知識點總結：
一、全等圖形、全等三角形：
1.全等圖形：能夠完全重合的兩個圖形就是全等圖形。
2.全等圖形的性質：全等多邊形的對應邊、對應角分別相等。
3.全等三角形： 三角形是特殊的多邊形，因此，全等三角形的對應邊、對應角分別相等。
同樣，如果兩個三角形的邊、角分別對應相等，那麼這兩個三角形全等。 說明：全等三角形對應邊上的高，中線相等，對應角的平分線相等；全等三角形的周長，面積也都相等。
注意：（1）周長相等的兩個三角形，不一定全等；（2）面積相等的兩個三角形，也不一定全等。
二、全等三角形的判定：
1.一般三角形全等的判定
（1）邊邊邊公理：三邊對應相等的兩個三角形全等（「邊邊邊」或「sss」）。
（2）邊角公理：兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等(「邊角邊」或「sas」)。
（3）角邊角公理： 兩個角和它們的夾邊分別對應相等的兩個三角形全等(「角邊角」或「asa」)。
（4）角角邊定理：有兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等(「角角邊」或「aas」)。
2.直角三角形全等的判定利用一般三角形全等的判定都能證明直角三角形全等． 斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等(「斜邊、直角邊」或「hl」)． 注意：兩邊一對角(ssa)和三角(aaa)對應相等的兩個三角形不一定全等。
三．靈活運用定理
1、判定兩個三角形全等的定理中，必須具備三個條件，且至少要有一組邊對應相等，因此在尋找全等的條件時，總是先尋找邊相等的可能性。
2、要善於發現和利用隱含的等量元素，如公共角、公共邊、對頂角等。
3、要善於靈活選擇適當的方法判定兩個三角形全等。
（1）已知條件中有兩角對應相等，可找：①夾邊相等（asa）②任一組等角的對邊相等(aas)
（2）已知條件中有兩邊對應相等，可找①夾角相等(sas)②第三組邊也相等(sss)
（3）已知條件中有一邊一角對應相等，可找①任一組角相等(aas 或 asa)②夾等角的另一組邊相等(sas)
經典試題
平移成圖
1．如圖1.1，將abc 沿直線ab向右平移後到達bde的位置，若cab＝50°，abc＝100°，則cbe的度數為
旋轉成圖
1.如圖2.1，在△abc中，ab=bc，將△abc繞點b順時針旋轉α度，得到△a1bc1，a1b 交ac於點e，a1c1分別交ac、bc於點d、f，下列結論：
①∠cdf=α，②a1e=cf，③df=fc，④ad =ce，⑤a1f=ce.其中正確的是寫出正確結論的序號).
2.如圖2.2，已知中，，是高和的交點，，則線段的長度為（ ）.
ab． 4cd．
圖2.2
3.如圖。在△abc中，ab＞ac，點d、e分別是邊ab、ac的中點，點f在bc邊上，連線de,df,ef.則新增下列哪乙個條件後，仍無法判定△bfd與△edf全等（ ）．
a． ef∥abb．bf=cfc．∠a=∠dfed．∠b=∠dfe
圖3圖4圖5圖6
4.如圖，點在同一直線上填「是」或「不是」）的對頂角，要使，還需新增乙個條件，這個條件可以是只需寫出乙個）．
5.已知：如圖，e,f在ac上，ad∥cb且ad=cb，∠d＝∠b.求證：ae=cf.
6.如圖，在□abcd中，分別延長ba，dc到點e，使得ae=ab，ch=cd，連線eh，分別交ad，bc於點f,g。求證：△aef≌△chg.
7.如圖，點a、f、c、d在同一直線上，點b和點e分別在直線ad的兩側，且ab＝de，∠a＝∠d，af＝dc．求證：bc∥ef．
8.在△abc中,ab=cb,∠abc=90,f為ab延長線上一點,點e在bc上,且ae=cf.
(1)求證:rt△abe≌rt△cbf;
(2)若∠cae=30,求∠acf度數.
9.如圖6,於點,於點,交於點,且.
求證.10．如圖，在rt△abc中，∠bac=90°，ac=2ab，點d是ac的中點，將一塊銳角為45°的直角三角板如圖放置，使三角板斜邊的兩個端點分別與a、d重合，鏈結be、ec．試猜想線段be和ec的數量及位置關係，並證明你的猜想．
11.如圖，在△abc中，ad是中線，分別過點b、c作ad及其延長線的垂線be、cf，垂足分別為點e、f．求證：be=cf．
12.已知:如圖,在△abc中,d為bc上的一點,ad平分∠edc,且∠e=∠b,ed=dc.求證:ab=ac
13.如圖，在平行四邊形abcd 中，e為bc 中點，ae的延長線與dc的延長線相交於點f.
