【3年高考2年模擬】第十二章系列4第一節4-1幾何證明選講
一、選擇題
1.（北京理5）如圖，ad，ae，bc分別與圓o切於點d，e，f，
延長af與圓o交於另一點g。給出下列三個結論：
①ad+ae=ab+bc+ca；
②af·ag=ad·ae
③△afb ～△adg
其中正確結論的序號是
ab．②③
cd．①②③
【答案】a
二、填空題
1.（天津理12）如圖，已知圓中兩條弦與相交於點，是延長線上一
點，且若與圓相切，則
線段的長為
【答案】
2.（上海理5）在極座標系中，直線與直線的夾角大小為
【答案】
3.（陝西理15）（考生注意：請在下列三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評10.分）
b．（幾何證明選做題）如圖，，且
，則答案
4.（湖南理11）如圖2，a,e是半圓周上的兩個三等分點，直徑bc=4，
ad⊥bc,垂足為d,be與ad相交與點f，則af的長為
【答案】
5.（廣東理15）（幾何證明選講選做題）如圖4，過圓外一點分別作圓的切線
和割線交圓於,，且=7，是圓上一點使得=5，
∠=∠, 則= 。
【答案】
6.（遼寧理22）
如圖，a，b，c，d四點在同一圓上，ad的延長線與bc的延長線交於e點，且ec=ed．
（i）證明：cd//ab；
（ii）延長cd到f，延長dc到g，使得ef=eg，證明：a，b，g，f四點共圓．
答案 7．（全國新課標理22）選修4-1：幾何證明選講
如圖，d，e分別為的邊ab，ac上的點，且不與的頂點重合．已知ae的長為m，ac的長為n，ad，ab的長是關於x的方程的兩個根．
（i）證明：c，b，d，e四點共圓；
（ii）若，且求c，b，d，e所在圓的半徑．
答案解：
（i）連線de，根據題意在△ade和△acb中，
ad×ab=mn=ae×ac
即.又∠dae=∠cab，從而△ade∽△acb
因此∠ade=∠acb
所以c，b，d，e四點共圓．
（ⅱ）m=4， n=6時，方程x2-14x+mn=0的兩根為x1=2，x2=12.
故 ad=2，ab=12.
取ce的中點g，db的中點f，分別過g，f作ac，ab的垂線，兩垂線相交於h點，連線dh.因為c，b，d，e四點共圓，所以c，b，d，e四點所在圓的圓心為h，半徑為dh.
由於∠a=900，故gh∥ab， hf∥ac. hf=ag=5，df= (12-2)=5.
故c，b，d，e四點所在圓的半徑為5
2023年高考題
一、填空題
1.（2010北京理）如圖，的弦ed，cb的延長線交於點a。若bdae，ab＝4, bc＝2, ad＝3,則dece
【答案】5
2.（2010天津文）（11）如圖，四邊形abcd是圓o的內接四邊形，延長ab和dc相交於點p。若pb=1，pd=3，則的值為 。
【答案】
【解析】本題主要考查四點共圓的性質與相似三角形的性質，屬於容易題。
因為a,b,c,d四點共圓，所以,因為為公共角，所以
⊿pbc∽⊿pab,所以=
【溫馨提示】四點共圓時四邊形對角互補，圓與三角形綜合問題是高考中平面幾何選講的重要內容，也是考查的熱點。
3.（2010天津理）如圖，四邊形abcd是圓o的內接四邊形，延長ab和dc相交於點p，若,則的值為 。
【答案】
【解析】本題主要考查四點共圓的性質與相似三角形的性質，屬於中等題。
因為a,b,c,d四點共圓，所以,因為為公共角，所以
⊿pbc∽⊿pab,所以.設ob=x，pc=y，則有，所以
【溫馨提示】四點共圓時四邊形對角互補，圓與三角形綜合問題是高考中平面幾何選講的重要內容，也是考查的熱點。
4.（2010廣東理）（幾何證明選講選做題）如圖3，ab，cd是半徑為a的圓o的兩條弦，它們相交於ab的中點p，pd=，∠oap=30°，則cp＝______.
【答案】
因為點p是ab的中點，由垂徑定理知， .
在中，.由相交線定理知，
，即，所以．
5.（2010廣東文）（幾何證明選講選做題）如圖3，在直角梯形abcd中，dc∥ab,cb,ab=ad=,cd=,
點e,f分別為線段ab,ad的中點，則ef=
【答案】
解：鏈結de，可知為直角三角形。則ef是斜邊上的中線，等於斜邊的一半，為.
