三角形的有關證明
1已知:ab=4,ac=2,d是bc中點,111749ad是整數,求ad
解:延長ad到e,使ad=de
∵d是bc中點
∴bd=dc
在△acd和△bde中
ad=de
∠bde=∠adc
bd=dc
∴△acd≌△bde
∴ac=be=2
∵在△abe中
ab-be<ae<ab+be
∵ab=4
即4-2<2ad<4+2
1<ad<3
∴ad=2
2已知:d是ab中點,∠acb=90°,求證:
延長cd與p,使d為cp中點。連線ap,bp
∵dp=dc,da=db
∴acbp為平行四邊形
又∠acb=90
∴平行四邊形acbp為矩形
∴ab=cp=1/2ab
3已知:bc=de,∠b=∠e,∠c=∠d,f是cd中點,求證:∠1=∠2
證明:連線bf和ef
∵ bc=ed,cf=df,∠bcf=∠edf
∴ 三角形bcf全等於三角形edf(邊角邊)
∴ bf=ef,∠cbf=∠def
連線be
在三角形bef中,bf=ef
∴ ∠ebf=∠bef。
∵ ∠abc=∠aed。
∴ ∠abe=∠aeb。
∴ ab=ae。
在三角形abf和三角形aef中
ab=ae,bf=ef,
∠abf=∠abe+∠ebf=∠aeb+∠bef=∠aef
∴ 三角形abf和三角形aef全等。
∴ ∠baf=∠eaf (∠1=∠2)。
4已知:∠1=∠2,cd=de,ef//ab,求證:ef=ac
過c作cg∥ef交ad的延長線於點g
cg∥ef,可得,∠efd=cgd
de=dc
∠fde=∠gdc(對頂角)
∴△efd≌△cgd
ef=cg
∠cgd=∠efd
又,ef∥ab
∴,∠efd=∠1
∠1=∠2
∴∠cgd=∠2
∴△agc為等腰三角形,
ac=cg
又 ef=cg
∴ef=ac
5已知:ad平分∠bac,ac=ab+bd,求證:∠b=2∠c
證明:延長ab取點e,使ae=ac,連線de
∵ad平分∠bac
∴∠ead=∠cad
∵ae=ac,ad=ad
∴△aed≌△acd (sas)
∴∠e=∠c
∵ac=ab+bd
∴ae=ab+bd
∵ae=ab+be
∴bd=be
∴∠bde=∠e
∵∠abc=∠e+∠bde
∴∠abc=2∠e
∴∠abc=2∠c
6已知:ac平分∠bad,ce⊥ab,∠b+∠d=180°,求證:ae=ad+be
證明:在ae上取f,使ef=eb,連線cf
∵ce⊥ab
∴∠ceb=∠cef=90°
∵eb=ef,ce=ce,
∴△ceb≌△cef
∴∠b=∠cfe
∵∠b+∠d=180°,∠cfe+∠cfa=180°
∴∠d=∠cfa
∵ac平分∠bad
∴∠dac=∠fac
∵ac=ac
∴△adc≌△afc(sas)
∴ad=af
∴ae=af+fe=ad+be
7已知:ab=4,ac=2,d是bc中點,ad是整數,求ad
解:延長ad到e,使ad=de
∵d是bc中點
∴bd=dc
在△acd和△bde中
ad=de
∠bde=∠adc
bd=dc
∴△acd≌△bde
∴ac=be=2
∵在△abe中
ab-be<ae<ab+be
∵ab=4
即4-2<2ad<4+2
1<ad<3
∴ad=2
8已知:d是ab中點,∠acb=90°,求證:
解:延長ad到e,使ad=de
∵d是bc中點
∴bd=dc
在△acd和△bde中
ad=de
∠bde=∠adc
bd=dc
∴△acd≌△bde
∴ac=be=2
∵在△abe中
ab-be<ae<ab+be
∵ab=4
即4-2<2ad<4+2
1<ad<3
∴ad=2
9已知:bc=de,∠b=∠e,∠c=∠d,f是cd中點,求證:∠1=∠2
證明:連線bf和ef。
∵ bc=ed,cf=df,∠bcf=∠edf。
∴ 三角形bcf全等於三角形edf(邊角邊)。
∴ bf=ef,∠cbf=∠def。