(1)證明：∠dfa = ∠fab；
(2)證明: △abe≌△fce.
14．如圖（1），△abc與△efd為等腰直角三角形，ac與de重合，ab=ac=ef=9，∠bac=∠def=90，固定△abc，將△def繞點a順時針旋轉，當df邊與ab邊重合時，旋轉中止．現不考慮旋轉開始和結束時重合的情況，設de，df(或它們的延長線)分別交bc(或它的延長線) 於g，h點，如圖(2)
（1）問：始終與△agc相似的三角形有及 ；
（2）設cg=x，bh=y，求y關於x的函式關係式（只要求根據圖(2)的情形說明理由）
（3）問：當x為何值時，△agh是等腰三角形.
15. 如圖．在△abc中．d是ab的中點．e是cd的中點．過點c作cf∥ab交ae的延長線於點f．連線bf。
（1）(4分)求證：db=cf；
（2）(4分)如果ac=bc．試判斷四邊彤bdcf的形狀．並證明你的結論。
16．如圖2，等腰直角三角形abc的直角邊ab的長為6cm，
將△abc繞點a逆時針旋轉15°後得到△ab′c′，則圖
中陰影部分面積等於_________cm2．
18. 如入，在△abc中，∠acb=90°，ac=bc，be⊥ce於點e，ad⊥ce於點d。
求證：△bec≌△cda
19．在△abc中，∠acb＝90°，∠abc＝30°，將△abc繞頂點c順時針旋轉，旋轉角為(0°＜＜180°)，得到△a1b1c．
(1)如圖1，當ab∥cb1時，設a1b1與bc相交於點d．證明：△a1cd是等邊三角形；
(2)如圖2，連線aa1、bb1，設△aca1和△bcb1的面積分別為s1、s2．求證：s1∶s2＝1∶3；
(3)如圖3，設ac的中點為e，a1b1的中點為p，ac＝a，連線ep．當時，ep的長度最大，最大值為 ．
20．如圖9,已知線段ab的長為2a，點p是ab上的動點（p不與a，b重合），分別以ap、pb為邊向線段ab的同一側作正△apc和正△pbd．
（1）當△apc與△pbd的面積之生取最小值時，ap=；（直接寫結果）
（2）鏈結ad、bc，相交於點q，設∠aqc=α，那麼α的大小是否會隨點p的移動面變化？請說明理由；
（3）如圖10，若點p固定，將△pbd繞點p按順時針方向旋轉（旋轉角小於180°），此時α的大小是否發生變化？（只需直接寫出你的猜想，不必證明）
翻摺成圖
1.如圖所示，已知在三角形紙片abc中，bc=3，，∠bca=90°在上取一點，
以為摺痕，使的一部分與重合，與延長線上的點重合，則dｅ的長度為
（ ） a.6 b.3 c. d.
2.如圖，平分於點，點是射線上的乙個動點，若，則的最小值為（ ）
a.1b.2c.3d. 4
1圖2圖3圖4圖5圖
3. 如圖，已知∠1＝∠2，則不一定能使△abd≌△acd的條件是（ ）
a．ab＝ac b．bd＝cd c．∠b＝∠c d．∠ bda＝∠cda
4.如圖下列條件中，不能證明△abd≌△acd的是（ ）.
a.bd=dc，ab=acb.∠adb=∠adc c.∠b=∠c，∠bad=∠cad d.∠b=∠c，bd=dc
5.如圖所示，兩塊完全相同的含30°角的直角三角形疊放在一起，且∠dab=30°。有以下四個結論：
①af⊥bc ；②△adg≌△acf； ③o為bc的中點； ④ag：de=：4，其中正確結論的序號是錯填得0分，少填酌情給分）
6.下列命題中，真命題是（ ）．
(a)周長相等的銳角三角形都全等b) 周長相等的直角三角形都全等；
(c)周長相等的鈍角三角形都全等d) 周長相等的等腰直角三角形都全等．
7.已知：如圖，∠abc=∠dcb，bd、ca分別是∠abc、∠dcb的平分線．求證：ab=dc
8.如圖，點d，e分別在ac，ab上．(1) 已知，bd=ce，cd=be，求證：ab=ac；
(2) 分別將「bd=ce」記為①，「cd=be」 記為②，「ab=ac」記為③．新增條件①、③，以②為結論構成命題1，新增條件②、③以①為結論構成命題2．命題1是命題2的命題，命題2是命題．（選擇「真」或「假」填入空格）．
9.兩塊完全相同的三角形紙板abc和def，按如圖所示的方式疊放，陰影部分為重疊部分，點o為邊ac和df的交點.不重疊的兩部分△aof與△doc是否全等？為什麼？
全等三角形考點
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考點跟蹤訓練21三角形與全等三角形
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