嚴酷的魔王發表於2011-09-02 21:34:04
谷歌一直因為自由的氛圍和輕鬆的辦公環境，讓全世界求職者羨慕不已。但是，只有面試過的人才知道，谷歌選擇人才的標準是很高的。本文就選取了幾道有真有假但都很經典的「谷歌面試題」，並給出詳細解答。
來看看你符不符合谷歌的調性吧。
長久以來，谷歌都因為擁有世界上最自由和優越的環境，讓全人類羨慕不已。不過，谷歌這樣乙個以創造力為生的神奇地方，對應聘物件來說，想成為其中一員可是有著不小的難度。想進谷歌，先試試這些早已遍布網際網路的谷歌面試題吧。
平分被有缺失的蛋糕
三個人打算分乙個矩形的蛋糕，可是有乙個人已經偷偷地切走了一小塊矩形的部分。如果只能直直地切一刀，那麼另外兩個人應該怎麼切才能體積均勻地分掉剩下的部分呢？
解答： 也許有人會說：橫著切，將蛋糕分成兩個等高的部分就好了嘛。但是一般蛋糕上層是忌廉，下層只有乾巴巴的麵包，所以我們不準備把這個作為答案之一。
如果這個蛋糕沒有被切走一部分，應該如何平分呢？方法當然有很多，但是所有的切法都有乙個共同點，那就是這一刀一定經過矩形的中心點。反之亦然，所有經過中心點的直線都能將矩形平均分成兩部分。
帶著這個結論回到開始的問題上，如果一刀經過大小兩個矩形中心點，就能將大矩形 abcd 和小矩形 agfe 都分成面積相等的兩部分，這樣，我們的問題也就解決了。
在上圖中，矩形aefg是被偷偷挖走的部分。h和i是大小兩個矩形的中心，直線jlk經過這兩個中心點。可以看出四邊形ajlg和jlfe的面積是相等的，而四邊形ajkd和jkcb的面積也是相等的，因此剩下的深藍色與綠色的面積也是相等的。
重男輕女的地方男女的比例是多少
假設乙個村子裡，村民們都有重男輕女的觀念，每一對夫妻都會不斷地生產，直到生出乙個男孩。如果生男生女的概率是一樣的，那這個村子最終的男女比例應該是多少？
解答： 如果這個村子裡有c對夫妻，那最後就有c個男孩。而女孩的數量呢？這是乙個數學上求期望值的問題。
不妨任選一戶人家來分析，設這戶人家有n個女孩。如果 n = 0 ，也就是說這戶人家第一次就生了個男孩，那麼這個概率便是1／2。 n = 1 時，便是先女後男，概率是 1／2 * 1／2 = 1／4 。
n = 2 時，便是前兩次生了兩個女孩，第三次生了男孩，概率是 1/2*1/2*1/2 = 1/8 。以此類推，一戶人家出現n個女孩的概率是 1／2n+1 。由此可以算出一戶人家女孩數量的期望值是 0 + 1／4 + 2／8 + 3／16 + … = 1 。
因此，c戶人家的女孩數量的期望值便是c，女孩和男孩的數量在期望上是相等的。也就是說，即使是在乙個重女輕男的地方，男女比例仍然是 1 : 1 。
怎麼測雞蛋的強度最方便
現在你在一棟 100 層高的大樓門口，手頭上有兩顆完全一樣的神奇雞蛋。如果你想知道這兩個雞蛋最高能從多少樓摔下而不破碎，用什麼策略能保證你的嘗試次數盡可能少呢？
解答： 在只有乙個雞蛋時，保險起見，我們只能從一樓開始，一層一層地試驗，看看雞蛋有沒有被摔爛。這樣最精確，但是消耗的時間也最久。
如果我們事先就知道這個雞蛋不被摔碎的最高落下點在30層到75層之間，我們最多也只要嘗試45次就能知道結果。現在我們手上有兩個雞蛋，根據上面的分析，乙個合理的策略就是用第乙個雞蛋確定出乙個較小的樓層範圍，然後在這個範圍裡用第二個雞蛋從下往上逐層嘗試。
