12-1幾何證明選講
基礎鞏固強化
1.如圖，cd是圓o的切線，切點為c，點a、b在圓o上，bc＝1，∠bcd＝30°，則圓o的面積為( )
a. b．π c. d．2π
[答案] b
[解析] ∠a＝∠bcd＝30°，由＝2r，得r＝1，所以圓o的面積為πr2＝π.
2．(文)如圖，e是abcd邊bc上一點，＝4，ae交bd於f，等於( )
a. b. c. d.
[答案] a
[解析] 在ad上取點g，使ag gd＝1:4，連線cg交bd於h，則cg∥ae，
∴＝＝4，＝＝4，∴＝.
[點評] 利用ad∥bc可證△bef△daf.
△bfe△dfa＝＝＝.
(理)如圖，在△abc中，∠a＝90°，正方形defg的邊長是6cm，且四個頂點都在△abc的各邊上，ce＝3 cm，則bc的長為( )
a．12cm b．21cm c．18cm d．15cm
[答案] b
[解析] ∵四邊形defg是正方形，∴∠gdb＝∠fec＝90°，gd＝de＝ef＝6 cm，又∵∠b＋∠c＝90°，∠b＋∠bgd＝90°，∴∠c＝∠bgd，∴△bgd△fce，
∴＝，即bd＝＝12cm，
∴bc＝bd＋de＋ec＝21cm.
3．(文)如圖，rt△abc中，cd為斜邊ab上的高，cd＝6，且ad:bd＝3:2，則斜邊ab上的中線ce的長為( )
a．5 b.
c. d.
[答案] b
[解析] 設ad＝3x，則db＝2x，由射影定理得cd2＝ad·bd，∴36＝6x2，∴x＝，∴ab＝5，
∴ce＝ab＝.
(理)如圖所示，在矩形abcd中，ae⊥bd於e，s矩形＝40cm2，s△abe:s△dba＝1:5，則ae的長為________．
[答案] 4cm
[解析] ∵∠bad＝90°，ae⊥bd，∴△abe△dba，
∴s△abe s△dba＝ab2 db2.
∵s△abe:s△dba＝1:5，∴ab2:db2＝1:5，
∴ab:db＝1:.
設ab＝k，則db＝k，ad＝2k，
∵s矩形＝40cm2，∴k·2k＝40，∴k＝2，
∴bd＝k＝10，ad＝4，
s△abd＝bd·ae＝20，
∴×10×ae＝20，∴ae＝4cm.
4．(文)如圖，四邊形abcd中，df⊥ab，垂足為f，df＝3，af＝2fb＝2，延長fb到e，使be＝fb，連線bd，ec.若bd∥ec，則四邊形abcd的面積為( )
a．4 b．5
c．6 d．7
[答案] c
[解析] 由條件知af＝2，bf＝be＝1，
∴s△ade＝ae×df＝×4×3＝6，
∵ce∥db，∴s△dbc＝s△dbe，∴s四邊形abcd＝s△ade＝6.
(理)已知矩形abcd，r、p分別在邊cd、bc上，e、f分別為ap、pr的中點，當p在bc上由b向c運動時，點r在cd上固定不變，設bp＝x，ef＝y，那麼下列結論中正確的是( )
a．y是x的增函式
b．y是x的減函式
c．y隨x的增大先增大再減小
d．無論x怎樣變化，y為常數
[答案] d
[解析] ∵e、f分別為ap、pr中點，∴ef是△par的中位線，∴ef＝ar，∵r固定，∴ar是常數，即y為常數．
5．(2012·合肥二檢)如圖，半徑為2的⊙o中，∠aob＝90°，d為ob的中點，ad的延長線交⊙o於點e，則線段de的長為
( )
a. b.
c. d.
[答案] c
[解析]
延長bo交圓o於點f，由d為ob的中點，知df＝3，db＝1，又∠aob＝90°，所以ad＝，由相交弦定理知ad·de＝df·db，即de＝3×1，解得de＝.
6．(文)(2012·佛山質檢)如圖所示，△abc內接於圓o，過點a的切線交bc的延長線於點p，d為ab的中點，dp交ac於點m，若bp＝8，am＝4，ac＝6，則pa
[答案] 4
[解析] 由題意mc＝ac－am＝6－4＝2.又d為ab的中點，∴ad＝bd.過點c作cn∥ab交pd於n，
∴＝＝＝，∴＝，∴pc＝4.
∵pa2＝pc·pb＝32，∴pa＝4.
(理)(2012·天津十二校聯考)如圖所示，ea是圓o的切線，割線eb交圓o於點c，c在直徑ab上的射影為d，cd＝2，bd＝4，則ea＝
( )
a．4 b.
c．3 d.
[答案] b
[解析] 解法1：根據題意可得bc2＝cd2＋bd2＝22＋42＝20，即bc＝2.由射影定理得bc2＝ab·bd，即20＝4ab，解得ab＝5，所以ac＝＝，設ea＝x，ec＝y，根據切割線定理可得x2＝y(y＋2)，即x2＝y2＋2y，在rt△ace中，x2＝y2＋()2，故2y＝5，解得y＝，故x2＝＋5＝，得x＝，即ea＝.
解法2：連ac，∵ab為直徑，∴∠acb＝90°，cd⊥ab，cd＝2，bd＝4，∴ad＝＝1，
又ea切⊙o於a，∴∠eab＝90°，
∴△eab△cdb，∴＝，∴ae＝＝.