二、簡答題
6.（2010江蘇卷）21.[選做題]本題包括a、b、c、d四小題，請選定其中兩題，並在相應的答題區域內作答。
若多做，則按作答的前兩題評分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
a． 選修4-1：幾何證明選講
（本小題滿分10分）
ab是圓o的直徑，d為圓o上一點，過d作圓o的切線交ab延長線於點c，若da=dc，求證：ab=2bc。
[解析] 本題主要考查三角形、圓的有關知識，考查推理論證能力。
（方法一）證明：鏈結od，則：od⊥dc，
又oa=od，da=dc，所以∠dao=∠oda=∠dco，
∠doc=∠dao+∠oda=2∠dco，
所以∠dco=300，∠doc=600，
所以oc=2od，即ob=bc=od=oa，所以ab=2bc。
（方法二）證明：鏈結od、bd。
因為ab是圓o的直徑，所以∠adb=900，ab=2 ob。
因為dc 是圓o的切線，所以∠cdo=900。
又因為da=dc，所以∠dac=∠dca，
於是△adb≌△cdo，從而ab=co。
即2ob=ob+bc，得ob=bc。
故ab=2bc。
2023年高考題
一、填空題
1、(09廣東理15) (幾何證明選講選做題)如圖3，點a、b、c是圓o上的點，且ab=4，，則圓o的面積等於
圖3【解析】鏈結ao,ob,因為 ,所以,為等邊三角形,故圓
o的半徑,圓o的面積.
答案二、解答題
2、（09海南22）本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講
如圖，已知的兩條角平分線和相交於h，，f在上，
且。（ⅰ）證明：b,d,h,e四點共圓：
（ⅱ）證明：平分。
解：（ⅰ）在△abc中，因為∠b=60°，
所以∠bac+∠bca=120°.
因為ad，ce是角平分線，
所以∠hac+∠hca=60°，
故∠ahc=120
於是∠ehd=∠ahc=120°.
因為∠ebd+∠ehd=180°，
所以b,d,h,e四點共圓.
（ⅱ）鏈結bh,則bh為∠abc的平分線，得∠hbd=30°
由（ⅰ）知b,d,h,e四點共圓，
所以∠ced=∠hbd=30°.
又∠ahe=∠ebd=60°，由已知可得ef⊥ad，
可得∠cef=30°.
所以ce平分∠def.
3、（09江蘇）a.選修4 - 1：幾何證明選講
如圖，在四邊形abcd中，△abc≌△bad.
求證：ab∥cd.
【解析】 本小題主要考查四邊形、全等三角形的有關知識，
考查推理論證能力。滿分10分。
證明：由△abc≌△bad得∠acb=∠bda，故a、b、c、d四點共圓，從而∠cba=∠cdb。再由△abc≌△bad得∠cab=∠dba。
因此∠dba=∠cdb，所以ab∥cd。
4、（09遼寧理22）（本小題滿分10分）選修4－1：幾何證明講
已知 abc 中，ab=ac, d是 abc外接圓劣弧上
的點（不與點a,c重合），延長bd至e。
(1)求證：ad的延長線平分cde；
(2)若bac=30，abc中bc邊上的高為2+，求abc
外接圓的面積。
解（ⅰ）如圖，設f為ad延長線上一點
∵a，b，c，d四點共圓，
∴∠cdf=∠abc
又ab=ac ∴∠abc=∠acb,
且∠adb=∠acb, ∴∠adb=∠cdf,
對頂角∠edf=∠adb, 故∠edf=∠cdf,
即ad的延長線平分∠cde.
（ⅱ）設o為外接圓圓心，連線ao交bc於h,則ah⊥bc.
連線oc,a由題意∠oac=∠oca=150, ∠acb=750,
∴∠och=600.
設圓半徑為r,則r+r=2+,a得r=2,外接圓的面積為4。
5.（09遼寧理24）（本小題滿分10分）選修4－5：不等式選講[
設函式。
（1）若解不等式；
（2）如果,,求的取值範圍。
解（ⅰ）當a=－1時，f(x)=︱x－1︳+︱x+1︳.
由f(x)≥3得
︱x－1︳+︱x+1|≥3
（ⅰ）x≤－1時，不等式化為
1－x－1－x≥3 即－2x≥3
[第二部分兩年模擬題
2011屆高三模擬題
題組一1. （廣東省惠州市2010屆高三第三次調研理科）（幾何證明選講選做題）如圖，平行四邊形中，, 的面積為6,
則的面積為
【答案】18
【解析】由題意可得∽, 且相似比為，由的面積為6，得的面積為54,又︰=,所以。
2．（2023年廣東省揭陽市高考一模試題理科）（幾何證明選做題）如圖，已知是外一點，為的切線，為
切點，割線pef經過圓心，若,則的度數為 ．
【答案】
【解析】由切割線定理得
,,∵,∴,.
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