《機構教師培訓系列教材》 數與數的運算初中數學部分（1）
一、初中數學中的數與數的運算：
中學階段的數的最大範圍為複數，學習的運算包括加減乘除、乘方開方取對數，還有微積分初步。初中階段最大範圍是實數，數的運算只學到開立方為止。
學習過程：第一章有理數（七上） 第十三章實數（八下）
學習要求：
（一）基本要求：
1、理解數軸的作用，能從數與形兩方面理解相反數、絕對值的意義，會求乙個數的相反數與絕對值（絕對值符號內不含字母）。會用數軸上的點表示有理數，會比較有理數的大小。
2、會進行有理數的加、減、乘、除、乘方及簡單的混合運算（以三步為主），並能運用運算律簡化運算。
3、領會平方根、 算術平方根、 立方根的概念，會求某些非負數的平方根及某些實數的立方根，會用計算器求平方根和立方根。領會無理數和實數的概念，會區分有理數與無理數。領會實數與數軸上點的對應關係。
會按實際要求用近似的有限小數表示無理數，會估算實數的大小（可以利用計算器），能運用實數的運算解決簡單問題。
4、了解近似數與有效數字的概念。解決實際問題中，能用計算器進行近似計算，會按問題的要求對最後的計算結果取近似值（避免中間計算的誤差）。
5、領會二次根式的概念，掌握二次根式的性質：2a =0=
=0a ≠)的意義，領會同類二次根式、最簡二次根式的意義，會對二次根式進行加、減、乘、除（分母中只含乙個二次根式）的簡單四則運算（根號內是有理數，若根號內有字
母，沒有特殊說明則字母表示非負數）a =
（二）較高要求
1、通過實數運算法則產生的過程學會合理的推導方法。通過算術中運算律擴充到實數範圍的過程學會合理擴充運算律的驗證方法。理解絕對值與非負數之間的聯絡。
通過絕對值、有理數、相反數的意義領會分類的思想方法。
2、會化去分母中的二次根式（分母中只含有乙個二次根式如：
121- ）。會對 2a (a
為實數)分類討論，||a （a 為實數）1)1x x <=-
二、知識點： （一）有理數：
1。有理數定義：有理數是整數和分數的統稱，一切有理數都可以化成分數的形式。
2。有理數的分類: ①
負分數負整數負有理數零正分數正整數正有理數有理數 ② 負分數正分數分數負整數零正整數整數有理數
3。非負數：正數與零的統稱。 4。相反數：如果兩個數的和為0.那麼這兩個數互為相反數.
求相反數的公式: a 的相反數為-a性質：①a≠0時，a≠-a;②a 與-a 在數軸上的位置關於原點對稱;③兩個相反數的和為0,商為-1。 注意：0的相反數是0。
5。數軸：定義（「三要素」）:
具有原點、正反方向、單位長度的直線叫數軸。 作用：①直觀地比較實數的大小;②明確體現絕對值意義;③所有的有理數可以在數軸上表示出來，所有的無理數如都可以在數軸上表示出來，故數軸上的點有的表示有理數，有的表示無理數，數軸上的點與實數是一一對應關係。
6。絕對值
定義：正數的絕對值是它的本身，0的絕對值是它的本身，負數的絕對值是它的相反數。 幾何定義：
數a 的絕對值頂的幾何意義是實數a 在數軸上所對應的點到原點的距離。 ①符號"││」是「非負數」的標誌; ②數a 的絕對值只有乙個;
（二）有理數的運算
加法、減法、乘法、除法、乘方等運算
1。運算律
①加法的交換律 a+b=b+a ；
②加法的結合律a+(b+c)=(a+b)+c ；
③乘法的交換律 a ×b=b ×a
④乘法的結合律 a ×(b ×c)=(a ×b)×c ；；
⑤乘法的分配律 a ×(b+c)=a ×b+a ×c
2。有理數的運算法則
加法1.同號相加，取相同符號，並把絕對值相加。
2.絕對值不等的異號相加，取絕對值較大的加數符號，並用較大的絕對值減去較小的絕對值。互為相反數的兩個數相加得0。
3.乙個數同0相加，仍得這個數。
4.相反數相加結果一定得0。
注意一是確定結果的符號;二是求結果的絕對值. 在進行有理數加法運算時,首先判斷兩個加數的符號:是同號還是異號,是否有0.
從而確定用那一條法則。在應用過程中，一定要牢記"先符號,後絕對值"，熟練以後就不會出錯了. 多個有理數的加法，可以從左向右計算,也可以用加法的運算定律計算，但是在下筆前一定要思考好,哪乙個要用定律哪
乙個要從左往右計算.
