physixfan 2011-08-08 17:01:37
誰說數學證明就是一大堆複雜的公式推來推去?它也可以很溫柔,很精緻。本文就列舉了十個非常詩情畫意的數學證明,這些奇思妙想甚至不需要借助語言來表達,就能讓你感受到數學的無限魅力。
相信看完本文,你一定會深深地愛上數學這門藝術。
當談到複雜數學定理的證明時,很多人常常為之色變,認為這只是乙個枯燥的公式堆砌和深奧的數學推導過程。這當然是乙個讓筆者感到糾結的誤解。因為數學證明中包含的美麗與精巧實在是一道亮麗的風景線,而這種亮麗甚至不需要用語言來描述。
所以我在這裡盤點了數學裡十大不需要語言的證明(proofs without words)。讓讀者在領略數學所包含的無與倫比的精巧之外,更從此愛上數學。
0. 勾股定理
這個大家小學就學過的古老定理,有著無數傳奇故事。我可以很隨意的寫出她的10個不同的證明方法。而路明思(elisha scott loomis)在 《畢達哥拉斯命題》( pythagorean proposition)提到這個定理的證明方式居然有367種之多,實在讓人驚訝。
這裡給出乙個不需要語言的證明方法。
實際上勾股定理是餘弦定理的一種特殊情況,而餘弦定理的證明,同樣可以不用語言。
1. 關於反正切的恒等式
關於反正切,有如下兩個很精彩的等式:
arctan1/2+arctan1/3=π/4
acrtan1+arctan2+arctan3=π
它們的證明方法也同樣精彩
2. 幾何平均值小於算術平均值
這是不等式中最重要和基礎的等式:
它也可以通過圖形來證明。
注意到△abc∽△dba ,可以很輕鬆地得到ab=√ab。剩下的就顯而易見了。
3. 1+3+5+…+(2n-1)= n 2
這是奇數的求和公式,下圖是當n=8時的情形
4. 平方數的求和公式
5. 立方數的求和公式
6. 斐波那契數列的恒等式
可謂家喻戶曉的斐波那契數列指的是這樣乙個數列:1、1、2、3、5、8、13、21 ……
這個數列從第三項開始,每一項都等於前兩項之和, f n+1 = f n + f n-1 。
它的通項公式是
有趣的是,這樣乙個完全是自然數的數列,通項公式居然是用無理數來表達的。而且當n無窮大時 f n-1 / f n 越來越逼近**分割數0.618。
正因為它的種種神奇性質,美國數學會甚至從2023年代起出版了《斐波納契數列》季刊。關於斐波那契數列,有乙個恒等式是這樣的
這個等式很漂亮,不需要借助複雜的數學推導,它有乙個很直觀的證明方法
7. 結果為1/3的一組分子式
下面是一組分子式,他們的結果都等於1/3 :
8. 最受數學家喜愛的無字證明
1989 年的《美國數學月刊》(american mathematical monthly)上有乙個貌似非常困難的數學問題:下圖是由乙個個小三角形組成的正六邊形棋盤,現在請你用右邊的三種(僅朝向不同的)菱形把整個棋盤全部擺滿(圖中只擺了其中一部分),證明當你擺滿整個棋盤後,你所使用的每種菱形數量一定相同。
《美國數學月刊》提供了乙個非常帥的「證明」。把每種菱形塗上一種顏色,整個圖形瞬間有了立體感,看上去就成了乙個個立方體在牆角堆疊起來的樣子。三種菱形分別是從左側、右側、上方觀察整個立體圖形能夠看到的面,它們的數目顯然應該相等。
它把乙個純組合數學問題和立體空間圖形結合在了一起,實在讓人拍案叫絕。這個問題及其鬼斧神工般的「證明」流傳甚廣,深受數學家們的喜愛。死理性派曾經討論過這個問題 。
同時它還是死理性派logo的出處。
9. 棋盤上的數學證明
在乙個8×8的西洋棋棋盤上,我們可以用32張多公尺諾骨牌(是兩個相連正方形的長方形牌)覆蓋整個棋盤上的64個方格。如果將對角線上的兩個方格切掉,剩下來的62個格仔還能用31張骨牌覆蓋住嗎?
答案是不能的。每一張骨牌在棋盤上必是覆蓋住兩個相鄰方格,一白一黑。所以31張骨牌應該可以蓋住31個黑格和31個白格。
而這被切了角的棋盤上的方格有32個是一種顏色,另一種顏色是30個,因此是不能被31張骨牌覆蓋的。
但是如果我們切掉的不是顏色相同的兩個呢?假如我們從棋盤的任何部位切掉兩個顏色不同的方格,那麼剩下來的62格是否一定能被31張骨牌完全蓋住?我可以告訴你這是一定能做到的,並且關於這個結論,存在乙個非常漂亮的證明。
建議讀者在繼續往下閱讀前,可以先自行思考如何證明這個結論。
上圖就是那個漂亮的證明。不妨對它再贅述兩句。粗黑線條將整個棋盤轉變為一條首尾相連、黑白格相間的封閉路線。
從這棋盤上切掉任何兩個顏色不同的方格,會讓這個封閉線路變成兩段線路(如果切掉的方格是相連的,那就是一條線路)。在這兩段(或一段)線路中,兩種顏色的格仔數量都是偶數,故分別都可以被若干張骨牌覆蓋。從而證明整個棋盤可以被31張骨牌完全覆蓋。
這個著名的棋盤問題是數學遊戲大師馬丁加德納提出的,而上述精妙絕倫的證明則是數學家哥莫瑞(ralph gomory)找到的。它們後來被收錄在《意料之外的絞刑和其他數學娛樂》這本書裡。
數學裡,有一種證明方法叫做proofs without words。誠然,這種證明方法算不上嚴格,但是它卻將數學中包含的最精巧的東西一覽無餘地展現了出來。本文列舉了十個經典的例子。
你還見過什麼高明的嗎,可以在回帖中寫出來。如果有很漂亮的,我會在這裡推薦出來。
資料**:
mathoverflow
《意料之外的絞刑和其他數學娛樂》
《proofs without words》
盤點數學裡十大不需要語言的證明
當談到複雜數學定理的證明時,很多人常常為之色變,認為這只是乙個枯燥的公式堆砌和深奧的數學推導過程。這當然是乙個讓筆者感到糾結的誤解。因為數學證明中包含的美麗與精巧實在是一道亮麗的風景線,而這種亮麗甚至不需要用語言來描述。所以我在這裡盤點了數學裡十大不需要語言的證明 proofs without wo...
數學裡十大不需要語言的證明
zz 數學裡十大不需要語言的證明 徐小萌的日誌 當談到複雜數學定理的證明時,很多人常常為之色變,認為這只是乙個枯燥的公式堆砌和深奧的數學推導過程。這當然是乙個讓筆者感到糾結的誤解。因為數學證明中包含的美麗與精巧實在是一道亮麗的風景線,而這種亮麗甚至不需要用語言來描述。所以我在這裡盤點了數學裡十大不需...
數學裡十大不需要語言的證明
當談到複雜數學定理的證明時,很多人常常為之色變,認為這只是乙個枯燥的公式堆砌和深奧的數學推導過程。這當然是乙個讓筆者感到糾結的誤解。因為數學證明中包含的美麗與精巧實在是一道亮麗的風景線,而這種亮麗甚至不需要用語言來描述。所以我在這裡盤點了數學裡十大不需要語言的證明 poofs without wor...