2.2.2 反證法
授課教師： 王巨集郭懿
教學要求：結合已經學過的數學例項，了解間接證明的一種基本方法——反證法；了解反證法的思考過程、特點.
教學重點：會用反證法證明問題；了解反證法的思考過程.
教學難點：根據問題的特點，選擇適當的證明方法.
教學過程：
一、複習準備：
1. 討論：三枚正面朝上的硬幣，每次翻轉2枚，你能使三枚反面都朝上嗎？（原因：偶次）
2. 提出問題： 平面幾何中，我們知道這樣乙個命題：「過在同一直線上的三點a、b、c不能作圓」. 討論如何證明這個命題？
3. 給出證法：先假設可以作乙個⊙o過a、b、c三點，
則o在ab的中垂線l上，o又在bc的中垂線m上，
即o是l與m的交點。
但 ∵a、b、c共線，∴l∥m(矛盾)
∴ 過在同一直線上的三點a、b、c不能作圓.
二、講授新課：
1. 教學反證法概念及步驟：
① 練習：仿照以上方法，證明：如果a>b>0，那麼
② 提出反證法：一般地，假設原命題不成立，經過正確的推理，最後得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立.
證明基本步驟：假設原命題的結論不成立 →從假設出發，經推理論證得到矛盾 → 矛盾的原因是假設不成立，從而原命題的結論成立
應用關鍵：在正確的推理下得出矛盾（與已知條件矛盾，或與假設矛盾，或與定義、公理、定理、事實矛盾等）.
方法實質：反證法是利用互為逆否的命題具有等價性來進行證明的，即由乙個命題與其逆否命題同真假，通過證明乙個命題的逆否命題的正確，從而肯定原命題真實.
注：結合準備題分析以上知識.
2. 教學例題：
① 出示例1：求證圓的兩條不是直徑的相交弦不能互相平分.
分析：如何否定結論？ → 如何從假設出發進行推理？ → 得到怎樣的矛盾？
與教材不同的證法：反設ab、cd被p平分，∵p不是圓心，鏈結op，
則由垂徑定理：opab，opcd，則過p有兩條直線與op垂直（矛盾），∴不被p平分.
② 出示例2：求證是無理數. （ 同上分析 → 板演證明，提示：有理數可表示為）
證：假設是有理數，則不妨設（m,n為互質正整數），
從而：，，可見m是3的倍數.
設m=**（p是正整數），則，可見n 也是3的倍數.
這樣，m, n就不是互質的正整數（矛盾）. ∴不可能，∴是無理數.
③ 練習：如果為無理數，求證是無理數.
提示：假設為有理數，則可表示為（為整數），即.
由，則也是有理數，這與已知矛盾. ∴是無理數.
3. 小結：反證法是從否定結論入手，經過一系列的邏輯推理，匯出矛盾，從而說明原結論正確.
注意證明步驟和適應範圍（「至多」、「至少」、「均是」、「不都」、「任何」、「唯一」等特徵的問題）
三、鞏固練習： 1. 練習：教材 2. 作業：教材 a組3題.
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