第五章數列知識點總結
第一部分數列
1． 2．
題型一歸納、猜想法求數列通項
【例1】根據下列數列的前幾項，分別寫出它們的乙個通項公式
7，77，777，7777，… 1，3，3，5，5，7，7，9，9…
解析：將數列變形為，
將已知數列變為1+0，2+1，3+0，4+1，5+0，6+1，7+0，8+1，9+0，…。可得數列的通項公式為
★題型二應用求數列通項
例2．已知數列的前項和且，求其通項公式.
解析：當，
當又不適合上式，故
熱身練習
1、數列的通項公式為,則數列各項中最小項是第5項
2、已知數列是遞增數列，其通項公式為,則實數的取值範圍是
3、數列的前項和,，則
第二部分等差數列
一、等差數列定義式：
二、等差數列通項公式：
乙個數列是等差數列的等價條件： (a，b為常數)，即是關於n的一次函式，因為，所以關於n的影象是一次函式影象的分點表示形式。
三、等差數列前n項和公式
乙個數列是等差數列的另乙個充要條件： (a，b為常數，a≠0)，即是關於n的二次函式，因為，所以關於n的影象是二次函式影象的分點表示形式。
四、等差數列性質結論
1、3或4個數成等差數列求數值時應按對稱性原則設定，如：3個數a-d,a,a+d； 4個數a-3d,a-d,a+d,a+3d
2、等差中項：若成等差數列，則稱的等差中項，且；成等差數列是的充要條件。
3、等差數列中，
⑴若，則；若，則；
仍成等差數列。
4、若等差數列的項數為2，則；
若等差數列的項數為，則，且，
5、凡按一定規律和次序選出的一組一組的和仍然成等差數列。設，，，則有；
6、, ,則前(m+n為偶數)或(m+n為奇數)最大
7、判斷或證明乙個數列是等差數列的方法：
定義法： 是等差數列
中項法： 是等差數列
通項公式法： 是等差數列
前項和公式法： 是等差數列
熱身練習：
1．等差數列中，，則的值為 16
2．已知數列是等差數列，，其前10項的和，則其公差等於
3、已知等差數列中，等於 15
4、設為等差數列的前項和， =54
5、已知等差數列的前項和為，若7
6、等差數列中，已知，則=；若=242，則= 11；
7、等差數列中，，則前10或11項的和最大。
解：，，∴為遞減等差數列
∴為最大。
8、已知等差數列的前10項和為100，前100項和為10，則前110項和為－110
9、設等差數列的前項和為，已知求出公差的範圍；指出中哪乙個值最大，並說明理由。
解： ，
第三部分等比數列
一等比數列定義：成等比數列。
二等比數列通項公式：，推廣：
三等比數列前n項和： (注意對公比的討論)
四等比數列性質結論：
1、與的等比中項 (同號)；
2、在等比數列中，若，則；若，則；
3、4、設，，， 則有
5、是正項等比數列是等差數列；
6、既是等差數列又是等比數列是各項不為零的常數列。
7、等比數列的判定法
定義法： 為等比數列；
中項法： 為等比數列；
通項公式法： 為等比數列；
前項和法： 為等比數列。
熱身練習：
1、(2023年廣東卷文)已知等比數列的公比為正數，且·=2，=1，則=
2、2007重慶）在等比數列中，a2＝8，a5＝64，，則公比q為 2
3、已知等差數列的公差，且成等比數列，則的值為
4、（2009浙江理）設等比數列的公比，前項和為，則 15 ．
解析 ： 對於
5、①已知等比數列，，則或
②已知數列是等比數列，且，則= 70
③在等比數列中，公比，前99項的和，則32
④在等比數列中，若，則2或-2；若，則2
⑤在等比數列中，，則
6、設等比數列的公比與前項和分別為和，且≠1，
7、在等比數列中，則，
若，則8、，則=
第四部分求雜數列通項公式
一、構造等差數列：遞推式不能構造等比時，構造等差數列。
第一類：凡是出現分式遞推式都可以構造等差數列來求通項公式，例如：，
兩邊取倒數是公差為2的等差數列，從而求出。
第二類：
是公差為1的等差數列
二、遞推：即按照後項和前項的對應規律，再往前項推寫對應式。
（累加法）例1：已知求其通項公式
解析：因為，所以
所以即：。（累乘法）例2:已知，求其通項公式。
解： ，
點撥：在遞推關係中若求用累加法，若求用累乘法，若，求用待定係數法或迭代法。
第五部分求前n項和
一裂項相消法：常見的拆項公式：
④； ⑤
、例1數列為等差數列，為正整數，其前項和為，數列為等比數列，且，數列是公比為64的等比數列，.
（1）求；（2）求證.
解：（1）設的公差為，的公比為，則為正整數，，
依題意有①由知為正有理數，故為的因子之一，解①得故
（2）∴
二錯位相減法：凡等差數列和等比數列對應項的乘積構成的數列求和時用此方法，
例2求：
解：當時，；
當時，；
當時，①
②①減②得：
錯位相減法的步驟：(1)將要求和的雜數列前後各寫出三項，列出①式；(2)將①式左右兩邊都乘以公比q，得到②式；(3)用①②，錯位相減；(4)化簡計算
三倒序相加法：前兩種方法不行時考慮倒序相加法：（《導學教程》第四章第四節「對點訓練」2題）
高中數列知識點總結
數列第一部分等差數列 一定義式 二通項公式 乙個數列是等差數列的等價條件 a，b為常數 即是關於n的一次函式，因為，所以關於n的影象是一次函式影象的分點表示形式。三前n項和公式 按照序號順序，使用公式。即首選 公式解題，再選 乙個數列是等差數列的另乙個充要條件 a，b為常數，a 0 即是關於n的二次...
高中數列知識點總結
1 數列的概念 1 已知，則在數列的最大項為 答 2 數列的通項為，其中均為正數，則與的大小關係為 答 3 已知數列中，且是遞增數列，求實數的取值範圍 答 2.等差數列的有關概念 一 複習目標 1 理解等差數列的概念和性質 2 掌握等差數列的通項公式與前n項和公式，並能用公式解決簡單問題 二 知識網...
人教版高中數列知識點總結知識點例題
知識點1 等差數列及其前n項 1 等差數列的定義 2 等差數列的通項公式 如果等差數列的首項為a1，公差為d，那麼它的通項公式an a1 n 1 d 3 等差中項 如果 a 那麼a叫做a與b的等差中項 4 等差數列的常用性質 1 通項公式的推廣 an am n m d，n，m n 2 若為等差數列，...