證明題訓練一
1. (2008 貴州省貴陽市) 如圖,在中,分別為邊的中點,連線.
(1)求證:.(5分)
(2)若,則四邊形是什麼特殊四邊形?請證明你的結論.(5分)
1)在平行四邊形abcd中,∠a=∠c,ad=cb,ab=cd.
∵e,f分別為ab,cd的中點
∴ae=cf 2分
在和中,
. 5分
(2)若ad⊥bd,則四邊形bfde是菱形. 1分
證明:,
是,且是斜邊(或) 2分
是的中點,
. 3分
由題意可知且,
四邊形是平行四邊形,
四邊形是菱形. 5分
2. (2008 湖北省咸寧市) 如圖,在△abc 中,點o是ac邊上的乙個動點,過點o作直線mn∥bc,設mn交∠bca的角平分線於點e,交∠bca的外角平分線於點f.
(1)求證:eo=fo;
(2)當點o運動到何處時,四邊形aecf是矩形?
並證明你的結論.
解(1)證明: ∵ce平分, ∴,
又∵mn∥bc
∴. 2分
同理,. 3分
∴. 4分
(2)當點o運動到ac的中點時,四邊形aecf是矩形. 5分
∵,點o是ac的中點. ∴四邊形aecf是平行四邊形. 6分
又∵,. ∴,即. 7分
∴四邊形aecf是矩形.
3. (2008 青海省) 如圖,在中,是邊上的一點,是的中點,過點作的平行線交的延長線於,且,連線.
(1)求證:是的中點;
(2)如果,試猜測四邊形的形狀,並證明你的結論.
(1)證明:,
. (1分)
是的中點,.又,
. (2分)
. (3分),.
即是的中點. (4分)
(2)解:四邊形是矩形, (5分)
證明:,,
四邊形是平行四邊形. (6分)
,是的中點,
.即. (7分)
四邊形是矩形. (8分)
4. (2008 山東省聊城市) 如圖,矩形中,是與的交點,過點的直線與的延長線分別交於.
(1)求證:;
(2)當與滿足什麼關係時,以為頂點的四邊形是菱形?證明你的結論.
(1)證明:四邊形是矩形,
(矩形的對角線互相平分),
(矩形的對邊平行).
,.(a.a.s). 4分
(2)當時,四邊形是菱形. 5分
證明:四邊形是矩形,
(矩形的對角線互相平分).
又由(1)得,
四邊形是平行四邊形(對角線互相平分的
四邊形是平行四邊形) 6分
又,四邊形是菱形(對角線互相垂直的平行四
邊形是菱形). 8分
(注:小括號內的理由不寫不扣分)
5. (2008 山東省青島市) 已知:如圖,在正方形abcd中,g是cd上一點,延長bc到e,使ce=cg,連線bg並延長交de於f.
(1)求證:△bcg≌△dce;
(2)將△dce繞點d順時針旋轉90°得到△dae ′ ,判斷四邊形e ′bgd是什麼特殊四邊形?並說明理由.
6. (2008 上海市) 如圖,已知平行四邊形中,對角線交於點,是延長線上的點,且是等邊三角形.
(1)求證:四邊形是菱形;
(2)若,求證:四邊形是正方形.
證明:(1)四邊形是平行四邊形,. (2分)
又是等邊三角形,,即. (2分)
平行四邊形是菱形; (2分)
(2)是等邊三角形,. (1分)
,. (1分)
,.. (1分)
四邊形是菱形,. (2分)
四邊形是正方形. (1分)
7. (2007 山東省日照市) 如圖,在等腰rt△abc中,∠acb=90°,d為bc的中點,de⊥ab,垂足為e,
過點b作bf∥ac交de的延長線於點f,連線cf.
(1)求證:ad⊥cf;
(2)連線af,試判斷△acf的形狀,並說明理由.
(1)證明:在等腰直角三角形abc中,
∵∠acb=90o,∴∠cba=∠cab=45°.
又∵de⊥ab,∴∠deb=90°,∴∠bde=45°.
又∵bf∥ac,∴∠cbf=90°,
∴∠bfd=45°=∠bde, ∴bf=db.…………2分
又∵d為bc的中點,∴cd=db,即bf=cd.
在rt△cbf和rt△acd中,
∴rt△cbf≌rt△acd,
∴∠bcf=∠cad4分
又∵∠bcf+∠gca=90°,
∴∠cad +∠gca =90°,即ad⊥cf6分
(2) △acf是等腰三角形.
理由:由(1)知: cf=ad,△dbf是等腰直角三角形,且be是∠dbf的平分線,
∴be垂直平分df,即af=ad8分
∴cf=af,
∴△acf是等腰三角形. ……………
8. (2007 山東省東營市) 已知:如圖,在△abc中,ab=ac,ad⊥bc,垂足為點d,an是△abc外角∠cam的平分線,ce⊥an,垂足為點e,
(1)求證:四邊形adce為矩形;
(2)當△abc滿足什麼條件時,四邊形adce是乙個正方形?並給出證明.
(1)證明:在△a bc中, ab=ac,ad⊥bc.
∴ ∠bad=∠dac. 2分
∵ an是△abc外角∠cam的平分線,
∴.∴ ∠dae=∠dac+∠cae=180°=90°. 4分
又 ∵ ad⊥bc,ce⊥an,
∴=90°,
∴ 四邊形adce為矩形. 5分
(2)說明:①給出正確條件得1分,證明正確得3分.
②答案只要正確均應給分.
例如,當ad=時,四邊形adce是正方形. 6分
證明:∵ ab=ac,ad⊥bc於d.
∴ dc=. 7分
又 ad=,
∴ dc=ad. 8分
由(1)四邊形adce為矩形,
∴ 矩形adce是正方形. 9分
9. (2008 重慶市) 已知:如圖,在梯形中,,,平分,,的延長線交於點.
求證:(1);(2).
證明:(1)平分,. (1分)
在和中,
(3分)
. (4分)
(2)鏈結. (5分),,
. (6分)
,.. (7分)
,.,.
. (8分)
又是公共邊, . (9分)
. (10分)
10. (2009 四川省樂山市) 如圖,在正方形中,分別是邊上的點,鏈結並延長交的延長線於點
(1)求證:;
(2)若正方形的邊長為4,求的長.
(1)證明:為正方形,
又(2)解:為正方形,
又正方形的邊長為4.
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