i.定義與定義表示式一般地，自變數x和因變數y之間存在如下關係：
y=ax^2+bx+c（a，b，c為常數，a≠0，且a決定函式的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下,iai還可以決定開口大小,iai越大開口就越小,iai越小開口就越大.）則稱y為x的二次函式。二次函式表示式的右邊通常為二次三項式。
ii.二次函式的三種表示式一般式：y=ax^2;+bx+c（a，b，c為常數，a≠0）頂點式：
y=a(x-h)^2;+k [拋物線的頂點p（h，k）] 交點式：y=a(x-x1)(x-x2) [僅限於與x軸有交點a（x1，0）和 b（x2，0）的拋物線] 注：在3種形式的互相轉化中，有如下關係:
h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a
iii.二次函式的影象在平面直角座標系中作出二次函式y=x的影象，可以看出，二次函式的影象是一條拋物線。
iv.拋物線的性質
1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線 x = -b/2a。對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點p。特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）
2.拋物線有乙個頂點p，座標為 p [ -b/2a ，(4ac-b^2;)/4a ]。當-b/2a=0時，p在y軸上；當δ= b^2-4ac=0時，p在x軸上。
3.二次項係數a決定拋物線的開口方向和大小。當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口。 |a|越大，則拋物線的開口越小。
4.一次項係數b和二次項係數a共同決定對稱軸的位置。當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右。
5.常數項c決定拋物線與y軸交點。 拋物線與y軸交於（0，c）
6.拋物線與x軸交點個數 δ= b^2-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點。 δ= b^2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。
δ= b^2-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點。
v.二次函式與一元二次方程特別地，二次函式（以下稱函式）y=ax^2;+bx+c，當y=0時，二次函式為關於x的一元二次方程（以下稱方程），即ax^2;+bx+c=0 此時，函式影象與x軸有無交點即方程有無實數根。函式與x軸交點的橫座標即為方程的根。
畫拋物線y＝ax2時，應先列表，再描點，最後連線。列表選取自變數x值時常以0為中心，選取便於計算、描點的整數值，描點連線時一定要用光滑曲線連線，並注意變化趨勢。
二次函式解析式的幾種形式
(1)一般式：y＝ax2+bx+c (a,b,c為常數，a≠0).
(2)頂點式：y＝a(x-h)2+k(a,h,k為常數，a≠0).
(3)兩根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是拋物線與x軸的交點的橫座標，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩個根，a≠0.
說明：(1)任何乙個二次函式通過配方都可以化為頂點式y＝a(x-h)2+k，拋物線的頂點座標是(h,k)，h＝0時，拋物線y＝ax2+k的頂點在y軸上；當k＝0時，拋物線a(x-h)2的頂點在x軸上；當h＝0且k＝0時，拋物線y＝ax2的頂點在原點如果影象經過原點，並且對稱軸是y軸，則設y=ax^
2；如果對稱軸是y軸，但不過原點，則設y=ax^2+k 定義與定義表示式一般地，自變數x和因變數y之間存在如下關係： y=ax^2+bx+c （a，b，c為常數，a≠0，且a決定函式的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下。iai還可以決定開口大小,iai越大開口就越小,iai越小開口就越大。
）則稱y為x的二次函式。二次函式表示式的右邊通常為二次三項式。 x是自變數，y是x的函式
二次函式的三種表示式
①一般式：y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數,a≠0)
②頂點式[拋物線的頂點 p(h，k) ]：y=a(x-h)^2+k
③交點式[僅限於與x軸有交點 a(x1,0) 和 b(x2,0) 的拋物線]：y=a(x-x1)(x-x2)
以上3種形式可進行如下轉化：
①一般式和頂點式的關係對於二次函式y=ax^2+bx+c，其頂點座標為(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)，即 h=-b/2a=(x1+x2)/2 k=(4ac-b^2)/4a
