一、選擇題
1.下面使用的模擬推理中恰當的是( )
a.「若,則」模擬得出「若,則」
b.「」模擬得出「」
c.「」模擬得出「」
d.「」模擬得出「」
2.數列1,3,6,10,15,…的遞推公式可能是( )
a. b.
d. 3.用數學歸納法證明等式時,第一步驗證時,左邊應取的
項是( )
a.14.在證明命題「對於任意角,」的過程:「」中應用了( )
a.分析法b.綜合法c.分析法和綜合法綜合使用d.間接證法
5.在r上定義運算:xy=x(1-y).若不等式(x-a)(x+a)<1對任意實數x都成立,則( )
a.-1<a<1 b.0<a<2 c.-<a< d.-<a<
6.已知f(n)=+++…+,則( )
a.f(n)中共有n項,當n=2時,f(2)=+
b.f(n)中共有n+1項,當n=2時,f(2)=++
c.f(n)中共有n2-n項,當n=2時,f(2)=+
d.f(n)中共有n2-n+1項,當n=2時,f(2)=++
7.已知a+b+c=0,則ab+bc+ca的值( )
a.大於0 b.小於0 c.不小於0 d.不大於0
8.已知c>1,a=-,b=-,則正確的結論是( )
a.a>b b.a<b c.a=b d.a、b大小不定
[9.若凸k邊形的內角和為f(k),則凸(k+1)邊形的內角和f(k+1)(k≥3且k∈n*)等於( )
a.f(k)+ b.f(k)+π c.f(k)+π d.f(k)+2π
10.若==,則△abc是( )
a.等邊三角形 b.有乙個內角是30°的直角三角形
c.等腰直角三角形 d.有乙個內角是30°的等腰三角形
11.若a>0,b>0,則p=(ab)與q=ab·ba的大小關係是( )
a.p≥q b.p≤q c.p>q d.p<q
12.設函式f(x)定義如下表,數列滿足x0=5,且對任意的自然數均有xn+1=f(xn),則x2011=( )
a.1 b.2c.4d.5
二、填空題:
13.在數列中,,,可以猜測數列通項的表示式為 .
14.已知f(n)=1+++…+(n∈n*),用數學歸納法證明f(2n)>時,f(2k+1)-f(2k
15.觀察①sin210°+cos240°+sin10°cos40°=;
②sin26°+cos236°+sin6°cos36°=.兩式的結構特點可提出乙個猜想的等式為
16.設p是乙個數集,且至少含有兩個數,若對任意a、b∈p,都有a+b、a-b、ab、∈p(除數b≠0),則稱p是乙個數域.例如有理數集q是數域;數集f=也是數域.有下列命題:
①整數集是數域;②若有理數集qm,則數集m必為數域;
③數域必為無限集;④存在無窮多個數域.
其中正確命題的序號是把你認為正確命題的序號都填上)
三、解答題:
17.(本題滿分12分)已知:a、b、c∈r,且a+b+c=1.
求證:a2+b2+c2≥.
18.(本題滿分12分)證明下列等式,並從中歸納出乙個一般性的結論.
2cos=,
2cos=,
2cos=,
……19.(本題滿分12分)已知數列滿足a1=3,an·an-1=2·an-1-1.
(1)求a2、a3、a4;
(2)求證:數列是等差數列,並寫出數列的乙個通項公式.
20.(本題滿分12分)已知函式f(x)=ax+(a>1).
(1)證明:函式f(x)在(-1,+∞)上為增函式;
(2)用反證法證明方程f(x)=0沒有負根.
推理證明二答案
一,選擇題:
cbdbc,ddbbc,ac
二.填空題:
13. 答案:,
14.[答案] ++…+
[解析] f(2k+1)=1+++…+
f(2k)=1+++…+
f(2k+1)-f(2k)=++…+.
15.[答案] sin2α+cos2(30°+α)+sinαcos(30°+α)=
[解析] 觀察40°-10°=30°,36°-6°=30°,
由此猜想:
sin2α+cos2(30°+α)+sinαcos(30°+α)=.
可以證明此結論是正確的,證明如下:
sin2α+cos2(30°+α)+sinα·cos(30°+α)
=++[sin(30°+2α)-sin30°]=1+[cos(60°+2α)-cos2α]+sin(30°+2α)-
=1+[-2sin(30°+2α)sin30°]+sin(30°+2α)-
=-sin(30°+2α)+sin(30°+2α)=.
16.[答案] ③④
[解析] 考查閱讀理解、分析等學習能力.
①整數a=2,b=4,不是整數;
②如將有理數集q,添上元素,得到數集m,則取a=3,b=,a+bm;
③由數域p的定義知,若a∈p,b∈p(p中至少含有兩個元素),則有a+b∈p,從而a+2b,a+3b,…,a+nb∈p,∴p中必含有無窮多個元素,∴③對.
④設x是乙個非完全平方正整數(x>1),a,b∈q,則由數域定義知,f=必是數域,這樣的數域f有無窮多個.
三.解答題:
17.[證明] 由a2+b2≥2ab,及b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca.
三式相加得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
∴3(a2+b2+c2)≥(a2+b2+c2)+2(ab+bc+ca)=(a+b+c)2.
由a+b+c=1,得3(a2+b2+c2)≥1,
即a2+b2+c2≥.
18. [證明] 2cos=2·=
2cos=2=2·
=2cos=2
=2=…
19. [解析] (1)由an·an-1=2·an-1-1得
an=2-,
代入a1=3,n依次取值2,3,4,得
a2=2-=,a3=2-=,a4=2-=.
(2)證明:由an·an-1=2·an-1-1變形,得
(an-1)·(an-1-1)=-(an-1)+(an-1-1),
即-=1,
所以{}是等差數列.
由=,所以=+n-1,
變形得an-1=,
所以an=為數列的乙個通項公式.
20. [解析] (1)證法1:任取x1,x2∈(-1,+∞),不妨設x10,且ax1>0,
又∵x1+1>0,x2+1>0,
∴f(x2)-f(x1)=-
==>0,
於是f(x2)-f(x1)=ax2-ax1+->0,
故函式f(x)在(-1,+∞)上為增函式.
證法2:f′(x)=axlna+=axlna+
∵a>1,∴lna>0,∴axlna+>0,
f′(x)>0在(-1,+∞)上恆成立,
即f(x)在(-1,+∞)上為增函式.
(2)解法1:設存在x0<0(x0≠-1)滿足f(x0)=0
則ax0=-,且0∴0<-<1,即故方程f(x)=0沒有負數根.
解法2:設x0<0(x0≠-1)
①若-1②若x0<-1則》0,ax0>0,
∴f(x0)>0.
綜上,x<0(x≠-1)時,f(x)<-1或f(x)>0,即方程f(x)=0無負根.
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