比如說讓第乙個雞蛋每隔5層試驗一次。當它在某一層被摔爛時，也就意味著確定了乙個4層的待測試寬度（為什麼是4層呢？假如雞蛋在5樓的時候沒破，10樓的時候破了，那麼我們就只需要知道雞蛋在 6 , 7 , 8 , 9 層的結果）。
這時候，用第二顆雞蛋一層一層地嘗試，就能用較少的次數找出雞蛋剛好摔不爛的高度。
需要注意的是，如果想留給第二顆雞蛋較小的測試寬度，就要縮短第乙個雞蛋的測試跨度。相應的，也就增加了嘗試次數。為了確定合適的跨度，使得總試驗次數之和盡可能小，我們可以採取如下的辦法。
設跨度是l，第一顆雞蛋的嘗試次數就是[ 100／l ]，第二顆雞蛋的嘗試次數就是 l - 1，因此嘗試次數總和就是 [ 100／l ] + l - 1 。根據這個公式，我們可以列出下面這個**：
可以看出，我們只需要選 8 - 13 之間的乙個寬度，都能使得總嘗試次數是19次。
但問題是，這已經是最優策略了嗎，有沒有更好的方法呢？
有的。上面的方法固定了第一顆雞蛋的測試跨度，如果我們靈活變動，就能使得總嘗試次數變得更少。首先，我們選擇從14樓丟下第一顆雞蛋。
如果它破碎了，我們就從1樓開始，逐層丟第二顆雞蛋，最多試14次便能得到答案。如果它沒有破碎，那我們往上走 13 層，在 27 樓第二次丟下第一顆雞蛋。此時如果雞蛋碎了，那我們只需要在 15 層到 26 層之間用第二顆雞蛋進行最多12次試驗即可，加上第一顆雞蛋的兩次嘗試，仍然是14次。
類似的，依次減小測試跨度，如果雞蛋足夠頑強，那我們丟下第一顆雞蛋的樓層就分別是 14 ， 27 ， 39 ， 50 ， 60 ， 69 ， 77 ，84 ， 90 ， 95 ， 99 以及最後的100層。因為第一顆雞蛋每多嘗試一次，第二顆雞蛋需要嘗試的最大次數就減少一次，因此，總嘗試次數的最大可能值一直是不變的，保持在14次。用這種方法，我們只需要不超過14次的嘗試就能夠找出答案。
有沒有更優的策略了？感興趣的讀者可以自行思考。
孩子多大了
兩個數學家在某次會議上又見面了——他們是老朋友，可是有十幾年沒見了。
老張：這些年怎麼樣啊。
小王：挺好的，我結婚了，現在都是三個孩子的爸爸了。
老張：那很幸福啊，孩子們多大了？
小王：他們年齡乘積是72，年齡的和與你的出生日期一樣（8月的某號）。
老張：我還是猜不出來。
小王：我的大兒子剛開始學鋼琴。
老張：哦，我知道了！
問：小王的三個兒子分別多大呢？
解答： 這道題的思考比較繁瑣，讓我們一步一步地分析。
三個孩子年齡的乘積是72。年齡的和是8月份的某一號，也就是是在 1 ~ 31 之間。我們首先把符合所有上面兩個條件的數列出來。
這是根據小王的一句話所能得到的資訊。雖然我們不知道老張的生日是幾號，但老張自己肯定知道，所以他只要找出哪個數對的和與自己的生日相同便能確定。可是他卻說「我還是猜不出來」，那就表明和等於他自己生日的數對不止乙個。
因此可篩選出如下兩組數：
2, 6, 6
3, 3, 8
這兩組數的和都是14，所以老張無法判斷。這時小王說「我的大兒子剛開始學鋼琴」。在 2 , 6 , 6 和 3 , 3 , 8 中，能確定大兒子的是第二組。
所以到這裡，老張就知道了小王三個孩子的年齡。這個問題本身並不算難，但如果被當面問這個問題並要求很快答出來，那就需要一定能力了。
貨真價實的谷歌面試題
不同於上面的「流傳」，下面兩道是已被確認了的google面試題。
