第六章定積分應用
一、定積分應用的型別及定積分的元素法
1、基本內容：
本章是利用定積分理論來分析解決幾何學和物理學中的一些問題，進而掌握用元素法（微元法）求解問題的基本思想。
幾何問題包括：平面圖形的面積；旋轉體的體積；平行截面面積為已知的立體的體積；平面曲線的弧長。
物理問題包括：變力沿直線作功（含吸水和將水中物體提出）；鉛直放入水中的平板所受壓力；細棒對質點的引力。
2. 構造微元的基本思想及解題步驟
（1）構造微元的基本思想
無論是幾何應用還是物理應用通常採用元素法。
元素法的實質是區域性上「以直代曲」、「以不變代變」、「以均勻變化代不均勻變化」的方法，其「代替」的原則必須是無窮小量之間的代替。將區域性上所對應的這些微元無限積累，通過取極限，把所求的量表示成定積分。
(2) 元素法是應用定積分求具有可加性幾何量和物理量的重要方法，具體步驟如下：
①根據實際問題，先作草圖，再選取適當的座標系和積分變數(例如為積分變數)，並確定其取值區間；
②在積分區間上，任取乙個小區間，如，很小，故運用「以直代曲」，「不變代變」等思想，求出欲求量u的元素；
③對元素進行積分，得，並應用微積分基本公式計算出u值.注意中不能出現的其它冪次，如；正確找出是求總量u的關鍵.
二、定積分在幾何上的應用
1 平面圖形的面積
（1）直角座標系下的面積
① 設平面圖形由連續曲線，，和圍成，則面積
② 設平面圖形由連續曲線，，和圍成，則面積
（2）極座標系下的面積
設曲邊扇形由連續曲線及射線圍成,則面積
.2 平行截面面積（）為已知的立體體積.
3 旋轉體的體積
① 設由，，軸和連續曲線所圍成的曲邊梯形設為。
繞x軸旋轉所形成的旋轉體的體積為；
② 設由，，軸和連續曲線(所圍成的曲邊梯形設為，繞軸旋轉所形成的旋轉體的體積為
4 曲線弧長
①直角座標方程,則弧長公式.
②引數方程，則弧長公式.
③極座標,則
三、幾何應用典型例題
【例1】求由，所圍成圖形的面積。
【例2】 求位於曲線下方，該曲線過原點的切線的左方以及軸上方之間的圖形的面積。
【例3】求曲線及所圍成的在原點側圖形的面積。
解：畫草圖，求得極座標下交點，和。
由圖形的對稱性，僅考慮軸上方部分的面積的計算方法。
選為積分變數，變化範圍是。
從而，所求面積
【例4】假設曲線與軸、軸所圍的平面圖形，被曲線分成面積相等的兩部分，其中為常數，試確定的的值。
【例5】設由曲線（），及圍成平面圖形，試分別求平面圖形繞軸、軸旋轉而成的旋轉體的體積。
【例6】設由曲線（），及圍成平面圖形，試求平面圖形繞直線旋轉而成的旋轉體的體積。
解：取為積分變數，則，繞軸旋轉而成的旋轉體的體積為
【例7】 計算底面是半徑為2的圓，而垂直於底面上一條固定直徑的所有截面都是等邊三角形的立體的體積。
解：建立如圖8所示的座標系，則底圓方程為。取為積分變數，所以。
因為過點的截面為等邊三角形（如圖9），其邊長為，高為，所以截面積為
所求立體的體積為
【例8】計算半立方拋物線，被拋物線截得的一段弧的長度。
【例9】求星形線，的全長.
解：取引數為積分變數，，有對稱性得
所求的曲線弧長為
四、定積分在物理上的應用與典型例題：
定積分的物理應用包括作功、水壓力和引力等問題。本節僅給出作功、水壓力和引力問題的例子。重點強調應用元素法如何確定功元素、水壓力元素和引力元素。
特別指出的是，在應用定積分解決物理應用方面的問題時，選取合適的座標系，有利於積分式的簡化，從而實現計算簡單。
【例1】一底為8厘公尺，高為6厘公尺的等腰三角形片，鉛直沉入水中，頂在上，底在下，底與水平面平行，頂距水面3厘公尺，求每面所受的壓力。
【例2】 將半徑為的半球形水池內注滿水，若將滿池水全部抽出，需作多少功？
【例3】為清除井底的汙泥，用纜繩將抓斗放入井底，抓起汙泥後提出井口，已知井深，抓斗自重，纜繩每公尺重，抓斗抓起的汙泥重，提公升速度為，在提公升過程中，汙泥以的速度從抓斗縫隙中漏掉．現將抓起汙泥的抓斗提公升至井口，問克服重力需作多少焦耳的功．
（說明：(1)分別表示公尺，牛頓，秒，焦耳．(2) 抓斗的高度及位於井口上方的纜繩長度忽略不計）．
【例4】用鐵鎚將一鐵釘擊入木板，設木板對鐵釘的阻力與鐵釘擊入木板的深度成正比，在擊第一次時，將木板擊入木板1cm，如果木板每次打擊鐵釘所做的功相等，問鎚擊第二次時，鐵釘又擊入多少？
【例5】一質量為長為的均勻細桿，在的延長線上且與的距離為處有一質量為的質點.（1）求杆對質點的引力，（2）當質點在的延長線上從與端距離為運動到處時，求克服引力所需作的功.
【例6】有一半徑為的均勻半圓弧，質量為，求它對位於圓心處的單位質量質點的引力。
【例7】在平面上, 有一條從點(a,0)向右的射線,線密度為,在點(0, h)處（其中h > 0）,有一質量為m 的質點. 求射線對該質點的引力.
五、習題
1 求由拋物線，直線和直線所圍成的圖形的面積。
2求由擺線，的一拱()與軸所圍成圖形的面積.
3 求拋物線在點和點處的兩條切線與該拋物線所圍成的圖形的面積。
4 求曲線圍成的圖形的面積.
5 設是由曲線，直線及軸所圍成的圖形，求
(1)繞軸旋轉所成旋轉體的體積；(2)繞軸旋轉所成旋轉體的體積。
。6 設有一截錐體，其上、下底均為橢圓面，橢圓的軸長分別為，和，，截錐體的高為，求這截錐體的體積。
7 設曲線與交於點，過座標原點和點的直線與曲線圍成一平面圖形，問為何值時，該圖形繞軸旋轉一周所得到的旋轉體的體積最大？最大體積是多少？
8 求曲線的弧長
9 在星形線， 上已知兩點及，求點使弧等於四分之一弧。
10.求曲線與軸圍成的封閉圖形繞直線旋轉所得的旋轉體體積．
11.計算曲線上相應於的一段弧的長度．
12.曲線從到的一段弧長為：
13 設半徑為公尺的半球形蓄水池盛滿水，試計算抽空池中水需作的功。
14 有圓柱形的儲水桶，深10公尺，底圓半徑為3公尺，內部盛滿水.若把其中的水吸出原有的，需作多少功？
15 有等腰梯形水閘，上底6公尺，下底2公尺，高10公尺，試求當水面與上底相齊時，閘門所受的水壓力（水密度）.
16斜邊為定長的直角三角形薄板，垂直放置於水中，並使一直角邊與水相齊，設斜邊與水面交成的銳角是，問取多大時薄板所受的壓力最大？
17設密度與水相同、半徑為的球沉在水中，恰與水面相切，為將球從水中取出，需作多少功？
18有一半徑為，中心角為的均勻圓弧形細棒，其線密度為，求它對位於圓心處的質量為的質點的引力。
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