高處，物體動能與重力勢相等一般人首先是將問題變形為上公升過程中什麼位置動能與重力勢能相等。而實際下落過程也有一處動能與重力勢能相等。
【分析解答】上公升過程中的解同錯解。
設物體下落過程中經過距地面h′處動能等於重力勢能，運動草圖如3-4。
據動能定量
解得h′=8.5m
【評析】在此較複雜問題中，應注意不要出現漏解。比較好的方法就是逐段分析法。
例3 如圖3－5，木塊b與水平桌面間的接觸是光滑的，子彈a沿水平方向射入木塊後留在木塊內，將彈簧壓縮到最短。現將子彈、木塊和彈簧合在一起作研究物件，則此系統在從子彈開始射入木塊到彈簧壓縮到最短的過程中 [ ]
a．動量守恆，機械能守恆
b．動量不守恆，機械能不守恆
c．動量守恆，機械能不守恆
d．動量不守恆，機械能守恆
【錯解】以子彈、木塊和彈簧為研究物件。因為系統處在光滑水平桌面上，所以系統水平方向不受外力，系統水平方向動量守恆。又因系統只有彈力做功，系統機械能守恆。故a正確。
【錯解原因】錯解原因有兩個一是思維定勢，一見光滑面就認為不受外力。二是規律適用條件不清。
【分析解答】以子彈、彈簧、木塊為研究物件，分析受力。在水平方向，彈簧被壓縮是因為受到外力，所以系統水平方向動量不守恆。由於子彈射入木塊過程，發生巨烈的摩擦，有摩擦力做功，系統機械能減少，也不守恆，故b正確。
例4 如圖3－6，質量為m的木塊放在光滑水平面上，現有一質量為m的子彈以速度v0射入木塊中。設子彈在木塊中所受阻力不變，大小為f，且子彈未射穿木塊。若子彈射入木塊的深度為d，則木塊向前移動距離是多少？
系統損失的機械能是多少？
【錯解】（1）以木塊和子彈組成的系統為研究物件。系統沿水平方向不受外力，所以沿水平方向動量守恆。設子彈和木塊共同速度為v。據動量守恆有mv0=（m＋m）v
解得v=mv0
子彈射入木塊過程中，摩擦力對子彈做負功
（2）系統損失的機械能
即為子彈損失的功能
【錯解原因】錯解①中錯誤原因是對摩擦力對子彈做功的位移確定錯誤。子彈對地的位移並不是d，而d打入深度是相對位移。而求解功中的位移都要用對地位移。
錯解②的錯誤是對這一物理過程中能量的轉換不清楚。子彈打入木塊過程中，子彈動能減少並不等於系統機械能減少量。因為子彈減少的功能有一部分轉移為木塊的動能，有一部轉化為焦耳熱。
【分析解答】以子彈、木塊組成系統為研究物件。畫出運算草圖，如圖3—7。系統水平方向不受外力，故水平方向動量守恆。據動量守恆定律有
mv0=(m+m)v(設v0方向為正)
子彈打入木塊到與木塊有相同速度過程中摩擦力做功：
由運動草圖可s木=s子-d ③
【評析】子彈和木塊相互作用過程中，子彈的速度由v0減為v，同時木塊的速度由0增加到v。對於這樣的乙個過程，因為其間的相互作用力為恒力，所以我們可以從牛頓運動定律（即f使子彈和木塊產生加速度，使它們速度發生變化）、能量觀點、或動量觀點三條不同的思路進行研究和分析。類似這樣的問題都可以採用同樣的思路。
一般都要首先畫好運動草圖。例：如圖3-8在光滑水平面上靜止的長木板上，有一粗糙的小木塊以v0沿木板滑行。
情況與題中極其相似，只不過作用位置不同，但相互作用的物理過程完全一樣。
參考練習：如圖3-9一質量為m、長為l的長方形木板b放在光滑的水平地面上，在其右端放一質量為m的小木塊a，m＜m。現以地面為參考係，給a和b以大小相同，方向相反的初速度，使a開始向左運動，b開始向右運動，但最後a剛好沒有滑離b板。
求小木塊a向左運動到達最遠處（對地）離出發點的距離。
提示：注意分析物理過程。情景如圖3-10。
