普通高中課程標準實驗教科書—數學 [人教版]
高三新數學第一輪複習教案（講座19）—用樣本估計總體及線性相關關係
一．課標要求：
1．用樣本估計總體
①通過例項體會分布的意義和作用，在表示樣本資料的過程中，學會列頻率分布表、畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，體會他們各自的特點；
②通過例項理解樣本資料標準差的意義和作用，學會計算資料標準差；
③能根據實際問題的需求合理地選取樣本，從樣本資料中提取基本的數字特徵（如平均數、標準差），並作出合理的解釋；
④在解決統計問題的過程中，進一步體會用樣本估計總體的思想，會用樣本的頻率分布估計總體分布，會用樣本的基本數字特徵估計總體的基本數字特徵；初步體會樣本頻率分布和數字特徵的隨機性；
⑤會用隨機抽樣的基本方法和樣本估計總體的思想，解決一些簡單的實際問題；能通過對資料的分析為合理的決策提供一些依據，認識統計的作用，體會統計思維與確定性思維的差異；
⑥形成對資料處理過程進行初步評價的意識。
2．變數的相關性
①通過收集現實問題中兩個有關聯變數的資料作出散點圖，並利用散點圖直觀認識變數間的相關關係；
②經歷用不同估算方法描述兩個變數線性相關的過程。知道最小二乘法的思想，能根據給出的線性回歸方程係數公式建立線性回歸方程。
二．命題走向
「統計」是在初中「統計初步」基礎上的深化和擴充套件，本講主要會用樣本的頻率分布估計總體的分布，並會用樣本的特徵來估計總體的分布。
**2023年高考對本講的考察是：
1．以基本題目（中、低檔題）為主，多以選擇題、填空題的形式出現，以實際問題為背景，綜合考察學生學習基礎知識、應用基礎知識、解決實際問題的能力；
2．熱點問題是頻率分布直方圖和用樣本的數字特徵估計總體的數字特徵。
三．要點精講
1．用樣本的數字特徵估計總體的數字特徵
（1）眾數、中位數
在一組資料中出現次數最多的資料叫做這組資料的眾數；
將一組資料按照從大到小（或從小到大）排列，處在中間位置上的乙個資料（或中間兩位資料的平均數）叫做這組資料的中位數；
（2）平均數與方差
如果這n個資料是，那麼叫做這n個資料平均數；
如果這n個資料是，那麼叫做這n個資料方差；同時叫做這n個資料的標準差。
2．頻率分布直方圖、折線圖與莖葉圖
樣本中所有資料（或資料組）的頻率和樣本容量的比，就是該資料的頻率。所有資料（或資料組）的頻率的分布變化規律叫做頻率分布，可以用頻率分布直方圖、折線圖、莖葉圖來表示。
頻率分布直方圖：
具體做法如下：
（1）求極差（即一組資料中最大值與最小值的差）；
（2）決定組距與組數；
（3）將資料分組；
（4）列頻率分布表；
（5）畫頻率分布直方圖。
注：頻率分布直方圖中小正方形的面積=組距×=頻率。
折線圖：連線頻率分布直方圖中小長方形上端中點，就得到頻率分布折線圖。
總體密度曲線：當樣本容量足夠大，分組越多，折線越接近於一條光滑的曲線，此光滑曲線為總體密度曲線。
3．線性回歸
回歸分析：對於兩個變數，當自變數取值一定時，因變數的取值帶有一定隨機性的兩個變數之間的關係叫相關關係或回歸關係。
回歸直線方程：設x與y是具有相關關係的兩個變數，且相應於n個觀測值的n個點大致分布在某一條直線的附近，就可以認為y對x的回歸函式的型別為直線型：。其中，。
我們稱這個方程為y對x的回歸直線方程。
四．典例解析
題型1：數字特徵
例1．為了檢查一批手榴彈的殺傷半徑，抽取了其中20顆做試驗，得到這20顆手榴彈的殺傷半徑，並列表如下：
(1)在這個問題中，總體、個體、樣本和樣本容量各是什麼？
(2)求出這20顆手榴彈的殺傷半徑的眾數、中位數和平均數，並估計這批手榴彈的平均殺傷半徑．
解析： (1)總體是要檢查的這批手榴彈的殺傷半徑的全體；個體是每一顆手榴彈的殺傷半徑；樣本是所抽取的20顆手榴彈的殺傷半徑；樣本容量是20。
(2)在20個資料中，10出現了6次，次數最多，所以眾數是10（公尺）。
20個資料從小到大排列，第10個和第11個資料是最中間的兩個數，分別為9（公尺）和10（公尺），所以中位數是（9+10）=9.5（公尺）。
樣本平均數（公尺）
所以，估計這批手榴彈的平均殺傷半徑約為9.4公尺。
點評：(1)根據總體、個體、樣本、樣本容量的概念答題．要注意：總體、個體和樣本所說的考察物件是一種數量指標，不能說成考察的物件是手榴彈，而應說是手榴彈的殺傷半徑。
(2)讀懂**的意義，利用概念求眾數、中位數，用樣本平均數估計這批手榴彈的平均殺傷半徑．另外在這裡要會簡便計算有多個重複資料的樣本的平均數。
例2．為估計一次性木質筷子的用量，2023年從某縣共600家高、中、低檔飯店抽取10家作樣本，這些飯店每天消耗的一次性筷子盒數分別為：
0.6 3.7 2.2 1.5 2.8
1.7 1.2 2.1 3.2 1.0
(1)通過對樣本的計算，估計該縣2023年消耗了多少盒一次性筷子（每年按350個營業日計算）；