7．(文)(2012·合肥二檢)如圖，在⊙o中，∠aob＝90°，d為ob的中點，ad的延長線交⊙o於點e，線段de的長為，則⊙o的半徑為________．
[答案] 2
[解析] 延長bo交⊙o於點f，設⊙o的半徑為r，則ad＝＝r，又bd＝，df＝2r－r＝r，
由圓的相交弦定理得ad·de＝bd·df，即×＝r×r，解得r＝2.
(理)(2011·深圳調研)如圖，割線pbc經過圓心o，ob＝pb＝1，ob繞點o逆時針旋轉120°到od，連pd交圓o於點e，則pe
[答案]
[解析] ∵∠pod＝120°，od＝ob＝1，po＝2，
∴pd＝＝，
由相交弦定理得，pe·pd＝pb·pc，
∴pe＝＝＝.
8．(文)如圖，pa切圓o於點a，割線pbc經過圓心o，ob＝pb＝1，oa繞點o逆時針旋轉60°到od，則pd的長為________．
[答案]
[解析] 由圖可知，pa2＝pb·pc＝pb·(pb＋bc)＝3，∴pa＝，∴∠aop＝60°，
又∠aod＝60°，∴∠pod＝120°，∵po＝2，od＝1，
∴cos∠pod＝＝－，∴pd＝.
(理)(2012·湖南理，11)如右圖，過點p的直線與⊙o相交於a、b兩點．若pa＝1，ab＝2，po＝3，則⊙o的半徑等於________．
[答案]
[解析] 設圓半徑為r，
由切割線定理：pa·pb＝(3－r)·(3＋r)，
即1×3＝9－r2，r2＝6，∴r＝.
9.(2012·江南十校聯考)如圖，在圓的內接四邊形abcd中，∠abc＝90°，∠abd＝30°，∠bdc＝45°，ad＝1，則bc
[答案]
[解析] 連線ac.因為∠abc＝90°，所以ac為圓的直徑．又∠acd＝∠abd＝30°，所以ac＝2ad＝2.又∠bac＝∠bdc＝45°，故bc＝.
10．(2012·哈三中模擬)如圖，⊙o是△abc的外接圓，過⊙o上一點h作⊙o的切線，bc與這條線切線平行，ac、ab的延長線交這條切線於點e、f，連線ah、ch.
(1)求證：ah平分∠eaf；
(2)若ch＝4，∠cab＝60°，求圓弧的長．
[解析] (1)證明：連線oh，則oh⊥ef.
∵ef∥bc，∴oh⊥bc，∴h為弧bc的中點，
∴∠eah＝∠fah，∴ah平分∠eaf.
(2)連線co、bo，∵∠cab＝60°，∴∠cob＝120°，
∴∠coh＝60°，∴△coh為等邊三角形，
∴co＝ch＝4，
又∵∠boc＝120°，∴的長為.
能力拓展提公升
11.(文)(2012·湖南十二校聯考)如圖，在直角梯形abcd中，dc∥ab，cb⊥ab，ab＝ad＝a，cd＝，點e，f分別為線段ab、ad的中點，則ef
[答案]
[解析] 連線de，可知△aed為直角三角形，則ef是rt△dea斜邊上的中線，其長等於斜邊長的一半，為.
(理)如圖所示，已知圓o直徑為，ab是圓o的直徑，c為圓o上一點，且bc＝，過點b的圓o的切線交ac延長線於點d，則da
[答案] 3
[解析] ∵ab為直徑，
∴∠acb為直角，
∵bc＝，ab＝，∴ac＝2，
∵db與⊙o相切，∴∠dba為直角，
由射影定理bc2＝ac·cd，∴cd＝1，∴ad＝3.
12．(文)
如圖，bd為⊙o的直徑，ab＝ac，ad交bc於e，ae＝2，ed＝4.則ab的長為________．
[答案] 2
[解析] ∵ab＝ac，∴∠abc＝∠c，又∠c＝∠d，∴∠abc＝∠d，又∠bae＝∠dab，∴△abe△adb，∴ab2＝ae·ad，
∴ab＝2.
(理)已知eb是半圓o的直徑，a是be延長線上一點，ac切半圓o於點d，bc⊥ac於點c，若bc＝6，ac＝8，則ae＝______，ad
[答案] ，5
[解析] ∵ad切⊙o於d，∴od⊥ac，又bc⊥ac，
∴△ado△acb，∴＝，
∵bc＝6，ac＝8，∴ab＝10，
設od＝r，則ao＝r，∴r＋r＝10，∴r＝，
ae＝ab－2r＝，＝＝，∴ad＝5.
13．(文)(2012·湖北理，15)如下圖，點d在⊙o的弦ab上移動，ab＝4，連線od，過點d作od的垂線交⊙o於點c，則cd的最大值為________．
[答案] 2
[解析] 解法1：∵cd⊥od，∴oc2＝od2＋cd2，當od最小時，cd最大，而oe最小(e為ab的中點)，
∴cdmax＝eb＝2.
解法2：由題意知，cd2＝ad·db≤()2＝＝4.(當且僅當ad＝db時取等號)．∴cdmax＝2.
(理)(2012·廣州測試)如圖，ab是圓o的直徑，延長ab至c，使bc＝2ob，cd是圓o的切線，切點為d，連線ad、bd，則的值為________．
[答案]
[解析] 連線od，則od⊥cd.設圓o的半徑為r，則oa＝ob＝od＝r，bc＝2r.所以oc＝3r，cd＝＝2r.
由弦切角定理得，∠cdb＝∠cad，又∠dcb＝∠acd，所以△cdb△cad.所以＝＝＝.
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