考試內容:
數學探索版權所有角的概念的推廣.弧度制.
數學探索版權所有任意角的三角函式.單位圓中的三角函式線.同角三角函式的基本關係式.正弦、余弦的誘導公式.
數學探索版權所有兩角和與差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切.
數學探索版權所有正弦函式、余弦函式的影象和性質.週期函式.函式y=asin(ωx+φ)的影象.正切函式的影象和性質.已知三角函式值求角.
數學探索版權所有正弦定理.餘弦定理.斜三角形解法.
數學探索版權所有考試要求:
數學探索版權所有理解任意角的概念、弧度的意義能正確地進行弧度與角度的換算.
數學探索版權所有掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義;了解餘切、正割、餘割的定義;掌握同角三角函式的基本關係式;掌握正弦、余弦的誘導公式;了解週期函式與最小正週期的意義.
數學探索版權所有掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式;掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.
數學探索版權所有能正確運用三角公式,進行簡單三角函式式的化簡、求值和恒等式證明.
數學探索版權所有理解正弦函式、余弦函式、正切函式的影象和性質,會用「五點法」畫正弦函式、余弦函式和函式y=asin(ωx+φ)的簡圖,理解a.ω、φ的物理意義.
數學探索版權所有會由已知三角函式值求角,並會用符號arcsinx\arc-cosx\arctanx表示.
數學探索版權所有掌握正弦定理、餘弦定理,並能初步運用它們解斜三角形.
數學探索版權所有同角三角函式基本關係式:sin2α+cos2α=1,sinα/cosα=tanα,tanαcosα=1」.
§04. 三角函式知識要點
1. ①與(0°≤<360°)終邊相同的角的集合(角與角的終邊重合):
②終邊在x軸上的角的集合:
③終邊在y軸上的角的集合:
④終邊在座標軸上的角的集合:
⑤終邊在y=x軸上的角的集合:
⑥終邊在軸上的角的集合:
⑦若角與角的終邊關於x軸對稱,則角與角的關係:
⑧若角與角的終邊關於y軸對稱,則角與角的關係:
⑨若角與角的終邊在一條直線上,則角與角的關係:
⑩角與角的終邊互相垂直,則角與角的關係:
2. 角度與弧度的互換關係:360°=2 180°= 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′
注意:正角的弧度數為正數,負角的弧度數為負數,零角的弧度數為零.
、弧度與角度互換公式: 1rad=°≈57.30°=57°18ˊ. 1°=≈0.01745(rad)
3、弧長公式:. 扇形面積公式:
4、三角函式:設是乙個任意角,在的終邊上任取(異於原點的)一點p(x,y)p與原點的距離為r,則
5、三角函式在各象限的符號:(一全二正弦,三切四余弦)
6、三角函式線
正弦線:mp; 余弦線:om; 正切線: at.
7. 三角函式的定義域:
8、同角三角函式的基本關係式:
9、誘導公式:
「奇變偶不變,符號看象限」
三角函式的公式:(一)基本關係
公式組二公式組三
公式組四公式組五公式組六
(二)角與角之間的互換
公式組一公式組二
公式組三公式組四公式組五
,,,.
10. 正弦、余弦、正切、餘切函式的圖象的性質:
注意:①與的單調性正好相反;與的單調性也同樣相反.一般地,若在上遞增(減),則在上遞減(增).
②與的週期是.
③或()的週期.
的週期為2(,如圖,翻摺無效).
④的對稱軸方程是(),對稱中心();的對稱軸方程是(),對稱中心();的對稱中心().
⑤當·;·.
⑥與是同一函式,而是偶函式,則
.⑦函式在上為增函式.(×) [只能在某個單調區間單調遞增. 若在整個定義域,為增函式,同樣也是錯誤的].
⑧定義域關於原點對稱是具有奇偶性的必要不充分條件.(奇偶性的兩個條件:一是定義域關於原點對稱(奇偶都要),二是滿足奇偶性條件,偶函式:,奇函式:)
奇偶性的單調性:奇同偶反. 例如:是奇函式,是非奇非偶.(定義域不關於原點對稱)
奇函式特有性質:若的定義域,則一定有.(的定義域,則無此性質)
⑨不是週期函式;為週期函式();
是週期函式(如圖);為週期函式();
的週期為(如圖),並非所有週期函式都有最小正週期,例如:
.⑩ 有.
