幾何證明舉例——等腰三角形教學設計
教學目標
1、初步掌握等腰三角形的性質及簡單應用。
2、理解等腰三角形和等邊三角形的性質定理之間的關係。
3、培養分類討論、方程的思想和新增輔助線解決問題的能力。
教學重點和難點
重點是等腰三角形性質的應用；
難點是等腰三角形的「三線合一」性質的靈活運用。
教學過程設計
一、探索並證明等腰三角形的三條性質複習引入新課：
動手操作
你還記得八(上)用摺疊的方法探索命題「等腰三角形的兩個底角相等」的過程嗎？（學生事先準備好紙剪的等腰三角形操作）。展示等腰三角形摺疊動畫。
二、新課探索新課探索一：等腰三角形的性質定理和判定定理
1、回答下面的問題，並與同學交流：
(1)「等腰三角形的兩個底角相等」是真命題嗎?怎樣證明?
(2)說出命題「等腰三角形的兩個底角相等」的逆命題；
(3)這個逆命題是真命題嗎?怎樣證明它的正確性?
2、知識點1：等腰三角形的性質定理1
等腰三角形的兩個底角相等。(等邊對等角)
（1）文字語言：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱「等邊對等角」）
（2）符號語言：如圖，在△abc中，因為ab=ac，所以∠b=∠c
溫馨提示一：
回顧八(上)用摺疊的方法探索命題「等腰三角形的兩個底角相等」的過程。由當時的操作，如何新增輔助線，然後給出證明。注意作輔助線的方法可有多種，如作底邊上的高、底邊上的中線、頂角的平分線，相應地，在判定兩個三角形全等時的依據也不同。
例4如果乙個三角形有兩個角相等，那麼這個三角形是等腰三角形。
3、方法點撥
（3）證明一：取bc的中點d，連線ad
在△abd和△acd中
∴△abd≌△acd（sss）
∴∠b=∠c(全等三角形的對應角相等)
證明二：作頂角的平分線ad
在△bad和△cad中
ab=ac(已知)
∠bad=∠cad(輔助線做法)
ad=ad(公共邊)
∴△bad≌△cad(sas)
∴∠b=∠c(全等三角形的對應角相等)
證明三：過點a作ad⊥bc於點d
在rt△abd和rt△acd中
ab=ac（已知）
ad=ad（公共邊）
∴△abd≌△acd（hl）
∴∠b=∠c(全等三角形的對應角相等)
4、知識點2、等腰三角形的判定定理：
如果乙個三角形有兩個角相等，那麼這個三角形是等腰三角形。（等角對等邊）
溫馨提示二：
1、教師要引導學生說出等腰三角形性質定理的逆命題，然後引導學生研究例4，讓學生說出它的證明過程。說明它是等腰三角形的判定定理，分析它與性質定理之間的區別，明確它們的應用
2、注意不要把等腰三角形的判定定理中的兩個角說成兩個底角。因為在沒有判定三角形是等腰三角形之前。不能使用「底角」、「腰"這些名詞。
已知：如圖，在△ abc中，∠b=∠c。
求證：ab=ac。
證明：過點a作ad⊥bc於點d，則∠adb=∠adc=900。
在rt△abd和rt△acd中，
∵ ∠b=∠c，
∠adb=∠adc(已知)，
ad=ad(公共邊)，
∴△abd≌△acd(aas)。
∴ab=ac(全等三角形的對應邊相等)。
∴△ abc是等腰三角形(等腰三角形的定義)。
注意：這個逆命題的正確性便得到了證實今後它可以作為等腰三角形的判定定理。
5、新課探索二：等腰三角形的性質——三線合一
原命題「等腰三角形的兩個底角相等」，是等腰三角形的乙個性質定理。
在上圖中，∠1與∠2有什麼關係?bd與cd有什麼關係?你能得出什麼結論?與同學交流。
溫馨提示三：
1、上圖中線段ad既是bc邊上的高，又是bc邊上的中線，也是頂角∠a的平分線，從而得到等腰三角形三線合一的性質定理。
2、等腰三角形的性質定理的證明是「hl」定理的應用，其判定定理的證明是「aas」定理的應用。這兩個定理為證明「角相等」和「線段相等"提供了新的工具。在運用這兩個定理時，(1)要注意「在同乙個三角形中」這個隱含條件；(2)會區分這兩個互逆定理的條件和結論。
雖然這兩個定理都是對「等腰」來說的，但在性質定理中是已知「等腰」，然後得出兩角相等的結論，即「由邊推角」；在判定定理中卻是已知兩角相等，而要證明「等腰」，即「由角推邊」，它們反映了等邊與等角關係的相互轉化；(3)今後應克服不顧命題的條件，一概用全等三角形來證明兩角相等或線段相等的思維定勢。
學法指導：
3、牢固掌握等腰三角形的性質，並能熟練地應用它們，應通過例題，熟練地進行下面的推理：如圖。
(1) ∵ab=ac（已知） ∴∠b=∠c；（等邊對等角）
(2)∵∠b=∠c（已知） ∴ab=ac；（等角對等邊）
