三角函式總複習教學資料
一、考綱要求：
1.理解任意角的概念、弧度的意義，能正確進行弧度和角度的互換。
2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義，了解餘切、正割、餘割的定義，掌握同角三角函式的基本關係式，掌握正弦、余弦的誘導公式，理解週期函式與最小正週期的意義。
3.掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。
4.能正確運用三角公式，進行簡單三角函式式的化簡，求值和恒等式的證明。
5.了解正弦函式、余弦函式，正切函式的影象和性質，會用「五點法」畫正弦函式，余弦函式和函式y=asin(wx+φ)的簡圖，理解a、、φ的物理意義。
6.會由已知三角函式值求角，並會用符號arcsinx、arccosx、arctgx表示。
7.掌握正弦定理、餘弦定理，並能初步運用它們解斜三角形，能利用計算器解決三角形的計算問題。
8.理解反三角函式的概念，能由反三角函式的影象得出反三角函式的性質，能運用反三角函式的定義、性質解決一些簡單問題。
9.能夠熟練地寫出最簡單的三角方程的解集。
二、知識結構
1.角的概念的推廣：
(1)定義：一條射線oa由原來的位置oa，繞著它的端點o按一定方向旋轉到另一位置ob，就形成了角α。其中射線oa叫角α的始邊，射線ob叫角α的終邊，o叫角α的頂點。
(2)正角、零角、負角：由始邊的旋轉方向而定。
(3)象限角：由角的終邊所在位置確定。
第一象限角：2kπ＜α＜2kπ+,k∈z
第二象限角：2kπ+＜α＜2kπ+π,k∈z
第三象限角：2kπ+π＜α＜2kπ+,k∈z
第四象限角：2kπ+＜α＜2kπ+2π,k∈z
(4)終邊相同的角：一般地，所有與α角終邊相同的角，連同α角在內(而且只有這樣的角) ，可以表示為k·360°+α，k∈z。
(5)特殊角的集合：
終邊在座標軸上的角的集合｛α｜α＝，k∈z｝
終邊在一、三象限角平分線上角的集合｛α｜α＝kπ+，k∈z｝
終邊在二、四象限角平分線上角的集合｛α｜α＝kπ-，k∈z｝
終邊在四個象限角平分線上角的集合｛α｜α＝kπ，k∈z｝
2.弧度制：
(1)定義：用「弧度」做單位來度量角的制度，叫做弧度制。
(2)角度與弧度的互化：
1°＝弧度，1弧度＝()°
(3)兩個公式：(r為圓弧半徑，α為圓心角弧度數)。
弧長公式：l=｜α｜r
扇形面積公式：s=lr=｜α｜r2
3.週期函式：
(1)定義：對於函式y=f(x)，如果存在乙個非零常數t，使得x取定義域內的任意值時，都有f (x+t)=f(x)，那麼函式y=f(x)叫做週期函式，其中非零常數t叫做這個函式的乙個週期，如果t中存在乙個最小的正數，則這個最小正數叫做這個函式的最小正週期。
(2)幾個常見結論：
①如果t是函式y=f(x)的乙個週期，那麼kt(k∈z，且k≠0)也是y=f(x)的週期。
②如果t是函式y=f(x)的乙個週期，那麼也是y=f(x)(≠0)的週期。
③乙個週期函式不一定有最小正週期，如常函式y=f(x)=c。
4.三角函式定義：
(1)定義：設α是乙個任意大小的角，p(x，y)是角α終邊上任意一點，它與原點的距離｜po ｜ =r,那麼角α的正弦、余弦、正切、餘切、正割、余弦分別是sinα=,cosα=,tgα=,ctgα=,secα=,cscα=(如上圖)。
(2)六個三角函式值在每個象限的符號：(如下圖)
(3)同角三角函式的基本關係式：
倒數關係：sinα·cscα=1,cosα·secα=1,tgα·ctgα=1
商數關係：tgα=,ctgα=
平方關係：sin2α+cos2α=1,1+tg2α=sec2α,1+ctg2α=csc2α
(4)誘導公式：
上述公式可以總結為：奇變偶不變，符號看象限。
5.已知三角函式值求角
6.三角函式的圖象和性質：
(1)三角函式線：
如下圖，sinα=mp,cosα=om,tgα=at,ctgα=bs
(2)三角函式的影象和性質：
7.函式y=asin(wx+φ)的影象：
函式y=asin(wx+φ)的影象可以通過下列兩種方式得到：
(1) (1) y=sinxy=sin(x+φ)
y=sin(wx+φ)
y=asin(wx+φ)
(2) y=sinx
y=sin(wx)
y=sin(w x+φ)y= asin(wx+φ)
8.兩角和與差的三角函式：
(1)常用公式：
兩角和與差的公式：
sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ，
cos(α±β)=cosαcosβsinαsinβ，
tg(α±β)=
倍角公式：
sin2α=2sinαcosα，
cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α，
tg2α=.
