選考4-1 幾何證明選講
知識體系
第一節相似三角形的判定及其有關性質
最新考綱
1. 了解平行線等分線段定理和平行截割定理.
2. 掌握相似三角形的判定定理及性質定理.
3. 理解直角三角形射影定理.
基礎熱身
基礎梳理
1. 平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那麼在其他直線上截得的線段 .
推論1：經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必 .
推論2：經過梯形一腰的中點，且與底邊平行的直線 .
2. 平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的成比例.
推論：平行於三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段 .
3. 兩個三角形相似的判定定理1：對於任意兩個三角形，如果乙個三角形的兩個角與另乙個三角形的兩個角對應 ，那麼這兩個三角形 .
兩個三角形相似的判定定理2：對於任意兩個三角形，如果乙個三角形的兩邊和另乙個三角形的兩邊對應及 ，並且夾角 ，那麼這兩個三角形 .
兩個三角形相似的判定定理3：對於任意兩個三角形，如果乙個三角形的三條邊和另乙個三角形的三條邊對應成 ，那麼這兩個三角形 .
兩個直角三角形相似的判定定理：如果兩個直角三角形有乙個對應 ，那麼它們相似；如果兩個直角三角形的兩條直角邊對應 ，那麼它們相似；如果乙個直角三角形的和啊與另乙個直角三角形的和對應成比例，那麼這兩個直角三角形相似.
4. 相似三角形的性質定理：相似三角形對應高的比、對應中線的比、對應角平分線的比都等於 .
相似三角形周長的比、外接圓的周長比都等於 ，相似三角形面積的比、外接圓面積的比都等於 .
5. 直角三角形的射影定理：直角三角形斜邊上的高是的比例中項；兩直角邊分別是它們在斜邊上與的比例中項.
基礎達標
1. 如圖，l1∥l2∥l3，am=3，bm=5，cm=4.5，ef=16，則dm= ，ek= ，fk= .
2. 如圖，在△abc中，點d為bc中點，點e在ca上，且ce= ea，ad、be交於點f，則af∶fd
3. 如圖，ab是斜靠在牆壁上的長梯，梯腳b距牆80 cm，梯上點d距牆70 cm,bd長55 cm,則梯子的長為 cm
4. 如圖，在△abc中，∠1=∠b，則此時，若ad=3，bd=2，則ac= .
5. 如圖，cd是rt△abc的斜邊上的高.
（1）若ad=9，cd=6，則bd
（2）若ab=25，bc=15，則bd第4題圖
第5題圖
互動學案
典例分析
【例1】如圖，在梯形abcd中，ad∥bc，∠adc=90°，e是ab邊的中點，求證：ed=ec.
分析要證明ed=ec，只要設法證明e**段cd的垂直平分線上.
證明過e點作ef∥bc交dc於f點.
∵在梯形abcd中，ad∥bc，
∴ad∥ef∥bc.
∵e是ab的中點，
∴f是dc的中點
∵∠adc=90°，∴∠dfe=90°.
∴ef是dc的垂直平分線，
∴ed=ec.
舉一反三
1. 如圖，直線l分別交△abc的邊bc，ca，ab所在直線於點d，e，f，且af=ab，bd= bc，求.
【例2】如圖，a、b、c、d在一條直線上，ea⊥ad，垂足為a，ab=bc=cd=ae.求證：△bce∽△bed.
分析 △bce與△bed有乙個公共角，因此只要再找一對角對應相等或證明夾這個公共角的兩邊成比例即可得證.
證明設ab=a,在rt△eab中，ae=ab=a，
∴be==2a.
在△bce和△bed中，
∵,，∴.
又∵∠cbe=∠ebd,∴△bce∽△bed.
舉一反三
2. 如圖，在△abc中，ab=ac，ad是中線，p為ad上一點，cf∥ab，bp延長線分別交ac、cf於e、f.
求證： =pe·pf.
易錯警示
【例】如圖，在梯形abcd中，ad∥bc，e，f分別是ab，cd的中點.求證：gh=（bc-ad）.
錯解 ∵e，f分別是ab，cd的中點，∴fh=ad，fg=bc，
則gh=fg-fh=（bc-ad）.
錯解分析直接把g，h當作中點使用了，沒有進行證明，導致證明思路不嚴密.