(3) ∵ab=ac ∠1=∠2（已知） ∴ad⊥bc，bd=dc；（三線合一）
(4) ∵ab=ac，bd=dc（已知） ∴ad⊥bc，∠1=∠2；（三線合一）
(5) ∵ab=ac，ad⊥bc（已知） ∴bd=dc，∠1=∠2。（三線合一）
結論：等腰三角形的性質定理：等腰三角形底邊上的高線、中線、頂角的平分線分線重合(三線合一)
三、小試牛刀——小荷才露尖尖角
選擇：1、 等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°，則頂角的度數為（ ）
a、 60° b、 120° c、 60°或150° d、 60°或120°
2、 如圖，△abc中ab=ac，點d在ac邊上，且bd=bc=ad，則∠a的度數為（ ）
a、 30° b、 36° c、 95° d、 70°
填空題①等腰三角形的乙個頂角為36°，則它的底角是____
②等腰三角形的乙個底角為36°，則它的頂角是
③等腰三角形的一內角為40°，則它的頂角是_____
④等腰三角形的一內角為100°，則它的頂角是_____
⑤等腰三角形的一外角為100°，則它的底角是_____
⑥在△abc中，ab＝ac，∠bac＝40°，m是bc的中點， 那麼∠amc＝_____ ∠bam＝_____ 。
四、跟蹤訓練： 看我有多棒！
1、如圖所示，已知點d、e在bc上，ab=ac,ad=ae。說明bd=ce的理由。
2、已知：如圖，在△abc中，ab=ac，d是bc的中點，de⊥ab，df⊥ac，垂足分別為e，f求證：de=df。
3、求證：等腰三角形兩底角的平分線相等。
五、新課探索三：等邊三角形的性質
例5 求證：等邊三角形的每個內角都等於600。
已知：如圖△ abc中，ab=bc=ca。
求證：∠a=∠b=∠c=600。 (例5可由學生給出證明)
思考：你能寫出定理「等邊三角形的每個內角都等於600的逆命題，並證明這個逆命題是真命題嗎?你能把這個逆命題的條件適當減少，使它仍然是真命題嗎?與同學交流。
溫馨提示三：
等邊三角形性質定理的逆命題是「三個內角都等於600的三角形是等邊三角形。」可以簡化為「三個角都相等的三角形是等邊三角形」或「兩個角都等於600的三角形是等邊三角形」或「有乙個角等於600的等腰三角形是等邊三角形」。
六、回味無窮：
1。等腰三角形的兩個底角相等。(等邊對等角)
2。如果乙個三角形有兩個角相等，那麼這個三角形是等腰三角形。（等角對等邊）
3。等腰三角形的性質定理：等腰三角形底邊上的高線、中線、頂角的平分線分線重合。(三線合一)
4。等邊三角形的每個內角都等於600。
三個角都相等的三角形是等邊三角形」或
「兩個角都等於600的三角形是等邊三角形」或
「有乙個角等於600的等腰三角形是等邊三角形」。 教法與學法
七、設計構思：
1、本節課在教學方法的設計上，把重點放在了逐步展示知識的形成過程上，由感性認識上公升到理性認識，使學生的思維由形象直觀過渡到抽象的邏輯演繹，層層展開。步步深入，真正實現學生為主體的教學宗旨。
2、學生對等腰三角形的「三線合一」性質不熟悉，而它的應用又很廣泛。教師引導學生對解題思路和方法進行總結，以切實提高學生分析問題，解決問題的能力。並用練習填註結論和理由來加以鞏固落實，讓學生在第一次學習時就留下正確、深刻的印象。
空間幾何證明舉例
1 典型例題 如圖，在四稜錐p abcd中，底面abcd是正方形，側稜pd 底面abcd，pd dc，e是pc的中點，作ef pb於點f.1 證明 pa 平面edb 2 證明 bp 平面efd 對症下藥 1 如圖，連線ac ac交bd於o，連線eo。底面abcd為正方形，o為ac的中點，在 pac中...
6 3 幾何證明舉例
課題名稱5 6 3 幾何證明舉例授課時間 教學目標 1 證明並掌握線段垂直平分線的性質定理及逆定理。2 學會上述定理在幾何證明及計算中的應用 教學重 難點定理在幾何證明及計算中的應用 課前準備導學案 學案教學記 一 預習導航 知識鏈結 1 線段是軸對稱圖形，它的對稱軸是。2 線段垂直平分線的性質是。...
11 5幾何證明舉例 4
幾何證明舉例導學案 四 學習目標 1 進一步掌握直角三角形的性質，並能夠熟練應用 2 通過本節課的學習能夠熟練地寫出證明的已知 求證 3 證明要合乎邏輯，能夠應用綜合法熟練地證明幾何命題。一 自主預習課本p134內容，獨立完成課後練習1 2後，與小組同學交流 二 通過預習直角三角形的性質及全等三角形...