減法1。減去乙個數，等於加上這個數的相反數。
2。兩變：減法運算變加法運算，減數變成它的相反數做加數。一不變：被減數不變。 表示成： a －b=a+（－b ）。
乘法1 .兩數相乘，同號為正，異號為負，並把絕對值相乘。例：（-5）×（-3）=15 （-6）×4=-24 。
2. 任何數同0相乘，都得0。 例：0×1=0
3. 幾個不等於0的數字相乘，積的符號由負因數的個數決定。當負因數有奇數個數時，積為負；當負因數有偶數個數時，積為正。
並把其絕對值相乘。例：（-10）×〔-5〕×（-0.
1）×（-6)=積為正數，而（-4）×（-7）×(-25）=積為負數
4 .幾個數相乘，有乙個因數為0時，積為0。 例：3×（-2）×0=0 。 5. 乘積為1的兩個有理數互為倒數。例如，—3與—1/3，—3/8與—8/3。
除法1. 除以乙個數等於乘以這個數的倒數。（注意：0沒有倒數）
2. 兩數相除，同號為正，異號為負，並把絕對值相除。
3 .0除以任何乙個不等於0的數，都等於0。
注意：0在任何條件下都不能做除數。
乘方1。定義：求n 個相同因數的積的運算。乘方的結果叫做冪；用字母表示
an a a a a 個記作n a ，其中a 叫做底數，n 叫做指數，n a 的結果叫做冪；讀法：n a 讀作a 的n 次方。 指數
冪 底數
注意：當底數是負數或分數時一定要用括號把底數括起來。乙個數可以看作這個
數本身的一次方。
2. 負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數；
3 .正數的任何次冪都是正數；
4. 0的任何正整數次冪都是0。
運算順序
1。先算乘方;
2。再算乘除，最後算加減;
3。如果遇到括號， 則先進行括號裡的運算
例如33.若|m ﹣n|=n ﹣m ，且|m|=4，|n|=3，則（m+n ）2
4.計算|﹣1|+（﹣2）2
5.若|a ﹣2|與（b+3）2互為相反數，則b a 的值為（ ） na．
（三）有理數混合運算典型例題講解
計算=例2.若規定一種運算「」：，如，，那麼的值等於
解：使其結果等於24，則列式為
解：（答案不唯一）
計算①②
①小題有三個負因數相乘積為負。再利用乘法交換律先計算的值。
②小題把小數轉化為假分數，因數一正兩負乘積為正，再統一約分。
①原式==①
②利用分配律進行計算。②小題把化為再利用分配律進行計算。
①原式=
=計算：①②③
分析：③小題可以直接計算，也可以把寫成24+後利用分配律進行計算。
解：①原式=－1+0+6.5=5.5
②原式=
③原式=
例7.計算①
②分析：在有理數的加、減、乘、除、乘方五種運算中，加、減叫作第一級運算，乘、除叫作第二級運算，乘方叫作第**運算。沒有括號時，先做第**運算，再作第二級運算，最後做第一級運算。
在同一級運算中，按照由左到右的順序進行。有括號時，按照小括號、中括號、大括號的順序進行運算。在有理數的混合運算中一定要注意有理數的運算順序。
①小題還可以逆用乘法分配律，從而簡化運算。
解：①原式===
==或：原式===
=②原式===
)(無限不迴圈小數負有理數
正有理數無理數-----)()32,21()32,21()()3,2,1()3,2,1,0(無限迴圈小數有限小數整數負分數正分數小數分數負整數自然數整數有理數、、 實數
例8.計算
③ ④
分析：絕對值是非負數，所以不論是偶次方還是奇次方，結果都是非負的，但是不要把絕對值或者乘方以外的負號帶到運算裡面去。
解：①原式=
②原式=
③原式=
④原式=
例9.已知a ，b 互為相反數，c ，d 互為倒數，x 的絕對值等於2，試求
值。解：由題意，得a+b=0，cd=1，|x|=2，x=2或－2.
