還有不到40天就到了2016考研初試的時間了，為了讓學生能夠更好地應對考研，本文將討論一下中值定理這塊的相應證明題的一般解題思路。
中值定理這塊一直都是很多考生的「災難區」，一直沒有弄清楚看到乙個題目到底怎麼思考處理，因此也是考研得分比較低的一塊內容，如果考生能把中值定理的證明題拿下，那麼我們就會比其他沒做上的同學要高乙個台階，也可以說這是一套「拉仇恨」的題目。下面跨考教育數學教研室佟老師就和大家來一起分析一下這塊內容。
一、具體考點分析
首先我們必須弄清楚這塊證明需要的理論基礎是什麼，相當於我們的工具，那需要哪些工具呢?
第一：閉區間連續函式的性質。
最值定理：閉區間連續函式的必有最大值和最小值。
推論：有界性(閉區間連續函式必有界)。
介值定理：閉區間連續函式在最大值和最小值之間中任意乙個數，都可以在區間上找到一點，使得這一點的函式值與之相對應。
零點定理：閉區間連續函式，區間端點函式值符號相異，則區間內必有一點函式值為零。
第二：微分中值定理(乙個引理，三個定理)
費馬引理：函式f(x)在點ξ的某鄰域u(ξ)內有定義，並且在ξ處可導，如果對於任意的x∈u(ξ)，都有f(x)≤f(ξ) (或f(x)≥f(ξ) )，那麼f'(ξ)=0。
羅爾定理：如果函式f(x)滿足：
(1)在閉區間[a,b]上連續;
(2)在開區間(a,b)內可導;
在區間端點處的函式值相等，即f(a)=f(b)，
那麼在(a,b)內至少有一點ξ(a<ξ 幾何上，羅爾定理的條件表示，曲線弧 (方程為 )是一條連續的曲線弧 ，除端點外處處有不垂直於x軸的切線，且兩端點的縱座標相等。而定理結論表明：
弧上至少有一點 ，曲線在該點切線是水平的。
拉格朗日中值定理：如果函式f(x)滿足：
(1)在閉區間[a,b]上連續;
(2)在開區間(a,b)內可導;
在區間端點處的函式值相等，即f(a)=f(b)，
那麼在(a,b)內至少有一點ξ(a<ξ 柯西中值定理：如果函式f(x)及f(x)滿足
(1)在閉區間[a,b]上連續;
(2)在開區間(a,b)內可導;
(3)對任一x∈(a,b)，f'(x)≠0
那麼在(a,b) 內至少有一點ξ，使等式[f(b)-f(a)]/[f(b)-f(a)]=f'(ξ)/f'(ξ)成立。
第三：積分中值定理：
如果函式 f(x) 在積分區間[a, b]上連續，則在 [a, b]上至少存在乙個點 ξ，使下式成立
加強版：如果函式 f(x) 在積分區間[a, b]上連續，則在 (a, b)上至少存在乙個點 ξ，使下式成立
第四：變限積分求導定理： 如果函式f(x)在區間[a，b]上連續，則積分變上限函式在[a,b]上具有導數，並且導數為：
第五：牛頓--萊布尼茨公式：如果函式f(x) 在區間[a,b] 上連續，並且存在原函式f(x) ，則
以上定理要求理解並掌握定理內容和相應證明過程。
二、注意事項
針對上文中具體的考點，佟老師再給出幾點注意事項，這幾個注意事項也是在證明題中的「小訊號」，希望大家理解清楚並掌握：
1. 所有定理中只有介值定理和積分中值定理中的ξ所屬區間是閉區間。
2. 拉格朗日中值定理是函式f(x)與導函式f'(x)之間的橋梁。
3. 積分中值定理是定積分與函式之間的橋梁。
4. 羅爾定理和拉格朗日中值定理處理的物件是乙個函式，而柯西中值定理處理的物件是兩個函式，如果結論中有兩個函式，形式與柯西中值定理的形式類似，這時就要想到我們的柯西中值定理。
5. 積分中值定理的加強版若在定理證明中應用，必須先證明。
其次對於中值定理證明一般分為兩大類題型：第一應用羅爾定理證明，也可又分為兩小類：證明結論簡單型和複雜型，簡單型一般有證明f'(ξ)=0，f'(ξ)=k (k為任意常數)，f'(ξ1)=g'(ξ2)，f''(ξ)=0，f''(ξ)=g''(ξ)，像這樣的結論一般只需要找羅爾定理的條件就可以了，一般羅爾定理的前兩個條件題目均告知，只是要需找兩個不同點的函式值相等，需找此條件一般會運用閉區間連續函式的性質、積分中值定理、拉格朗日中值定理、極限的性質、導數的定義等知識點。
複雜型就是結論比較複雜，需要建立輔助函式，再使輔助函式滿足羅爾定理的條件。輔助函式的建立一般借助於解微分方程的思想。第二就是存在兩個點使之滿足某表示式。
這樣的題目一般利用拉格朗日中值定理和柯西中值定理，處理思想把結論中相同字母放到等是一側首先處理。
最後希望同學們仔細研究這塊內容的歷年真題，通過研究真正的把處理方法轉化為自己的，跨考教育祝大家考研成功!
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