②一般式和交點式的關係 x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)
2012中考數學精選例題解析：一次函式（1）
知識考點：
掌握二次函式的影象和性質以及拋物線的平移規律；會確定拋物線的頂點座標、對稱軸及最值等。
精典例題：
【例1】二次函式的影象如圖所示，那麼、、、這四個代數式中，值為正的有（ ）
a、4個 b、3個 c、2個 d、1個
解析：∵＜1
∴＞0答案：a
評注：由拋物線開口方向判定的符號，由對稱軸的位置判定的符號，由拋物線與軸交點位置判定的符號。由拋物線與軸的交點個數判定的符號，若軸標出了1和－1，則結合函式值可判定、、的符號。
【例2】已知，≠0，把拋物線向下平移1個單位，再向左平移5個單位所得到的新拋物線的頂點是（－2，0），求原拋物線的解析式。
分析：①由可知：原拋物線的影象經過點（1，0）；②新拋物線向右平移5個單位，再向上平移1個單位即得原拋物線。
解：可設新拋物線的解析式為，則原拋物線的解析式為，又易知原拋物線過點（1，0）
∴，解得
∴原拋物線的解析式為：
評注：解這類題的關鍵是深刻理解平移前後兩拋物線間的關係，以及所對應的解析式間的聯絡，並注意逆向思維的應用。
另外，還可關注拋物線的頂點發生了怎樣的移動，常見的幾種變動方式有：①開口反向（或旋轉1800），此時頂點座標不變，只是反號；②兩拋物線關於軸對稱，此時頂點關於軸對稱，反號；③兩拋物線關於軸對稱，此時頂點關於軸對稱；
探索與創新：
【問題】已知，拋物線（、是常數且不等於零）的頂點是a，如圖所示，拋物線的頂點是b。
（1）判斷點a是否在拋物線上，為什麼？
（2）如果拋物線經過點b，①求的值；②這條拋物線與軸的兩個交點和它的頂點a能否構成直角三角形？若能，求出它的值；若不能，請說明理由。
解析：（1）拋物線的頂點a（，），而當時，＝，所以點a在拋物線上。
（2）①頂點b（1，0），，∵，∴；②設拋物線與軸的另一交點為c，∴b（1，0），c（，0），由拋物線的對稱性可知，△abc為等腰直角三角形，過a作ad⊥軸於d，則ad＝bd。當點c在點b的左邊時，，解得或（舍）；當點c在點b的右邊時，，解得或（舍）。故。
評注：若拋物線的頂點與軸兩交點構成的三角形是直角三角形時，它必是等腰直角三角形，常用其「斜邊上的中線（高）等於斜邊的一半」這一關係求解有關問題。
跟蹤訓練：
一、選擇題：
1、二次函式的影象如圖所示，oa＝oc，則下列結論：
①＜0；
②；③；
④；⑤；
⑥。其中正確的有（ ）
a、2個b、3個c、4個d、5個
2、二次函式的影象向右平移3個單位，再向下平移2個單位，得到函式影象的解析式為，則與分別等於（ ）
a、6、4b、－8、14
c、4、6d、－8、－14
3、如圖，已知△abc中，bc＝8，bc邊上的高，d為bc上一點，ef∥bc交ab於e，交ac於f（ef不過a、b），設e到bc的距離為，△def的面積為，那麼關於的函式影象大致是（ ）
abcd
4、若拋物線與四條直線，，，圍成的正方形有公共點，則的取值範圍是（ ）
a、≤≤1 b、≤≤2 c、≤≤1 d、≤≤2
5、如圖，一次函式與二次函式的大致影象是（ ）
abcd
二、填空題：
1、若拋物線的最低點在軸上，則的值為 。
2、二次函式，當時，隨的增大而減小；當時，隨的增大而增大。則當時，的值是
3、已知二次函式的影象過點（0，3），影象向左平移2個單位後的對稱軸是軸，向下平移1個單位後與軸只有乙個交點，則此二次函式的解析式為
4、已知拋物線的對稱軸是，且它的最高點在直線上，則它的頂點為
三、解答題：
1、已知函式的影象過點（－1，15），設其影象與軸交於點a、b，點c在影象上，且，求點c的座標。
2、某公司推出了一種高效環保型洗滌用品，年初上市後，公司經歷了從虧損到盈利的過程。下面的二次函式圖象（部分）刻畫了該公司年初以來累積利潤s（萬元）與銷售時間（月）之間的關係（即前個月的利潤總和s與之間的關係）。根據圖象提供的資訊，解答下列問題：
（1）由已知圖象上的三點座標，求累積利潤s（萬元）與時間（月）之間的函式關係式；
（2）求截止到幾月末公司累積利潤可達到30萬元；
（3）求第8個月公司所獲利潤是多少萬元？
3、拋物線，和直線（＞0）分別交於a、b兩點，已知∠aob＝900。
（1）求過原點o，把△aob面積兩等分的直線解析式；
（2）為使直線與線段ab相交，那麼值應是怎樣的範圍才適合？
4、如圖，拋物線與軸的乙個交點為a（－1，0）。
（1）求拋物線與軸的另乙個交點b的座標；
（2）d是拋物線與軸的交點，c是拋物線上的一點，且以ab為一底的梯形abcd的面積為9，求此拋物線的解析式；
（3）e是第二象限內到軸、軸的距離的比為5∶2的點，如果點e在（2）中的拋物線上，且它與點a在此拋物線對稱軸的同側。問：在拋物線的對稱軸上是否存在點p，使△ape的周長最小？
若存在，求出點p的座標；若不存在，請說明理由。
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