第一題，給你乙個長度為 n 的鍊錶。n 很大，但你不知道 n 有多大。你的任務是從這 n 個元素中隨機取出 k 個元素。
你只能遍歷這個鍊錶一次，且必須保證取出的元素是完全隨機的（出現概率均等）。
第二題，給你乙個陣列 a [ 1 .. n ] ，請你在 o ( n ) 的時間裡構造乙個新的陣列 b [ 1 .. n ] ，使得 b [ i ] = a [ 1 ] * a [ 2a [ n ]／a [ i ] 。
你不能使用除法運算。
這兩道題目看起來很專業，但有趣的是，即使沒有學過資訊學的人也可以想到答案。
第一題的意思就是有一大串物品，它們能且僅能逐個經過你眼前一次。你不知道它們的個數，要求你從中隨機地抽取 k 個物品，同時必須保證取出的元素是完全隨機的（出現概率均等）。
第二題給出了乙個數列 a [ 1 .. n ] ，要求在較短的時間內不用除法構造乙個新數列 b [ 1 .. n ] ，使得 b [i] = a [ 1 ] * a [ 2a [ n ]／a [ i ] 。
n是這個陣列的長度。而 o ( n ) 是評判計算方法速度的標準。如果乙個解答方法在n任意變化的情況下，都能滿足總共的計算次數相當於是 n 乘以乙個常數c這個條件，那麼就稱這個解答方法是 o ( n ) 的；如果這個解答方法能滿足總共的計算次數是 n 2 乘以常數c，那麼這個解答方法就被稱作是 o ( n 2 ) 的。
第一題沒有告訴我們物品的個數n，所以我們沒法算出 k／n，連最基本的每樣物品被選中的概率都不知道，還怎麼繼續操作呢？既然我們不知道一共有多少個物品，那我們就應該在所有的物品都經過我們眼前之後再做抉擇。當每個物品經過我們眼前的時候，可以設法對應地給它生成乙個 0 到 1 之間的隨機數。
等到我們見過了所有的物品之後，只需要選擇對應的隨機數最大的前 k 個物品就行了。
第二題不允許用除法增加了不少難度。 b [ i ] 不用除法來表示的話就是： b [ i ] = a [ 1a [ i - 1 ] * a [ i + 1a [ n ] 。
若按照這個表示式進行計算，生成每個 b[ i ] 的時候要進行n - 1次乘法，這樣一來完全生成 b [ 1 .. n ] 就需要 o ( n 2 ) 的時間了。我們需要通過減少重複的運算來提高效率。
注意到 b [ i ] 可以看作是兩個部分的乘積， a [ 1a [ i - 1 ] 和 a [ i + 1a [ n ] 。同理 b [ i + 1 ] 就由 a [ 1a [ i - 1 ] * a [ i ] 和 a [ i + 2a [ n ] 組成。計算 b [ i ] 時的許多乘法在計算 b [ i + 1 ] 的時候又進行了一遍，因此可以重複利用上一次運算的結果，以避免無謂的運算。
從這點出發，我們構造兩個新的數列：
s [ i ] = a [ 1a [ i – 1 ]
t [ i ] = a [ i + 1a [ n ]
因為生成完整的 s [ 1 .. n ] 和 t [ 1 .. n ] 都能在 o ( n ) 的時間內完成，那麼根據 b [ i ] = s [ i ] * t [ i ] 這條式子，生成整個 b [ 1 ..
n ] 便也能夠在 o ( n ) 的時間內完成了。
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