二次函式的知識點總結和同步習題
一、二次函式概念：
1．二次函式的概念：一般地，形如（是常數，）的函式，叫做二次函式。（這裡需要強調：和一元二次方程類似，二次項係數，而可以為零．二次函式的定義域是全體實數．）
2. 二次函式的結構特徵：
⑴ 等號左邊是函式，右邊是關於自變數的二次式，的最高次數是2．
⑵是常數，是二次項係數，是一次項係數，是常數項．
二、二次函式解析式的表示方法
1. 一般式：（，，為常數，）；
2. 頂點式：（，，為常數，）；
3. 兩根式：（，，是拋物線與軸兩交點的橫座標）.
注意：任何二次函式的解析式都可以化成一般式或頂點式，但並非所有的二次函式都可以寫成交點式，只有拋物線與軸有交點，即時，拋物線的解析式才可以用交點式表示．二次函式解析式的這三種形式可以互化.
三、二次函式的基本形式
1. 二次函式基本形式：的性質：a 的絕對值越大，拋物線的開口越小。
2. 的性質：上加下減。
3. 的性質：左加右減。
4. 的性質：
四、二次函式圖象的平移
1. 平移步驟：
方法一：⑴ 將拋物線解析式轉化成頂點式，確定其頂點座標；
⑵ 保持拋物線的形狀不變，將其頂點平移到處，具體平移方法如下：
2. 平移規律
方法一：在原有函式的基礎上「值正右移，負左移；值正上移，負下移」．
概括成八個字「左加右減，上加下減」．
方法二：
⑴沿軸平移:向上（下）平移個單位，變成
（或）⑵沿軸平移：向左（右）平移個單位，變成（或）
五、二次函式圖象的對稱
二次函式圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達
1. 關於軸對稱
關於軸對稱後，得到的解析式是；
關於軸對稱後，得到的解析式是；
2. 關於軸對稱
關於軸對稱後，得到的解析式是；
關於軸對稱後，得到的解析式是；
3. 關於原點對稱
關於原點對稱後，得到的解析式是；
關於原點對稱後，得到的解析式是；
4. 關於頂點對稱（即：拋物線繞頂點旋轉180°）
關於頂點對稱後，得到的解析式是；
關於頂點對稱後，得到的解析式是．
5. 關於點對稱
關於點對稱後，得到的解析式是
根據對稱的性質，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發生變化，因此永遠不變．求拋物線的對稱拋物線的表示式時，可以依據題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習慣上是先確定原拋物線（或表示式已知的拋物線）的頂點座標及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點座標及開口方向，然後再寫出其對稱拋物線的表示式．
六、二次函式圖象的畫法
五點繪圖法：利用配方法將二次函式化為頂點式，確定其開口方向、對稱軸及頂點座標，然後在對稱軸兩側，左右對稱地描點畫圖.一般我們選取的五點為：
頂點、與軸的交點、以及關於對稱軸對稱的點、與軸的交點，（若與軸沒有交點，則取兩組關於對稱軸對稱的點）.
畫草圖時應抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與軸的交點，與軸的交點.
七、二次函式的性質
1.當時，拋物線開口向上，對稱軸為，頂點座標為．
當時，隨的增大而減小；當時，隨的增大而增大；當時，有最小值．
2. 當時，拋物線開口向下，對稱軸為，頂點座標為．當時，隨的增大而增大；當時，隨的增大而減小；當時，有最大值．
八、二次函式的圖象與各項係數之間的關係
1. 二次項係數
二次函式中，作為二次項係數，顯然．
⑴ 當時，拋物線開口向上，的值越大，開口越小，反之的值越小，開口越大；
⑵ 當時，拋物線開口向下，的值越小，開口越小，反之的值越大，開口越大．
總結起來，決定了拋物線開口的大小和方向，的正負決定開口方向，的大小決定開口的大小．
2. 一次項係數
在二次項係數確定的前提下，決定了拋物線的對稱軸．
⑴ 在的前提下，
當時，，即拋物線的對稱軸在軸左側；
當時，，即拋物線的對稱軸就是軸；
當時，，即拋物線對稱軸在軸的右側．
⑵ 在的前提下，結論剛好與上述相反，即
當時，，即拋物線的對稱軸在軸右側；
當時，，即拋物線的對稱軸就是軸；
當時，，即拋物線對稱軸在軸的左側．
總結起來，在確定的前提下，決定了拋物線對稱軸的位置．
的符號的判定：對稱軸在軸左邊則，在軸的右側則，概括的說就是「左同右異」
總結： 3. 常數項
⑴ 當時，拋物線與軸的交點在軸上方，即拋物線與軸交點的縱座標為正；
⑵ 當時，拋物線與軸的交點為座標原點，即拋物線與軸交點的縱座標為；
⑶ 當時，拋物線與軸的交點在軸下方，即拋物線與軸交點的縱座標為負．
總結起來，決定了拋物線與軸交點的位置．
總之，只要都確定，那麼這條拋物線就是唯一確定的．
九、二次函式解析式的確定：
根據已知條件確定二次函式解析式，通常利用待定係數法．用待定係數法求二次函式的解析式必須根據題目的特點，選擇適當的形式，才能使解題簡便．一般來說，有如下幾種情況：
1. 已知拋物線上三點的座標，一般選用一般式；
2. 已知拋物線頂點或對稱軸或最大（小）值，一般選用頂點式；
3. 已知拋物線與軸的兩個交點的橫座標，一般選用兩根式；
4. 已知拋物線上縱座標相同的兩點，常選用頂點式．
十、二次函式與一元二次方程：
1. 二次函式與一元二次方程的關係（二次函式與軸交點情況）：
一元二次方程是二次函式當函式值時的特殊情況.
