⒈利用函式極限的四則運算法則來求極限
若極限和都存在，則函式，
當時也存在且 ①②
又若，則在時也存在，且有
利用極限的四則運算法則求極限，條件是每項或每個因子極限存在，一般所給的變數都不滿足這個條件，如、等情況，都不能直接用四則運算法則，必須要對變數進行變形，設法消去分子、分母中的零因子，在變形時，要熟練掌握飲因式分解、有理化運算等恒等變形。
例1：求
解：原式=
⒉用兩個重要的極限來求函式的極限
①利用來求極限
的擴充套件形為：
令，當或時，則有
或例2：
解：令t=.則sinx=sin(t)=sint, 且當時
故②利用來求極限
的另一種形式為.事實上，令所以
例4: 求的極限
解：原式=
。一般常用的方法是換元法和配指數法。
⒊利用等價無窮小量代換來求極限
所謂等價無窮小量即稱與是時的等價無窮小量，記作
定理2②：設函式在內有定義，
且有1 若則
2 若則
由該定理就可利用等價無窮小量代換來求某些函式的極限
例5：求的極限
解：由而；
（）；（）
故有=另註：在利用等價無窮小代換求極限時，應該注意：只有對所求極限中相乘或相除的因式才能用等價無窮小量來代換，而對極限式中的相加或相減的部分則不能隨意代換。
如上式中，若因有tanx， 而推出則得到的結果是錯誤的。
⒋ 利迫斂性來求極限
定理：設f(x)= g(x)=a,且在某內有f(x) h(x) g(x),
則h(x)=a
例6：求x的極限
解： 1x<1-x. 且由迫斂性知
x=1 做此型別題目的關鍵在於找出大於已知函式的函式和小於已知函式的函式，並且所找出的兩個函式必須要收斂於同乙個極限。
5.利用洛比達法則求函式的極限
在前面的敘述中，我們已經提到了利用等價無窮小量來求函式的極限，在此筆者敘述一種牽涉到無窮小（大）量的比較的求極限的方法。我們把兩個無窮小量或兩個無窮大量的比的極限統稱為不定式極限，分別記作型或型的不定式極限。現在我們將以導數為工具研究不定式極限，這個方法通常稱為洛比達法則。
下面就給出不定式極限的求法。
(1) 對於型不定式極限，可根據以下定理來求出函式的極限
定理：若函式f(x)和函式g(x)滿足：
①==0。
②在點的某空心鄰域內兩者都可導，且
③=a。（a可為實數，也可為或）
則==a。
例8：求
解：f(x)=1+與g(x)=在的鄰域裡滿足定理的條件①和②，又因== -
故由洛比達法則求得，
==在此類題目中，如果仍是型的不定式極限，只要有可能，即可再次利用洛比達法則，即考察極限是否存在。當然，這是和在的某鄰域內必須滿足上述定理的條件。
例9：求
解：利用 （），則得
原式===
在利用洛比達法則求極限時，為使計算更加快捷減少運算中的諸多不便，可用適當的代換，如下例，
例10：求
解：這是型不定式極限，可直接運用洛比達法則求解，但是比較麻煩。如作適當的變換，計算上就會更方便些，故
令當時有，於是有
=(2)型不定式極限
若滿足如下定理的條件，即可由如下定理計算出其極限。
定理：若函式f(x)和函式g(x)滿足：
①==②在點的某空心鄰域內兩者都可導，且
③=a，（a可為實數，也可為或）。
則==a。
例11：求
解：由定理得，
注1：若不存在，並不能說明不存在。
注2：不能對任何比式極限都按洛比達法則來求解。首先必須注意它是不是不定式極限；其次是觀察它是否滿足洛比達法則的其它條件。
下面這個簡單的極限
=1雖然是型的，但若不顧條件隨便使用洛比達法則：
=就會因右式的極限不存在而推出原式的極限不存在這個錯誤的結論。
(3)其它型別不定式極限
不定式極限還有，，，，等型別。這些型別經過簡單的變換，都可以化為型和型的不定式極限。
例12：求
解：這是乙個型的不定式極限，作恒等變形=，將它轉化為型的不定式極限，並用洛比達法則得到
===例13：求
解：這是乙個型的不定式極限，作恒等變形
=其指數部分的極限是型的不定式極限，可先求得==
從而得=
例14: 求（k為常數）
解：這是乙個型的不定式極限，按上例變形的方法，先求型的極限，
==然後得到 =（）
當=0時上面的結果仍成立。
例15: 求
解：這是乙個型的不定式極限，類似地，先求其對數的極限（型）
1於是有=
6利用泰勒公式求極限
由於泰勒公式的特殊形式，對於求解某些函式的極限有簡化求解過程的作用。
例16：求
解：本題可用洛比達法則來求解，但是運算過程比較繁瑣，在這裡可用泰勒公式求解，考慮到極限式的分母為，我們用麥克勞林公式表示極限的分子，
（取n=4）
cosx=1-++ ()
=1-+
cosx-=- ()
因而求得=
7利用微分中值定理和積分中值定理求極限
例17：求的極限
解： 由微分中值定理得，
（介於與之間）
原式=例18：求的極限
解： 由微分中值定理得，
（介於與之間）
原式=8利用定積分求極限
例19：求
解：把此極限式化為某個積分和的極限式，並轉化為計算計算定積分，為此作如下變形：
不難看出，其中的和式是函式發在區間上的乙個積分和。（這裡所取的是等分分割， （）， 所以
當然，也可把j看作在上的定積分，同樣有
求極限方法
1 約去零因子求極限 例1 求極限 說明 表明無限接近，但，所以這一零因子可以約去。解 2 分子分母同除求極限 例2 求極限 說明 型且分子分母都以多項式給出的極限,可通過分子分母同除來求。解 注 1 一般分子分母同除的最高次方 2 3 分子 母 有理化求極限 例3 求極限 說明 分子或分母有理化求...
求極限的方法技巧
一 求函式極限的方法 1 運用極限的定義 例 用極限定義證明 證 由 取則當時,就有 由函式極限定義有 2 利用極限的四則運算性質 若 i ii iii 若 b 0 則 iv c為常數 上述性質對於 例 求解 3 約去零因式 此法適用於 例 求 解 原式 4 通分法 適用於型 例 求 解 原式 5 ...
求函式極限的方法
函式極限的求解是高等數學的基本運算，也是學生必備的基本技能，並且函式極限和以後許多章節的知識相聯絡，例如 導數的計算 定積分 曲線積分 冪級數等，它是我們學好後序章節知識的基礎。因此，掌握其求解方法對以後的學習至關重要。函式的極限求解方法靈活多變，不易掌握，是高等數學的乙個難點。本文就一元函式極限和...