不等式證明的技巧

知識與方法

證明不等式的方法很多，技巧性強；如較低要求的，在所證不等式兩端同乘以乙個常數；1的代換；利用函式的單調性，等等。不等式證明的技巧，本人的理解有如下三個方面：

一．基本技巧

我認為不等式的證明的基本思想和技巧是通過「放大和縮小」的思想和方法，對兩個數、兩個量、兩個式的值的大小關係的「確定」過程，這種大小關係的確定一般有比較法、分析法、綜合法三種基本方法。

二．構造法

1．構造重要不等式的結構，再利用相關的重要不等式來證明不等式。

2．建構函式，利用函式性質來證明不等式。

3．構造圖形，利用幾何知識來證明不等式。

三．轉化法

1．反證法

2．數學歸納法

3．變數代換法

4．從「特殊」到「一般」的轉化方法

5．以「直」代「曲」的轉化方法

6．「整體」與「部分」合理巧妙轉化

範例選講

例1 已知，求證：

分析因所證不等式兩端是同底的對數、單項式，故「作差比較」、「作商比較」均可以。

解（作差比較）

（1）當時，因，所以

（2）當時，因，所以

綜合以上可知，所證不等式成立。

（作商比較）

因，所以，，

所以，評注本題雖是一道很簡單的不等式證明題，也顯示出了證明不等式的技巧性：合理選擇方法，可以迴避討論。

例2 實數滿足，且

求證：分析這是一道美國數學競賽試題，直接證明比較困難，因此，可考慮運用反證法證明。

解設中有個非負數，記為，有個負數，記為

，其中，且

不妨設，即.

因，又，則所以因為所以又因為，

所以因，故，且，則

所以都為非負數.

即因而，這與相矛盾，

即假設不成立，所證結論：成立.

評注反證法的實質是從否定結論出發，通過邏輯推理，匯出矛盾。運用「正難則反」的策略，是證明不等式中常見技巧。

例3 平面上給定乙個由有限多條線段組成的集合，線段總長為1. 證明：存在一條直線，使得已給線段在上的射影之和小於

分析可將給定的線段排序，再通過中心對稱構造乙個周長為2的凸多邊形。

解證明：取一條不與已給線段垂直的直線作軸，將所給線段按照斜率的大小排成一列：

（其中負的下角標表示該線段的斜率為負，非負的下角標則表示斜率非負）。經過平移可以將這些線段按照上面的次序乙個接乙個地首尾相連形成一條凸折線。設端點為a、b，ab中點為o。

關於o作中心對稱，產生乙個凸多邊形（包括退化為直線段），周長為2，每一條邊與對應邊平行（或共線）。

這個多邊形的最小寬度，也就是各對平行邊之間的最小距離，設為，以o為圓心，為直徑的圓一定完全在多邊形內，否則，設圓o與某條邊相交於x，那麼x關於o的對稱點是圓o與對邊的交點，與的距離小於，即小於，與為最小寬度矛盾。

由於圓o的周長為，所以，即，這是因為面積一定的閉曲線中，以圓的周長最小。

取直線與距離最小的平行邊垂直，則各已知線段在上的射影之和不超過，也就小於

評注本題的解答過程中通過「排序----平移----中心對稱」等方法上的處理使所給線段呈現一種簡單有序的易於估算的狀態，困難得以化解。這種通過對稱、旋轉等變換，以直代曲，將複雜的不等式化歸為基本不等式是一種重要的技巧。

例4 設三邊長為，有不等式------①

試證不等式①中的係數是最優的.

分析可將係數一般化，設係數為，再證明的取值範圍是.

證明在不等式①中，取，設

令，所以

又因在中，三邊長為，取，顯然有不等式

所以，要使，注意到為正數，則須，即，但已證不等式①是成立的，故是不等式①的最優值.

評注將「特殊」向「一般」轉化也是常見的技巧。

例5 設，且，證明

（2023年第39屆imo預選試題）

分析可利用均值不等式構造三個同向不等式相加來進行證明，也可以將所證不等式進行等價轉化。

證法一: 因，所以

4 ②

③以上三式相加可得：

上述不等式都是在時取等號.

所以，當且僅當時原不等式取等號.

證法二: 原不等式等價於

由於對任意正數，有，下面證明更強的不等式：

成立.設，

則，且在上是嚴格遞增函式，因為

只需證明即可.

其證明如下：

假設，則. 由，得，.

因，所以

故原不等式成立. 等號當且僅當時成立.

評注證法1利用均值不等式進行證明，顯得簡潔、清晰；證法2是將所證不等轉化為更強的不等式，再進行證明。

例6 已知，且，證明：成立的條件.

分析因是關於的輪換對稱式。

證明設，又因，

則.不等式等號當且僅當或或時成立.

評注對於「輪換對稱式」，不能將其中的變數排序；有時只能找到乙個最小字母作「弱」排序。

例7 設，且滿足，試證：

分析由已知條件，可知所證不等式與等價.

故可運用「含引數基本不等式」來證明之.

證明由（為引數），得

則有 ①

③得因，取，代入④中，得

評注本題是先將所證不等式進行等價轉化，再運用「含引數基本不等式」進行證明，當然也可利用柯西不等式進行證明，還可以直接利用基本不等式來證明。

例8 （1）設，滿足：

（a）（b）,

證明：（2）設，對所有不同的子集，有

證明：分析可運用數學歸納法進行證明。

證明（1）當時，

當時，，，則

所以假設時命題成立.

那麼，當時，設，由條件，

有下面用反證法證明以上結論.

假設，則有

矛盾.所以，當時，原不等式成立.

（2）對於集合，滿足對，有

且對所有，不妨設

令（否則將都減去乙個數，使），又使設中從第個數開始，

則於是，那麼

以此類推，則

評注歸納法證明問題時，有時在第二步由（或）去推證時，要用到反證法，或分析法。另外，本題的第（2）小題用到了「調整法」。

訓練題1．已知試證：當時，

證明：（1）當時，左邊= 右邊=

，所以，所證不等式成立.

（2）假設時不等式成立，即成立.

當時，所以，當時，不等式也成立.

由（1）、（2）可知，當時，所證不等式成立.

2．對任意實數，

試證：證明：當時，所證不等式顯然成立.

當不全為零時，將所證不等式可變形為

令 ①

式中的均可取一切實數（不同時為零即可）.

不妨取變數作為考查物件.

（1）當時，，由，得即

（2）當時，將①式整理，得

可以為0，當時，不等式顯然成立；

當時，因，，即或

由得當時，不等式顯然成立；

當時，即即解得：或

同理，由，得，對任意實數都滿足的充要條件是：解得

綜合以上，可得的取值範圍是：

由此可得即所證不等式成立.

說明：「雙判別式法」可以解決：

的三元二次齊次不等式的證明問題.

3．過內一點o引三邊的平行線，，點d、e、f、g、h、i都在的邊上，表示六邊形defghi的面積，表示的面積.

求證：證明：欲證，只須證明注意到平行四邊形agoh、biod、ceof，故命題的解決只在於能證明： ①

設，那麼①式等價於

②依題設，有，從而同理

所以， ③

由柯西不等式有，

故②式成立，命題成立。

4．已知，且，求證：

證明：建構函式，易知在上為增函式，所以對任意，有

則再分別令，代入上式，相加得

不等式證明的技巧

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均值不等式與不等式的證明

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