連線be。
在三角形bef中,bf=ef。
∴ ∠ebf=∠bef。
又∵ ∠abc=∠aed。
∴ ∠abe=∠aeb。
∴ ab=ae。
在三角形abf和三角形aef中,
ab=ae,bf=ef,
∠abf=∠abe+∠ebf=∠aeb+∠bef=∠aef。
∴ 三角形abf和三角形aef全等。
∴ ∠baf=∠eaf (∠1=∠2)。
10已知:∠1=∠2,cd=de,ef//ab,求證:ef=ac
過c作cg∥ef交ad的延長線於點g
cg∥ef,可得,∠efd=cgd
de=dc
∠fde=∠gdc(對頂角)
∴△efd≌△cgd
ef=cg
∠cgd=∠efd
又ef∥ab
∴∠efd=∠1
∠1=∠2
∴∠cgd=∠2
∴△agc為等腰三角形,
ac=cg
又 ef=cg
∴ef=ac
11已知:ad平分∠bac,ac=ab+bd,求證:∠b=2∠c
證明:延長ab取點e,使ae=ac,連線de
∵ad平分∠bac
∴∠ead=∠cad
∵ae=ac,ad=ad
∴△aed≌△acd (sas)
∴∠e=∠c
∵ac=ab+bd
∴ae=ab+bd
∵ae=ab+be
∴bd=be
∴∠bde=∠e
∵∠abc=∠e+∠bde
∴∠abc=2∠e
∴∠abc=2∠c
12. 如圖,四邊形abcd中,ab∥dc,be、ce分別平分∠abc、∠bcd,且點e在ad上。求證:bc=ab+dc。
在bc上擷取bf=ab,連線ef
∵be平分∠abc
∴∠abe=∠fbe
又∵be=be
∴⊿abe≌⊿fbe(sas)
∴∠a=∠bfe
∵ab//cd
∴∠a+∠d=180
∵∠bfe+∠cfe=180
∴∠d=∠cfe
又∵∠dce=∠fce
ce平分∠bcd
ce=ce
∴⊿dce≌⊿fce(aas)
∴cd=cf
∴bc=bf+cf=ab+cd
13.已知:ab//ed,∠eab=∠bde,af=cd,ef=bc,求證:∠f=∠c
ab‖ed,得:∠eab+∠aed=∠bde+∠abd=180度,
∵∠eab=∠bde,
∴∠aed=∠abd,
∴四邊形abde是平行四邊形。
∴得:ae=bd,
∵af=cd,ef=bc,
∴三角形aef全等於三角形dbc,
∴∠f=∠c。
14 已知:ab=cd,∠a=∠d,求證:∠b=∠c
證明:設線段ab,cd所在的直線交於e,(當adbc時,e點是射線ab,dc的交點)。則:
△aed是等腰三角形。
∴ae=de
而ab=cd
∴be=ce (等量加等量,或等量減等量)
∴△bec是等腰三角形
∴∠b=∠c.
15 p是∠bac平分線ad上一點,ac>ab,求證:pc-pb在ac上取點e,
使ae=ab。
∵ae=ab
ap=ap
∠eap=∠bae,
∴△eap≌△bap
∴pe=pb。
pc<ec+pe
∴pc<(ac-ae)+pb
∴pc-pb<ac-ab。
16 已知∠abc=3∠c,∠1=∠2,be⊥ae,求證:ac-ab=2be
證明:在ac上取一點d,使得角dbc=角c
∵∠abc=3∠c
∴∠abd=∠abc-∠dbc=3∠c-∠c=2∠c;
∵∠adb=∠c+∠dbc=2∠c;
∴ab=ad
∴ac – ab =ac-ad=cd=bd
在等腰三角形abd中,ae是角bad的角平分線,
∴ae垂直bd
∵be⊥ae
∴點e一定在直線bd上,
在等腰三角形abd中,ab=ad,ae垂直bd
∴點e也是bd的中點
∴bd=2be
∵bd=cd=ac-ab
∴ac-ab=2be
17 已知,e是ab中點,af=bd,bd=5,ac=7,求dc
∵作ag∥bd交de延長線於g
∴age全等bde
∴ag=bd=5
∴agf∽cdf
af=ag=5
∴dc=cf=2
18.如圖,在△abc中,bd=dc,∠1=∠2,求證:ad⊥bc.