(2)2023年又對該縣一次性木質筷子的用量以同樣的方式作了抽樣調查，調查的結果是10個樣本飯店，每個飯店平均每天使用一次性筷子2.42盒．求該縣2023年、2023年這兩年一次性木質筷子用量平均每年增長的百分率（2023年該縣飯店數、全年營業天數均與2023年相同）；
(3)在(2)的條件下，若生產一套學生桌椅需木材0.07m3，求該縣2023年使用一次性筷子的木材可以生產多少套學生桌椅。計算中需用的有關資料為：
每盒筷子100雙，每雙筷子的質量為5g，所用木材的密度為0.5×103kg/m3；
(4)假如讓你統計你所在省一年使用一次性筷子所消耗的木材量，如何利用統計知識去做，簡要地用文字表述出來。
解析：(1)
所以,該縣2023年消耗一次性筷子為2×600×350=420000（盒）。
(2)設平均每年增長的百分率為x，則2（1+x）2=2.42,
解得x1=0.1=10%，x2=－2.1（不合題意，捨去）。
所以,平均每年增長的百分率為10%；
(3)可以生產學生桌椅套數為（套）。
(4)先抽取若干個縣（或市、州）作樣本，再分別從這些縣（或市、州）中抽取若干家飯店作樣本，統計一次性筷子的用量．
點評：本題是一道統計綜合題，涉及的知識點很多，需要靈活運用各種知識分析解決問題．對於第(1)小題，可先求得樣本平均數，再利用樣本估計總體的思想來求得問題的解．對於第(2)小題，實際是乙個增長率問題的應用題，可通過設未知數列方程的方法來解．對於第(3)小題，用到了物理公式m＝ρv， 體現了各學科知識之間的聯絡，讓學生觸類旁通，在解決實際問題時能綜合運用多種知識靈活地解決問題．第(4)小題只要能夠運用隨機抽樣方法，能體會到用樣本估計總體的統計思想就可解決，在文字表述上要注意簡潔、明了、正確。
題型2：數字特徵的應用
例3．（2023年全國高考天津文科卷(15)）甲、乙兩種冬小麥試驗品種連續5年的平均單位面積產量如下（單位：t / hm2）
其中產量比較穩定的小麥品種是甲 。
解析：甲 = ( 9.8 + 9.
9 + 10.1 + 10 + 10.2) = 10.
0，乙 = ( 9.4 + 10.3 + 10.
8 + 9.7 + 9.8) = 10.
0；s = ( 9.82 + … + 10.22) – 102 = 0.
02，s = ( 9.42 + … + 9.82) – 102 = 0.
244 > 0.02 。
點評：方差與平均數在反映樣本的特徵上一定要區分開。
例4．（2005江蘇7）在一次歌手大獎賽上，七位評委為歌手打出的分數如下：
9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7
去掉乙個最高分和乙個最低分後，所剩資料的平均值和方差分別為
（a）9.4, 0.484 （b）9.4, 0.016 （c）9.5, 0.04 （d）9.5, 0.016
答案：d；
解析：7個資料中去掉乙個最高分和乙個最低分後，餘下的5個數為：9.4, 9.4, 9.6, 9.4, 9.5。
則平均數為：，即。
方差為：
即，故選d。
點評：一定要根據實際的題意解決問題，並還原實際情景。
題型3：頻率分布直方圖與條形圖
例5．為檢測,某種產品的質量,抽取了乙個容量為30的樣本,檢測結果為一級品5件,而極品8件,**品13件,次品14件.
（1）列出樣本頻率分布表;
（2）畫出表示樣本頻率分布的條形圖;
（3）根據上述結果,估計辭呈商品為二極品或三極品的概率約是多少
解析：(1)樣本的頻率分布表為
(2)樣本頻率分布的條形圖為：
(3)此種產品為二極品或三極品的概率約為0.27+0.43=0.7。
點評：條形圖中縱座標一般是頻數或頻率。
例6．（2006重慶理，6）為了了解某地區高三學生的身體發育情況，抽查了該地區100名年齡為17.5歲－１８歲的男生體重(kg) ,得到頻率分布直方圖如下：
根據上圖可得這100名學生中體重在〔56.5,64.5〕的學生人數是
(a)20b)30
(c)40d）50
答案：c；
解析：根據運算的算式：體重在〔56.
5,64.5〕學生的累積頻率為2×0.03＋2×0.
05＋2×0.05＋2×0.07=0.
4，則體重在〔56.5,64.5〕學生的人數為0.
4×100=40。
點評：熟悉頻率、頻數、組距間的關係式。
例7．某中學對高三年級進行身高統計，測量隨機抽取的40名學生的身高，其結果如下（單位：cm）
（1）列出頻率分布表；
普通高中課程標準實驗教科書 數學
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閱讀鑑賞 第一單元 1 竇娥冤 2 雷雨 3 哈姆萊特 第二單元 4 柳永詞兩首 望海潮 東南形勝 雨霖鈴 寒蟬淒切 5 蘇軾詞兩首 念奴嬌赤壁懷古 定風波 莫聽穿林打葉聲 6 辛棄疾詞兩首 水龍吟登建康賞心亭 永遇樂京口北固亭懷古 7 李清照詞兩首 醉花陰 薄霧濃雲愁永晝 聲聲慢 尋尋覓覓 第三單...