圖象與軸的交點個數：
① 當時，圖象與軸交於兩點，其中的是一元二次方程的兩根．這兩點間的距離.
② 當時，圖象與軸只有乙個交點；
③ 當時，圖象與軸沒有交點.
當時，圖象落在軸的上方，無論為任何實數，都有；
當時，圖象落在軸的下方，無論為任何實數，都有．
2. 拋物線的圖象與軸一定相交，交點座標為，；
3. 二次函式常用解題方法總結：
⑴ 求二次函式的圖象與軸的交點座標，需轉化為一元二次方程；
⑵ 求二次函式的最大（小）值需要利用配方法將二次函式由一般式轉化為頂點式；
⑶ 根據圖象的位置判斷二次函式中，，的符號，或由二次函式中，，的符號判斷圖象的位置，要數形結合；
⑷ 二次函式的圖象關於對稱軸對稱，可利用這一性質，求和已知一點對稱的點座標，或已知與軸的乙個交點座標，可由對稱性求出另乙個交點座標.
⑸ 與二次函式有關的還有二次三項式，二次三項式本身就是所含字母的二次函式；下面以時為例，揭示二次函式、二次三項式和一元二次方程之間的內在聯絡：
十一、二次函式的應用
二次函式應用
常見題型
● 二次函式的定義、性質，
1、乙個小球由靜止開始在乙個斜坡上向下滾動，通過儀器觀察得到小球滾動的距離s（公尺）與時間t（秒）的資料如下表：
寫出用t表示s的函式關係式
2、下列函式：①；②；③；
④；⑤，其中是二次函式的是 ，其中 ，
3、當時，函式（為常數）是關於的二次函式
4、當時，函式是關於的二次函式
5、當時，函式+3x是關於的二次函式
6、若點 a ( 2, ) 在函式的影象上，則 a 點的座標是＿＿＿＿.
7、已知以為自變數的二次函式的影象經過原點， 則的值是
8、已知一條拋物線經過(0,3)，(4,6)兩點，對稱軸為，這條拋物線的解析式
9、已知二次函式當x=1時，y= -1；當x=2時，y=2，求該函式解析式
10、如圖，矩形的長是 4cm，寬是 3cm，如果將長和寬都增加 x cm，
那麼面積增加 ycm2， ① 求 y 與 x 之間的函式關係式.
② 求當邊長增加多少時，面積增加 8cm2.
11、富根老伯想利用一邊長為a公尺的舊牆及可以圍成24公尺長的舊木料，建造豬舍三間，如圖，它們的平面圖是一排大小相等的長方形.
（1） 如果設豬舍的寬ab為x公尺，則豬舍的總面積s（公尺2）與x有怎樣的函式關係？
（2） 請你幫富根老伯計算一下，如果豬舍的總面積為32公尺2，應該如何安排豬舍的長bc和寬ab的長度？舊牆的長度是否會對豬舍的長度有影響？怎樣影響？
● 函式的圖象與性質
1、填空：（1）拋物線的對稱軸是 （或頂點座標是 ，當x 時，y隨x的增大而增大，當x 時，y隨x的增大而減小，當x= 時，該函式有最值是
（2）拋物線的對稱軸是 （或頂點座標是 ，當x 時，y隨x的增大而增大，當x 時，y隨x的增大而減小，當x= 時，該函式有最值是
2、對於函式下列說法：①當x取任何實數時，y的值總是正的；②x的值增大，y的值也增大；③y隨x的增大而減小；④圖象關於y軸對稱.其中正確的是
3、拋物線 y＝－x2 不具有的性質是（ ）
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