其中隱含條件a剛好沒離b板，停在b板的左端，意為此時a，b無相對運動。a，b作用力大小相等，但加速度不同，由於a的加速度大，首先減為零，然後加速達到與b同速。
例5 下列說法正確的是( )
a．合外力對質點做的功為零，則質點的動能、動量都不變
b．合外力對質點施的衝量不為零，則質點動量必將改變，動能也一定變
c．某質點受到合力不為零，其動量、動能都改變
d．某質點的動量、動能都改變，它所受到的合外力一定不為零。
【錯解】錯解一：因為合外力對質點做功為零，據功能定理有△ea=0，因為動能不變，所以速度v不變，由此可知動量不變。故a正確。
錯解二：由於合外力對質點施的衝量不為零，則質點動量必將改變，v改變，動能也就改變。故b正確。
【錯解原因】形成上述錯解的主要原因是對速度和動量的向量性不理解。對向量的變化也就出現理解的偏差。向量發生變化時，可以是大小改變，也可能是大小不改變，而方向改變。
這時變化量都不為零。而動能則不同，動能是標量，變化就一定是大小改變。所以△ek=0只能說明大小改變。
而動量變化量不為零就有可能是大小改變，也有可能是方向改變。
【分析解答】本題正確選項為d。
因為合外力做功為零，據動能定理有△ek=0，動能沒有變化，說明速率無變化，但不能確定速度方向是否變化，也就不能推斷出動量的變化量是否為零。故a錯。合外力對質點施衝量不為零，根據動量定理知動量一定變，這既可以是速度大小改變，也可能是速度方向改變。
若是速度方向改變，則動能不變。故b錯。同理c選項中合外力不為零，即是動量發生變化，但動能不一定改變，c選項錯。
d選項中動量、動能改變，根據動量定量，衝量一定不為零，即合外力不為零。故d正確。
【評析】對於全盤肯定或否定的判斷，只要找出一反例即可判斷。要證明它是正確的就要有充分的論據。
例6 物體m從傾角為α的固定的光滑斜面由靜止開始下滑，斜面高為h，當物體滑至斜面底端，重力做功的瞬時功率為( )
【錯解】錯解一：因為斜面是光滑斜面，物體m受重力和支援。支援不
錯解二：物體沿斜面做v0=0的勻加速運動a=mgsina
故選b。
【錯解原因】錯解一中錯誤的原因是沒有注意到瞬時功率p=fvcosθ。
只有fv同向時，瞬時功率才能等於fv，而此題中重力與瞬時速度v不是同方向，所以瞬時功率應注意乘上f，v夾角的余弦值。
錯解二中錯誤主要是對瞬時功率和平均功率的概念不清楚，將平均功率當成瞬時功率。
【分析解答】由於光滑斜面，物體m下滑過程中機械能守恆，滑至底端
f、v夾角θ為90°-α
故c選項正確。
【評析】求解功率問題首先應注意求解的是瞬時值還是平均值。如果求瞬時值應注意普遍式p=fv·cosθ（θ為f，v的夾角）當f，v有夾角時，應注意從圖中標明。
例7 一列火車由機車牽引沿水平軌道行使，經過時間t，其速度由0增大到v。已知列車總質量為m，機車功率p保持不變，列車所受阻力f為恒力。求：這段時間內列車通過的路程。
【錯解】以列車為研究物件，水平方向受牽引力和阻力f。
據p=f·v可知牽引力
f=p／v ①
設列車通過路程為s，據動能定理有
【錯解原因】以上錯解的原因是對p=f·v的公式不理解，在p一定的情況下，隨著v的變化，f是變化的。在中學階段用功的定義式求功要求f是恒力。
【分析解答】以列車為研究物件，列車水平方向受牽引力和阻力。設列車通過路程為s。據動能定理
【評析】發動機的輸出功率p恆定時，據p=f·v可知v變化，f就會發生變化。牽動σf，a變化。應對上述物理量隨時間變化的規律有個定性的認識。
下面通過圖象給出定性規律。（見圖3-12所示）
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