解:延長ad至bc於點e,
∵bd=dc ∴△bdc是等腰三角形
∴∠dbc=∠dcb
又∵∠1=∠2 ∴∠dbc+∠1=∠dcb+∠2
即∠abc=∠acb
∴△abc是等腰三角形
∴ab=ac
在△abd和△acd中
{ab=ac
∠1=∠2
bd=dc
∴△abd和△acd是全等三角形(邊角邊)
∴∠bad=∠cad
∴ae是△abc的中垂線
∴ae⊥bc
∴ad⊥bc
19.如圖,om平分∠poq,ma⊥op,mb⊥oq,a、b為垂足,ab交om於點n.
求證:∠oab=∠oba
證明:∵om平分∠poq
∴∠pom=∠qom
∵ma⊥op,mb⊥oq
∴∠mao=∠mbo=90
∵om=om
∴△aom≌△bom (aas)
∴oa=ob
∵on=on
∴△aon≌△bon (sas)
∴∠oab=∠oba,∠ona=∠onb
∵∠ona+∠onb=180
∴∠ona=∠onb=90
∴om⊥ab
20.(5分)如圖,已知ad∥bc,∠pab的平分線與∠cba的平分線相交於e,ce的連線交ap於d.求證:ad+bc=ab.
做be的延長線,與ap相交於f點,
∵pa//bc
∴∠pab+∠cba=180°,又∵,ae,be均為∠pab和∠cba的角平分線
∴∠eab+∠eba=90°∴∠aeb=90°,eab為直角三角形
在三角形abf中,ae⊥bf,且ae為∠fab的角平分線
∴三角形fab為等腰三角形,ab=af,be=ef
在三角形def與三角形bec中,
∠ebc=∠dfe,且be=ef,∠def=∠ceb,
∴三角形def與三角形bec為全等三角形,∴df=bc
∴ab=af=ad+df=ad+bc
21.如圖,△abc中,ad是∠cab的平分線,且ab=ac+cd,求證:∠c=2∠b
延長ac到e
使ae=ac 連線 ed
∵ ab=ac+cd
∴ cd=ce
可得∠b=∠e
△cde為等腰
∠acb=2∠b
22.(6分)如圖①,e、f分別為線段ac上的兩個動點,且de⊥ac於e,bf⊥ac於f,若ab=cd,af=ce,bd交ac於點m.
(1)求證:mb=md,me=mf
(2)當e、f兩點移動到如圖②的位置時,其餘條件不變,上述結論能否成立?若成立請給予證明;若不成立請說明理由.
(1)連線be,df.
∵de⊥ac於e,bf⊥ac於f,
∴∠dec=∠bfa=90°,de∥bf,
在rt△dec和rt△bfa中,
∵af=ce,ab=cd,
∴rt△dec≌rt△bfa(hl),
∴de=bf.
∴四邊形bedf是平行四邊形.
∴mb=md,me=mf;
(2)連線be,df.
∵de⊥ac於e,bf⊥ac於f,
∴∠dec=∠bfa=90°,de∥bf,
在rt△dec和rt△bfa中,
∵af=ce,ab=cd,
∴rt△dec≌rt△bfa(hl),
∴de=bf.
∴四邊形bedf是平行四邊形.
∴mb=md,me=mf.
全等三角形證明經典50題 含答案
1.已知 ab 4,ac 2,d是bc中點,ad是整數,求ad 2.已知 d是ab中點,acb 90 求證 3.已知 bc de,b e,c d,f是cd中點,求證 1 2 4.已知 1 2,cd de,ef ab,求證 ef ac 5.已知 ad平分 bac,ac ab bd,求證 b 2 c 6...
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