11、三角函式圖象的作法:
1)、幾何法:
2)、描點法及其特例——五點作圖法(正、余弦曲線),三點二線作圖法(正、餘切曲線).
3)、利用圖象變換作三角函式圖象.
三角函式的圖象變換有振幅變換、週期變換和相位變換等.
函式y=asin(ωx+φ)的振幅|a|,週期,頻率,相位初相(即當x=0時的相位).(當a>0,ω>0 時以上公式可去絕對值符號),
由y=sinx的圖象上的點的橫座標保持不變,縱座標伸長(當|a|>1)或縮短(當0<|a|<1)到原來的|a|倍,得到y=asinx的圖象,叫做振幅變換或叫沿y軸的伸縮變換.(用y/a替換y)
由y=sinx的圖象上的點的縱座標保持不變,橫座標伸長(0<|ω|<1)或縮短(|ω|>1)到原來的倍,得到y=sinω x的圖象,叫做週期變換或叫做沿x軸的伸縮變換.(用ωx替換x)
由y=sinx的圖象上所有的點向左(當φ>0)或向右(當φ<0)平行移動|φ|個單位,得到y=sin(x+φ)的圖象,叫做相位變換或叫做沿x軸方向的平移.(用x+φ替換x)
由y=sinx的圖象上所有的點向上(當b>0)或向下(當b<0)平行移動|b|個單位,得到y=sinx+b的圖象叫做沿y軸方向的平移.(用y+(-b)替換y)
由y=sinx的圖象利用圖象變換作函式y=asin(ωx+φ)(a>0,ω>0)(x∈r)的圖象,要特別注意:當週期變換和相位變換的先後順序不同時,原圖象延x軸量伸縮量的區別。
4、反三角函式:
函式y=sinx,的反函式叫做反正弦函式,記作y=arcsinx,它的定義域是[-1,1],值域是.
函式y=cosx,(x∈[0,π])的反應函式叫做反余弦函式,記作y=arccosx,它的定義域是[-1,1],值域是[0,π].
函式y=tanx,的反函式叫做反正切函式,記作y=arctanx,它的定義域是(-∞,+∞),值域是.
函式y=ctgx,[x∈(0,π)]的反函式叫做反餘切函式,記作y=arcctgx,它的定義域是(-∞,+∞),值域是(0,π).
ii. 競賽知識要點
一、反三角函式.
1. 反三角函式:⑴反正弦函式是奇函式,故,(一定要註明定義域,若,沒有與一一對應,故無反函式)
注:,,.
⑵反余弦函式非奇非偶,但有,.
注:①,,.
②是偶函式,非奇非偶,而和為奇函式.
⑶反正切函式:,定義域,值域(),是奇函式,
,.注:,.
⑷反餘切函式:,定義域,值域(),是非奇非偶.
,.注:①,.
②與互為奇函式,同理為奇而與非奇非偶但滿足.
⑵ 正弦、余弦、正切、餘切函式的解集:
的取值範圍解集的取值範圍解集
①的解集的解集
>11=11
<11③的解集:
③的解集:
二、三角恒等式.
組一組二
組三三角函式不等式
在上是減函式若,則
高考數學常考知識點之三角函式
三角函式 考試內容 數學探索版權所有角的概念的推廣 弧度制 數學探索版權所有任意角的三角函式 單位圓中的三角函式線 同角三角函式的基本關係式.正弦 余弦的誘導公式 數學探索版權所有兩角和與差的正弦 余弦 正切 二倍角的正弦 余弦 正切 數學探索版權所有正弦函式 余弦函式的影象和性質 週期函式 函式y...
高考數學之三角函式知識點總結
三角函式 一 基礎知識 定義1 角,一條射線繞著它的端點旋轉得到的圖形叫做角。若旋轉方向為逆時針方向,則角為正角,若旋轉方向為順時針方向,則角為負角,若不旋轉則為零角。角的大小是任意的。定義2 角度制,把一周角360等分,每一等價為一度,弧度制 把等於半徑長的圓弧所對的圓心角叫做一弧度。360度 2...
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