第十一章：三角形
1、三角形
由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。
2、三角形有3條邊、3個頂點、3個角
頂點是a，b，c的三角形，記作△abc，讀作「三角形abc」。線段ab，bc，ca是三角形的邊，點a，b，c是三角形的頂點。∠a，∠b，∠c是相鄰兩邊組成的角，叫做三角形的內角，簡稱三角形的角。
△abc的三邊，有時也用a，b，c來表示，頂點a所對的邊bc用a表示，頂點b所對的邊ac用b表示，頂點c所對的邊ab用c表示。
3、三角形的分類：
銳角三角形：三個內角都是銳角的三角形
按照三個內角的大小分直角三角形：有乙個內角是直角的三角形
鈍角三角形：有乙個內角是鈍角的三角形
注：由三角形內角和為180°可知，三角形的三個內角中至少有兩個銳角，所以判斷乙個三角形的種類，只需要判斷最大的內角是什麼角即可。
三邊都不相等的三角形
按邊的相等關係分
底邊和腰不相等的等腰三角形
等腰三角形
等邊三角形
4、三角形三邊之間的大小關係
由「兩點之間，線段最短」可得：三角形兩邊的和大於第三邊。
由不等式的性質易得推論：三角形兩邊的差小於第三邊。
三邊關係的應用：
（1）判斷三條已知線段能否組成三角形（技巧：只需驗證兩小邊是否大於最大邊即可）。
（2）當已知兩邊時，可確定第三邊的大小範圍（兩邊之差＜第三邊＜兩邊之和）。
（3）證明線段不等關係。
（4）求三角形的邊長或周長時注意驗證三條邊能否組成三角形。
5、三角形的高：
從三角形的乙個頂點向它的對邊做垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形該邊上的高。
三角形有三條高，三條高相交於一點。三角形三條高的交點叫做三角形的垂心。
銳角三角形的垂心在三角形內部，直角三角形的垂心即直角頂點，鈍角三角形的垂心在三角形的外部。
6、三角形的中線：
在三角形中，連線乙個頂點和它對邊的中點的線段叫做三角形的中線。
三角形的三條中線相交於一點。三角形三條中線的交點叫做三角形的重心。
7、三角形的角平分線：
三角形的乙個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點間的線段叫做三角形的角平分線。
三角形的三條角平分線相交於一點。三角形三條角平分線的交點叫做三角形的內心。
8、三角形的穩定性：
三角形的形狀是固定的，三角形的這個性質叫做三角形的穩定性。
9、三角形內角和定理
三角形三個內角的和等於180°。（證明方法通常有兩種：一是過三角形的乙個頂點作對邊的平行線，二是過三角形的乙個外角作對邊的平行線。）
由三角形內角和定理易得：（1）直角三角形（符號表示為「rt△」）的兩個銳角互餘。
2）有兩個角互餘的三角形是直角三角形。
10、三角形的外角
三角形的一邊與鄰邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角。
由三角形內角和定理易得：（3）三角形的外角等於與它不相鄰的兩個內角的和。
4）三角形的外角大於任何乙個和它不相鄰的內角。
11、多邊形
在平面內，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形。
三角形是最簡單的多邊形。
如果乙個多邊形由n條線段組成，那麼這個多邊形就叫做n邊形。n邊形有n個頂點，n條邊，n個內角，n個外角。
多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的內角。
多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角。
連線多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線。
畫出多邊形的任何一條邊所在直線，如果整個多邊形都在這條直線的同一側，那麼這個多邊形就是凸多邊形。
各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形。
12、多邊形的內角和
由n邊形的乙個頂點出發，可以作（n－3）條對角線，它們將n邊形分為（n－2）個三角形，所以：n邊形的內角和＝（n－2）×180°
推論：多邊形的外角和等於360°。（每個外角與它相鄰的內角都是鄰補角，所以n邊形的內角和與外角和的和為n×180°，再減去內角和易得結論。）
多邊形的外角和與邊數n無關。
技巧：正n邊形的乙個內角的度數＝180°－360°÷n。
13、鑲嵌
用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，通常把這類問題叫做用多邊形覆蓋平面（或平面鑲嵌）。這裡的多邊形可以形狀相同，也可以形狀不同。
實現鑲嵌的條件：拼接在同一點的各個角的和恰好等於360°。
只用一種正多邊形鑲嵌地面：只有正三角形、正方形和正六邊形可實現。
用兩種或者三種正多邊形也可進行鑲嵌。
不能用3種以上的正多邊形鑲嵌（因為60°＋90°＋108°＋120°＝378°＞360°）
第十二章：全等三角形
1、全等形：能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形。全等形的形狀、大小完全相同。
2、全等三角形：
能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。
重合的頂點叫做對應頂點，重合的邊叫做對應邊，重合的角叫做對應角。
記兩個三角形全等時，通常把對應頂點的字母寫在對應的位置上。
全等用符號「≌」表示，讀作「全等於」。
3、全等三角形的性質
全等三角形的對應邊相等，全等三角形的對應角相等。
注：全等三角形的周長相等、面積相等。
全等三角形的對應邊上的中線、高線、角平分線分別相等。
4、三角形全等的判定
1）三邊分別相等的兩個三角形全等（可以簡寫成「邊邊邊」或「sss」）。
2）兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等（可以簡寫成「邊角邊」或「sas」）。
3）兩角和它們的夾邊分別相等的兩個三角形全等（可以簡寫與「角邊角」或「asa」）。
4）兩角和其中乙個角的對邊分別相等的兩個三角形全等（可以簡寫成「角角邊」或「aas」）。
5）斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成「斜邊、直角邊」或「hl」）。