半形公式：
sin=±,
cos=±,
tg=±.
積化和差公式：
sinαcosβ=〔sin(α+β)+sin(α-β)〕,
cosαsinβ=〔sin(α+β)-sin(α-β)〕
cosαcosβ=〔cos(α+β)+cos(α-β)〕,
sinαsinβ=-〔cos(α+β)-cos(α-β)〕
和差化積公式：
sinα+sinβ=2sin,
sinα-sinβ=2cos
cosα+cosβ=2cos,
cosα-cosβ=-2sin
萬能公式：
sinα=，cosα=,tgα=
(2)各公式間的內在聯絡：
(3)應注意的幾個問題：
①凡使公式中某個式子沒有意義的角，都不適合公式。
②靈活理解各公式間的和差倍半的關係。
③在半形公式中，根號前的符號由半形所在像限來決定。
④常具的變形公式有：cosα=,sin2α=,cos2α=,tgα+tgβ＝tg(α+β)(1-tgαtgβ).
⑤asinα+bcosα=sin(α+φ).(其中φ所在位置由a，b的符號確定，φ的值由tgφ=確定)。
9.解斜三角形：
在解三角形時，常用定理及公式如下表：
10.反三角函式：
11.三角方程：
(1)最簡單三角方程的解集：
(2)簡單三角方程：轉化為最簡單三角方程。
三、知識點、能力點提示
三角函式是中學數學的主要內容之一，也是每年高考的必考內容，其主要內容由以下三部分構成：三角函式的定義，影象和性質；三角恒等變形；反三角函式。在高考中，第二部分為主要內容，進行重點考查，當然也不放棄前後兩部的考查，對近幾年高考試題進行分析後，可以看出：
對三角函式的考查主要有兩種方式：單獨考查三角函式或與其它學科綜合考查，前一部分通常是容易題或中等題，而後一部分有一定難度。
下面對常見考點作簡單分析：
1.角、三角函式定義的考點：這是對三角基礎知識的直接考查，一般不會單獨成題，更多地是結合其它方面的內容(如：三角恒等變形，三角函式性質等)對多個知識點作綜合考查。
2.三角函式影象的考查：通常有三種方式：由影象到解析式：由影象到性質；影象的應用。
3.三角函式性質的考查
(1)定義域和值域：
(2)週期性：通常結合恒等變形考查如何求三角函式的最小正週期，或考查與週期性相關的問題，如：設f(x)是(-∞，+∞)上的奇函式，f(x+2)=-f(x)，當0≤x≤1時，f(x)=x，則f(7.
5)=( )
(3)單調性：通常以處理最值問題的形式出現，總與恒等變形聯絡在一起，一般地二次函式 ，對數函式等的最值問題相結合。
4.三角恒等變形：以化簡、求值、證明等各種題型出現，以題中通常考查和、差、倍、半各公式的運用，大題中通常考查和積互化公式的運用，這是三角函式的重要內容。
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