高中數學必修1知識點總結
第二章基本初等函式(ⅰ)
〖2.1〗指數函式
【2.1.1】指數與指數冪的運算
(1)根式的概念
①如果,且,那麼叫做的次方根.當是奇數時,的次方根用符號表示;當是偶數時,正數的正的次方根用符號表示,負的次方根用符號表示;0的次方根是0;負數沒有次方根.
②式子叫做根式,這裡叫做根指數,叫做被開方數.當為奇數時,為任意實數;當為偶數時,.
③根式的性質:;當為奇數時,;當為偶數時,.
(2)分數指數冪的概念
①正數的正分數指數冪的意義是:且.0的正分數指數冪等於0.
②正數的負分數指數冪的意義是:且.0的負分數指數冪沒有意義. 注意口訣:底數取倒數,指數取相反數.
(3)分數指數冪的運算性質
③【2.1.2】指數函式及其性質
(4)指數函式
〖2.2〗對數函式
【2.2.1】對數與對數運算
(1)對數的定義
①若,則叫做以為底的對數,記作,其中叫做底數,叫做真數.
②負數和零沒有對數.
③對數式與指數式的互化:.
(2)幾個重要的對數恒等式
,,.(3)常用對數與自然對數
常用對數:,即;自然對數:,即(其中…).
(4)對數的運算性質如果,那麼
①加法: ②減法:
③數乘: ④
⑤ ⑥換底公式:
【2.2.2】對數函式及其性質
(5)對數函式
(6)反函式的概念
設函式的定義域為,值域為,從式子中解出,得式子.如果對於在中的任何乙個值,通過式子,在中都有唯一確定的值和它對應,那麼式子表示是的函式,函式叫做函式的反函式,記作,習慣上改寫成.
(7)反函式的求法
①確定反函式的定義域,即原函式的值域;②從原函式式中反解出;
③將改寫成,並註明反函式的定義域.
(8)反函式的性質
①原函式與反函式的圖象關於直線對稱.
②函式的定義域、值域分別是其反函式的值域、定義域.
③若在原函式的圖象上,則在反函式的圖象上.
④一般地,函式要有反函式則它必須為單調函式.
〖2.3〗冪函式
(1)冪函式的定義
一般地,函式叫做冪函式,其中為自變數,是常數.
(2)冪函式的圖象
(3)冪函式的性質
①圖象分布:冪函式圖象分布在第
一、二、三象限,第四象限無圖象.冪函式是偶函式時,圖象分布在第
一、二象限(圖象關於軸對稱);是奇函式時,圖象分布在第
一、三象限(圖象關於原點對稱);是非奇非偶函式時,圖象只分布在第一象限.
②過定點:所有的冪函式在都有定義,並且圖象都通過點.
③單調性:如果,則冪函式的圖象過原點,並且在上為增函式.如果,則冪函式的圖象在上為減函式,在第一象限內,圖象無限接近軸與軸.
④奇偶性:當為奇數時,冪函式為奇函式,當為偶數時,冪函式為偶函式.當(其中互質,和),若為奇數為奇數時,則是奇函式,若為奇數為偶數時,則是偶函式,若為偶數為奇數時,則是非奇非偶函式.
⑤圖象特徵:冪函式,當時,若,其圖象在直線下方,若,其圖象在直線上方,當時,若,其圖象在直線上方,若,其圖象在直線下方.
〖補充知識〗二次函式
(1)二次函式解析式的三種形式
①一般式:②頂點式:③兩根式:(2)求二次函式解析式的方法
①已知三個點座標時,宜用一般式.
②已知拋物線的頂點座標或與對稱軸有關或與最大(小)值有關時,常使用頂點式.
③若已知拋物線與軸有兩個交點,且橫線座標已知時,選用兩根式求更方便.
(3)二次函式圖象的性質
①二次函式的圖象是一條拋物線,對稱軸方程為頂點座標是.
②當時,拋物線開口向上,函式在上遞減,在上遞增,當時,;當時,拋物線開口向下,函式在上遞增,在上遞減,當時,.
③二次函式當時,圖象與軸有兩個交點.
(4)一元二次方程根的分布
一元二次方程根的分布是二次函式中的重要內容,這部分知識在初中代數中雖有所涉及,但尚不夠系統和完整,且解決的方法偏重於二次方程根的判別式和根與係數關係定理(韋達定理)的運用,下面結合二次函式圖象的性質,系統地來分析一元二次方程實根的分布.
設一元二次方程的兩實根為,且.令,從以下四個方面來分析此類問題:①開口方向: ②對稱軸位置: ③判別式: ④端點函式值符號.
①k<x1≤x2
②x1≤x2<k
③x1<k<x2 af(k)<0
④k1<x1≤x2<k2
⑤有且僅有乙個根x1(或x2)滿足k1<x1(或x2)<k2 f(k1)f(k2) 0,並同時考慮f(k1)=0或f(k2)=0這兩種情況是否也符合
⑥k1<x1<k2≤p1<x2<p2
此結論可直接由⑤推出.
(5)二次函式在閉區間上的最值
設在區間上的最大值為,最小值為,令.
(ⅰ)當時(開口向上)
①若,則 ②若,則 ③若,則
①,則 ②,則
(ⅱ)當時(開口向下)
①若,則 ②若,則 ③若,則
1 ,則則.
相關練習題
1.若函式在區間上的最大值
是最小值的倍,則的值為( )
a. b. c. d.
2.若函式的圖象過兩點
和,則( )
a. b.
c. d.
3.已知,那麼等於( )
a. b. c. d.
4.函式( )
1、是偶函式,在區間上單調遞增
2、是偶函式,在區間上單調遞減
3、是奇函式,在區間上單調遞增
d.是奇函式,在區間上單調遞減
5.已知函式( )
a. b. c. d.
6.函式在上遞減,那麼在上( )
a.遞增且無最大值 b.遞減且無最小值
c.遞增且有最大值 d.遞減且有最小值
1.若是奇函式,則實數
2.函式的值域是
3.已知則用表示
4.設, ,且,則
5.計算
6.函式的值域是
三、解答題
2.解方程:(1) (2)
3.已知當其值域為時,求的取值範圍。
4.已知函式,求的定義域和值域;
參***
一、選擇題
1. a
2. a 且
3. d 令
4. b 令,即為偶函式
令時,是的減函式,即在區間上單調遞減
5. b
6. a 令,是的遞減區間,即,是的
遞增區間,即遞增且無最大值。
二、填空題
1.(另法):,由得,即
2.而3.
4. ∵∴
又∵∴,∴
5.6. ,
三、解答題
2.解:(1)
2)3.解:由已知得
即得即,或
∴,或。
4.解:,即定義域為;
,即值域為。
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