特殊的平行四邊形拓展提高題解析（2）
1．（2011煙台）如圖，三個邊長均為2的正方形重疊在一起，o1、o2是其中兩個正方形的中心，則陰影部分的面積是
分析：根據題意作圖，連線o1b，o1c，可得△o1bf≌△o1cg，那麼可得陰影部分的面積與正方形面積的關係，同理得出另兩個正方形的陰影部分面積與正方形面積的關係，從而得出答案．
解：連線o1b、o1c，如圖：
∵∠bo1f+∠fo1c=90°，∠fo1c+∠co1g=90°，
∴∠bo1f=∠co1g，
∵四邊形abcd是正方形，
∴∠o1bf=∠o1cg=45°，
∴△o1bf≌△o1cg，
∴s陰影部分=
2．把一張矩形紙片（矩形abcd）按如圖方式摺疊，使頂點b和點d重合，摺痕為ef．若ab=3cm，bc=5cm，則重疊部分△def的面積是
解：∵按如圖方式摺疊，使頂點b和點d重合，摺痕為ef，
∵ab=3cm，bc=5cm，
∴a′d=ab=3cm，假設ae=x，則a′e=x，de=5-x，
∴a′e2+a′d2=ed2，
∴x2+9=（5-x）2，
解得：x=1.6，
∴de=5-1.6=3.4，
3．（2011孝感）已知正方形abcd，以cd為邊作等邊△cde，則∠aed的度數是 15°或75° ．
分析：當e在正方形abcd內時，根據正方形abcd，得到ad=cd，∠adc=90°，根據等邊△cde，得到cd=de，∠cde=60°，推出ad=de，得出∠dae=∠aed，根據三角形的內角和定理求出即可；
當e在正方形abcd外時，根據等邊三角形cde，推出∠ade=150°，求出即可．
解答：解：有兩種情況：
（1）當e在正方形abcd內時，如圖1
∵正方形abcd，∴ad=cd，∠adc=90°，
∵等邊△cde，∴cd=de，∠cde=60°，
∴∠ade=90°﹣60°=30°，∴ad=de，
∴∠dae=∠aed=（180°﹣∠ade）=75°；
（2）當e在正方形abcd外時，如圖2∵等邊三角形cde，
∴∠edc=60°，
∴∠ade=90°+60°=150°，∴∠aed=∠dae=（180°﹣∠ade）=15°．
故答案為：15°或75°．
4. 如圖，點p是正方形abcd的對角線bd上一點，pe⊥bc於點e，pf⊥cd於點f，連線ef．給出下列五個結論：①ap=ef；②ap⊥ef；③△apd一定是等腰三角形；④∠pfe=∠bap；⑤．其中正確結論的序號是
證明：過p作pg⊥ab於點g，
∵點p是正方形abcd的對角線bd上一點，∴gp=ep，
在△gpb中，∠gbp=45°，∴∠gpb=45°，∴gb=gp，
同理，得pe=be，
∵ab=bc=gf，∴ag=ab-gb，fp=gf-gp=ab-gb，
∴ag=pf，∴△agp≌△fpe，
①∴ap=ef；∠pfe=∠gap∴④∠pfe=∠bap，
②延長ap到ef上於一點h，∴∠pag=∠pfh，
∵∠apg=∠fph，∴∠phf=∠pga=90°，即ap⊥ef；
③∵點p是正方形abcd的對角線bd上任意一點，∠adp=45度，
∴當∠pad=45度或67.5度或90度時，△apd是等腰三角形，
除此之外，△apd不是等腰三角形，故③錯誤．
∵gf∥bc，
∴∠dpf=∠dbc，
又∵∠dpf=∠dbc=45°，
∴∠pdf=∠dpf=45°，
∴pf=ec，
∴在rt△dpf中，dp2=df2+pf2=ec2+ec2=2ec2，
∴其中正確結論的序號是①②④⑤．
5、（2011臨沂）如圖1，將三角板放在正方形abcd上，
使三角板的直角頂點e與正方形abcd的頂點a重合，
三角扳的一邊交cd於點f．另一邊交cb的延長線於點g．
（1）求證：ef=eg；
（2）如圖2，移動三角板，使頂點e始終在正方形abcd的對角線ac上，其他條件不變，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給予證明：若不成立．請說明理由：
5考點：相似三角形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；矩形的性質；正方形的性質。
分析：（1）由∠geb+∠bef=90°，∠def+∠bef=90°，可得∠def=∠geb，又由正方形的性質，可利用sas證得rt△fed≌rt△geb，則問題得證；
（2）首先點e分別作bc、cd的垂線，垂足分別為h、i，然後利用sas證得rt△fei≌rt△geh，則問題得證；
解答：（1）證明：∵∠geb+∠bef=90°，∠def+∠bef=90°，∴∠def=∠geb，
又∵ed=be，∴rt△fed≌rt△geb，∴ef=eg；
（2）成立．證明：如圖，過點e分別作bc、cd的垂線，垂足分別為h、i，
則eh=ei，∠hei=90°，
∵∠geh+∠hef=90°，∠ief+∠hef=90°，∴∠ief=∠geh，∴rt△fei≌rt△geh，∴ef=eg；
6.（本題滿分10分）在 abcd中，ac、bd交於點o，過點o作直線ef、gh，分別交平行四邊形的四條邊於e、g、f、h四點，鏈結eg、gf、fh、he.
（1）如圖①，試判斷四邊形egfh的形狀，並說明理由；
（2）如圖②，當ef⊥gh時，四邊形egfh的形狀是
（3）如圖③，在（2）的條件下，若ac=bd，四邊形egfh的形狀是
（4）如圖④，在（3）的條件下，若ac⊥bd，試判斷四邊形egfh的形狀，並說明理由.
6.（本小題滿分10分）
解：（1）四邊形egfh是平行四邊形
證明：∵ abcd的對角線ac、bd交於點o．
∴點o是 abcd的對稱中心．
∴eo=fo，go=ho．
∴四邊形egfh是平行四邊形
（2）菱形
（3）菱形
（4）四邊形egfh是正方形
證明：∵ac=bd，∴ abcd是矩形． 又∵ac⊥bd， ∴ abcd是菱形．
∴ abcd是正方形，∴∠boc=90°，∠gbo=∠fco=45°．ob=oc．
∵ef⊥gh ，∴∠gof=90°．∴∠bog=∠cof．
∴△bog≌△cof．∴og=of，∴gh=ef
由（1）知四邊形egfh是平行四邊形，又∵ef⊥gh，ef=gh.
∴四邊形egfh是正方形
九年級數學證明部分試題
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二年級數學拓展提高
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九年級數學第三章證明
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