一、 空間向量及其數量積
1、 在空間，既有大小又有方向的量稱為空間向量。用或表示，其中向量的大小稱為向量的長度或模，記為或。正如平面向量可用座標(x,y.
)表示，空間向量也可用座標(x,y,z)表示。若已知點a座標為（x1，y1，z1）,點b座標為（x2，y2，z2）
則向量=（x2 -x1，y2- y1，z2 -z1）即是終點座標減起點座標。
在空間，知道向量=（x，y，z）則， =
2、 空間向量數量積
1 已知兩個非零向量、，在空間任取一點o，作=， =，則角∠aob叫向量與的夾角，記作＜，＞規定，若0≤＜，＞≤，若＜，＞=，稱與垂直，記作⊥。
2 已知空間兩個向量、，則cos＜，＞叫向量、的數量積，記作＝cos＜，＞若⊥＝０
3 若已知空間向量＝（x1，y1，z1）， ＝（x2，y2，z2）
則＝x1x2+y1y2+z1z2 ，
cos＜，＞＝
例１ 如圖，已知直三稜柱abc-a1b1c1中，∠bca=900,d1、e1分別為a1b1、a1c1中點，若bc=ca=cc，求向量與所成角的余弦值。
練習：已知正方體abcd—中， ==，求向量與所成角的余弦值。
二 、利用向量證線線垂直與線面垂直
例2 在正方體abcd—中，求證ac⊥平面abd
練習：在正方體abcd—中，o為底面abcd的中心，p為dd的中點，
求證：bo⊥平面pac。
例3 如圖，pa⊥矩形abcd所在平面，m, n分別是ab ,pc中點
（1）求證：mn⊥cd
（2）若∠pda=45，求證：mn⊥平面pcd
練習：正方體abcd—中，m是稜dd中點，n是ad中點，
p為稜ab上任一點。求證：np⊥am
作業：1.如圖，正方體abcd—中，e是bb中點，o是底面abcd中心，
求證：oe⊥平面dac.
2.如圖，正方體abcd—中，o ,m分別是bd, aa中點，求證：om是異面直線aa和bd的公垂線.
3、如圖，直三稜柱abc-—abc中，∠acb=90，ac=1，cb=，側稜aa=1，，側面aabb的兩條對角線交點為d，bc的中點為m。求證：cd⊥平面bdm
4在稜長為a的正方體abcd—中，e， f分別為稜ab和bc的中點，m為稜bb
上任一點，當值為多少時能使dm⊥平面efb
5、如圖， abc為正三角形，ae和cd都垂直於平面abc，且ae=ab=2a， cd=a，f為be中點，求證：af⊥bd
6、如圖，已知直三稜柱abc-abc中bc=ac，ab⊥ac。
求證：ab⊥b1c
第三節利用空間向量求二面角及證明面面垂直
一、二面角
二面角，若的乙個法向量為，的乙個法向量為，則 ，二面角的大小為或
例1．如圖，正三稜柱中，e為的中點，，求平面與平面所成銳角的大小。
例2．（05年全國）如圖，在四稜錐v-abcd中，底面abcd是正方形，側面vad是正三角形,平面vad⊥底面abcd．
（1）證明ab⊥平面vad；
（2）求面vad與面vbd所成的二面角的大小．
練習：如圖，稜長為1的正方體
中，e是的中點，
求二面角的余弦值。
二．證面面垂直
若平面的乙個法向量為，平面的乙個法向量為，且，則。
例3．在四稜錐p-abcd中，側面是正三角形，且與底面垂直，已知底面是面積為的菱形，，m是pb的中點。
（1）求證：
（2）求二面角的度數；
（3）求證：平面平面。
練習：（04年遼寧）已知四稜錐p-abcd中，底面abcd是菱形，平面abcd，pd=ad，點e為ab的中點，點f為
pd的中點。
（1）證明平面ped⊥平面pab；
（2）求二面角p-ab-f的平面角的余弦值.
作業：1．（04年廣東）如圖，在長方體中，
已知分別是線段上的點，且。
（ⅰ）求二面角c-de-c1的正切值；
（ⅱ）求直線ec1與fd1所成角的余弦值。
2．（05年全國）已知四稜錐p-abcd的底面為直角梯形，ab∥dc，底面abcd，且pa=ad=dc=ab=1，m是pb的中點。
（1）證明：面pad⊥面pcd；
（2）求ac與pb所成的角；
（3）求面amc與面bmc所成二面角的大小。
3．已知四稜錐p-abcd的底面是邊長為2的正方形，側稜底面abcd，pa＝2，m、n分別是ad、bc的中點，於q
（1）求證：平面pmn平面pad；
（2）求pm與平面pcd所成角的正弦值；
（3）求二面角的余弦值。
4．（06年全國）如圖，在直三稜柱abc－a1b1c1中，ab＝bc，
d、e分別為bb1、ac1的中點．
（1）證明：ed為異面直線bb1與ac1的公垂線；
（2）設aa1＝ac＝ab，求二面角a1－ad－c1的大小．
5． （04年浙江）如圖，已知正方形abcd和矩形acef所在的平面互相垂直，ab=，af=1，m是線段ef的中點。
（1）求證：am//平面bde；
（2）求二面角adfb的大小；
（3）試**段ac上確定一點p，使得pf與bc所成的角是60。
6．（05年湖南）如圖1，已知abcd是上．下底邊長分別為2和6，高為的等腰梯形，將它沿對稱軸oo1折成直二面角，如圖2.
（1）證明：ac⊥bo1；
（2）求二面角o-ac-o1的大小。
7．（06年山東）如圖，已知四稜錐p-abcd的底面abcd為
等腰梯形，ab∥dc,ac⊥bd,ac與bd相交於點o，且頂點
p在底面上的射影恰為點o，又bo=2,po=,pb⊥pd.
(1)求異面直線pd與bc所成角的余弦值；
(2)求二面角p-ab-c的大小；
(3)設點m在稜pc上，且為何值時，
pc⊥平面bmd.
第二節用空間向量證明線線垂直與線面垂直
一 空間向量及其數量積 1 在空間，既有大小又有方向的量稱為空間向量。用或表示，其中向量的大小稱為向量的長度或模，記為或。正如平面向量可用座標 x,y.表示，空間向量也可用座標 x,y,z 表示。若已知點a座標為 x1，y1，z1 點b座標為 x2，y2，z2 則向量 x2 x1，y2 y1，z2 ...
38用向量運算證明兩線垂直或求夾角
用向量運算證明兩條直線垂直或求兩條直線所成的角 使用說明及學法指導 1.先精讀一遍教材選修2 1的p99 p101，用紅色筆進行勾畫 再針對預習自學二次閱讀並回答 2.若預習完可對合作 部分認真審題，做不完的正課時再做，對於選作部分bc層可以不做 3.找出自己的疑惑和需要討論的問題準備課上討論質疑。...
利用空間向量證明垂直關係
主講教師 巫宇霞 知識概述 設直線l，m的方向向量分別為a，b，平面 的法向量分別為u，v，則 線線垂直 l ma ba b 0 線面垂直 l a u a ku 面面垂直 u vu v 0.學前診斷 1.難度 易 已知空間四邊形中，求證 2 難度 易 如圖，在四稜錐v abcd中，底面abcd是正方...