所以= 當x=2時，原式=
=4－2－1=1； 當x=－2時，原式=
=4－（－2）－1=5。
例10.半徑是10cm ，高為30cm 的圓柱形水桶中裝滿水，小明先將桶中的水倒滿2個底面半徑為3cm 高為6cm 的圓柱形杯子，再把剩下的水倒入長，寬，高分別為40cm ，30cm 和20cm 的長方體容器內，長方體容器內水的高度大約是多少?（取3，容器厚度不算）
解：水桶內水的體積為×102×30，倒滿2個杯子後，剩下的水的體積為：
（×102×30－2××32×6）
∴長方體容器內水的高度為：
（×102×30－2××32×6）÷（40×30）
=（9000－324）÷1200=8676÷1200≈7cm
答：長方體容器內水的高度大約是7cm 。 （四）實數的運算
實數的運算貫穿於初中數學的始終，是學好初中代數的基礎。熟練掌握實數的運算法則、運算律以及運算順序並能正確、靈活地運用它們解決計算問題是學好數學的關鍵。
實數和有理數一樣，也可以進行加、減、乘、除、乘方運算。 而且有理數的運算法則與運算律對實數仍然成立。
實數的開方
定義：開方是數**算的一種，指求乙個數的方根的運算，是乘方的逆運
三、中考數學精選例題解析：
考點分析：
實數的運算貫穿於初中數學的始終，是學好初中代數的基礎。熟練掌握實數的運算法則、運算律以及運算順序並能正確、靈活地運用它們解決計算問題是學好數學的關鍵。中考中經常出現的考點有：
混合、綜含運算，非負數問題、分類討論(絕對值、平方根問題)、數形結合(數軸問題、尋找規律等。
精典例題：
【例1】填空：
－1－1－1－11)(1)(1)(1
1)1()1(+--n n
（n 為正整數） 3
5)3()2()213)(2
1()2()1(2354322220012000125.08
分析：（1）根據同號兩數、異號兩數相加、減、乘、除的法則，先確定符號，再算絕對值。
（2）多個因數相乘時，由負因數個數的奇偶先定符號，再將絕對值相乘，乘方時注意負數的偶次方為正，奇次方為負，先乘方，再乘除。
（3）合理運用乘法分配律和使用n n n ab b a )(=可使運算顯得更加簡便。
答案：－4、＋1、－1、－5、－6、4096、
81 【例2】計算：
（1）4
39999439994399439
+++ （2）87.68
13.654)9532(-÷-+- （3）51)5(]8)21()2[(33232分析：
（1）題可將439改寫成)4
110(-……，然後用加法的交換律、結合律將整數和分數分別放在一起便得結果；
（2）題善於使用乘法分配律的順逆兩用，可使運算簡便；
（3）題注意混合運算的順序，不能先算51)5(
-。 答案：（1）11109；（2）－110；（3）551-
【例3】已知0)2(123
12=-++++c b a ，求bc a 的值。 分析：利用a ≥0，a ≥0，n a 2≥0（n 為自然數）等常見的三種非負數及其性質，分別令它們為
零，得乙個三元一次方程組，解得a 、b 、c 的值，代入後本題得以解決。
答案：－3
探索與創新：
【問題一】下面由火柴棒拼出的一系列圖形中，第n 個圖形是由n 個正方形組成的，通過觀察可以發現：
4=n 3=n 2=n 1=n
（1）第四個圖形中火柴棒的根數是 ；
（2）第n 個圖形中火柴棒的根數是 。
分析：觀察各個圖形的根數與圖形個數n 之間的關係，並由此歸納出第n 個圖形中火柴棒的根數。 答案：（1）13；（2）13+n
【問題二】有一列數1、2、3、4、5、6、…，當按順序從第2個數到第6個數時，共數了個數；當按順序從第m 個數到第n 個數（m ＜n ）時，共數了個數。
分析：探索規律，發現規律形式的考題是近年來中考熱點題型。本題中，從第2個數數到第6個數時，共數了2、3、4、5、6這5個數，而5＝6－2＋1，同樣從第3個數數到第7個數時共數了3、4、5、6、7這5個數，而5＝7－3＋1，依此類推，不難探索其規律。
答案：5、)1(+-m n
第一章有理數周練
第一講機構的結構分析
理論知識部分 一機構的組成 1 構件 機器中每乙個獨立的運動單元，任何機器都是由若干個 兩個以上 構件組合而成。2 零件 機器的獨立製造單元。二 運動副及分類 1.運動副 由兩構件直接接觸而組成的可動聯接稱為運動副。2.運動副的分類 根據構成運動副的兩構件的接觸情況進行分類。高副 兩構件通過點或線接...
數學思維第一講
數學思維，階梯拓展 一 一 基礎練筆 1 你今年 歲，2015年，你就 歲。2 乙個星期你在學校上學 天，在家 天。3 5只小鳥和4只小白兔共有 隻腳。4.一根鐵絲用去一半後，再用去剩下的一半，這時剩下6公尺，原來這根鐵絲長 公尺。5 有12個小朋友一起玩 貓捉老鼠 的遊戲，已經捉住了7人，還要捉 ...
初一上數學培訓 第一講
第一講豐富的圖形世界 一 知識要點 1 知識結構 立體圖形 2 稜柱的特徵及性質 1 有兩個形狀大小完全相同的底面和個側面 都是長方形 2 有條稜，其中有條側稜 3 有個頂點 3 幾何體的三檢視 4 常見幾何體的截面形狀 5 常見幾何體的展開圖 6 多邊形的對角線與多邊形的分割 二 典型例題 例1 ...