注：1）由三角形全等的條件可知，對於兩個直角三角形，滿足一邊一銳角分別相等，或兩直角邊分別相等，這兩個直角三角形就全等。
2）有兩邊和其中一邊的對角分別相等的兩個三角形不一定全等。
3）三角形全等判定中至少需要三個條件（在hl中還有乙個隱含條件：相等的直角），三個條件中至少有一條邊（即：三個角相等的兩個三角形不一定全等）。
4）以上各結論均可通過畫圖進行驗證。
5）因為全等三角形的對應邊相等，對應角相等，所以證明線段相等或角相等時，常常通過證明它們是全等三角形的對應邊或對應角來解決。
6）證明兩個三角形全等的基本思路：
找兩邊一邊相等找兩角兩三角形全等
找一邊及夾角
如果兩個三角形為直角三角形，考慮hl。
4、角的平分線的性質
角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等。
角平分線的判定：角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上。
注：三角形的內心到三角形三邊的距離相等。
5、證明乙個幾何命題的步驟
1）明確命題中的已知和求證；
2）根據題意，畫出圖形，並用數學符號表示已知和求證；
3）經過分析，找出由已知推出要證的結論的途徑，寫出證明的過程。
第十三章：軸對稱
1、軸對稱圖形
如果乙個平面圖形沿一條直線摺疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸。這時，我們也說這個圖形關於這條直線（成軸）對稱。
2、軸對稱
把乙個圖形沿著某一條直線摺疊，如果它能夠與另乙個圖形重合，那麼就說這兩個圖形關於這條直線（成軸）對稱，這條直線叫做對稱軸，摺疊後重合的點是對應點，叫做對稱點。
3、軸對稱圖形和軸對稱的區別與聯絡
區別：1）軸對稱圖形是指乙個具有特殊形狀的圖形，只對乙個圖形而言；軸對稱是指兩個圖形的位置關係，必須涉及兩個圖形。
2）軸對稱圖形的對稱軸可能有多條或無數條（如圓）；軸對稱只有一條對稱軸。
聯絡：1）把成軸對稱的兩個圖形看成乙個整體，它就是乙個軸對稱圖形。
2）把乙個軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖形，這兩個圖形關於這條軸對稱。
4、垂直平分線
經過線段中點並且垂直於這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（又叫中垂線）。
5、軸對稱的性質
1）成軸對稱的兩個圖形全等，對應邊相等，對應角相等，對應點的鏈結垂直於對稱軸且被對稱軸平分。
2）如果兩個圖形關於某條直線對稱，那麼對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線。
3）軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應點所連線段的垂直平分線。
6、線段的垂直平分線的性質
線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等。
與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。
7、準確作出軸對稱或軸對稱圖形的對稱軸的方法
只要找到任意一組對應點，作出對應點所連線段的垂直平分線，就得到對稱軸。
8、畫軸對稱圖形的方法
只要畫出圖形中的一些特殊點（如線段端點）的對稱點，連線這些對稱點，就可以得到原圖形的軸對稱圖形。
9、在直角座標系中，分別以x軸和y軸為對稱軸時，一對對稱點的座標之間的關係
在平面直角座標系中，關於x軸對稱的點橫座標相等，縱座標互為相反數；關於y軸對稱的點縱座標相等，橫座標互為相反數。即：
點（x，y）關於x軸對稱的點的座標為（x，－y）；
點（x，y）關於y軸對稱的點的座標為（－x， y）；
10、等腰三角形的性質
等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成「等邊對等角」）。
等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合（簡寫成「三線合一」）。
等腰三角形是軸對稱圖形，底邊上的中線（頂角平分線、底邊上的高）所在直線就是它的對稱軸。
11、等腰三角形的判定方法
如果乙個三角形有兩個角相等，那麼這兩個角所對的邊也相等（簡寫成「等角對等邊」）。
12、等邊三角形的性質
等邊三角形的三個內角都相等，並且每乙個角都等於60°。
13、等邊三角形的判定方法
三個角都相等的三角形是等邊三角形。
有乙個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。
14、在直角三角形中，如果乙個銳角等於30°，那麼它所對的直角邊等於斜邊的一半。
2023年新人教版八年級上冊數學知識點歸納
三角形的內角和定理 三角形的內角和為180 直角三角形的兩個銳角互餘 有兩個角互餘的三角形是直角三角形.三角形外角的性質 性質1 三角形的乙個外角等於和它不相鄰的兩個內角的和.性質2 三角形的乙個外角大於任何乙個和它不相鄰的內角.三角形的乙個外角和與之相鄰的內角互補.過三角形的乙個頂點有兩個外角，這...
2023年新人教版八年級上冊數學知識點歸納
歸納第十一章三角形 一 知識框架 二 知識概念 1.三角形 由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.2.三邊關係 三角形任意兩邊的和大於第三邊，任意兩邊的差小於第三邊.3.高 從三角形的乙個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足間的線段叫做三角形的高.4.中線 在三角形中，連...
2023年新人教版八年級上冊數學知識點歸納
八年級上冊數學知識點 歸納第十一章三角形 一 知識框架 二 知識概念 1.三角形 由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.2.三邊關係 三角形任意兩邊的和大於第三邊，任意兩邊的差小於第三邊.3.高 從三角形的乙個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足間的線段叫做三角形的高.4...