正解由條件得ef是梯形abcd的中位線，則有ef∥ad∥bc，由平行線等分線段定理得ah=hc,bg=gd,
∴fh=ad,fg=bc,
∴gh=fg-fh= (bc-ad).
考點演練
1. 如圖，rt△abc中，cd、ce分別是斜邊ab上的高和中線，若該圖中共有x個三角形與△abc相似，則x= .
2. 在△abc和△dbe中，，若△abc與△dbe的周長之差為10 cm，則△abc的周長為 .
3. 在△abc中，d、e分別為ab、ac上的點，且de∥bc，△ade的面積是2,梯形dbce的面積為6，則de∶bc= .
4. 如圖1，四邊形abcd是等腰梯形，ab∥cd，由四個這樣的等腰梯形可以拼出圖2所示的平行四邊形，則四邊形abcd中∠a的度數為 .
圖1圖2
5. 如圖，設p,q為△abc內的兩點，且，，則
△abp的面積與△abq的面積之比為
第5題圖
6. 如圖，bc∥b′c′,ac∥a′c′,bc=2b′c′,則ab是a′b′的倍.
第6題圖
7. 如圖，ef∥bc，fd∥ab，ae=1.8 cm，be=1.2 cm，cd=1.4 cm,則bd= .
8. 如圖，等邊三角形def內接於△abc且de∥bc,已知ah⊥bc於h，bc=4 cm,ah=2 cm,則△def的邊長為 cm.
9. 如圖，bd=ce，求證：ac·ef=ab·df.
10. 如圖，在等腰梯形abcd中，ad∥bc，ab=dc，過點d作ac的平行線de，交ba的延長線於點e.
求證：（1）△abc≌△dcb；
（2）de·dc=ae·bd.
11. 如圖，在矩形abcd中，ab=a，bc=b，bm∶mc=1∶1,de⊥am於e，求證：de=.
第11題圖
12.如圖，已知直角梯形abcd中，∠a=∠b=90°，設ab=a，ad=b,bc=2b,作de⊥dc，交ab於點e，連線ec.
（1）對於①△dce與△ade,②△ade與△bce，試判斷各組三角形是否一定相似；
（2）如果兩個三角形一定相似，請予以證明；
（3）如果不一定相似，請指出它們相似時，a,b應滿足什麼關係.
第二節直線與圓的位置關係、平行射影
最新考綱
1. 理解圓周角定理及其推論.
2. 掌握圓的切線的判定定理及性質定理，理解弦切角定理及其推論.
3. 掌握相交弦定理、割線定理、切割線定理.
4. 理解圓內接四邊形的性質定理與判定定理.
5. 了解平行投影的含義，通過圓柱與平面的位置關係了解平行投影；會證平面與圓柱面的截線是橢圓（特殊情形是圓）.
基礎熱身
基礎梳理
1. 圓周角和弦切角定理
（1）圓上一條弧所對的等於它所對的的一半.
推論1： 或所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角也相等.
推論2：半圓（或直徑）所對的是直角；90°的圓周角所對的弧是 .
（2）弦切角等於它所夾的弧所對的 .
2. 圓心角定理
圓心角的度數等於它的度數.
3. 圓冪定理
（1）相交弦定理： 的兩條 ，被交點分成的的積相等.
（2）切割線定理：從圓外一點作圓的一條切線和一條割線，切線長是割線上從這點到兩個交點的線段長的 .
（3）割線定理：過圓外一點作圓的兩條 ，在一條割線上從這點到兩個交點的線段長的積另一條割線上對應線段長的積.
4. 切線長定理
從一點引圓的兩條切線，它們的相等，圓心和這一點的連線兩條切線的夾角.
5. 圓內接四邊形的性質與判定定理
（1）性質定理：圓內接四邊形的對角 .
推論：圓內接四邊形的任何乙個外角都等於它的內角的 .
（2）判定定理：如果乙個四邊形的 ，那麼這個四邊形的四個頂點 .
推論：如果四邊形的乙個外角等於它的 ，那麼這個四邊形的四個頂點 .
6. 圓的切線的性質及判定定理
（1）性質定理：圓的切線垂直於經過切點的 .
推論1：經過且垂直於的直線必經過切點.
推論2：經過且垂直於切線的直線必經過 .
（2）判定定理：經過半徑的並且於這條半徑的直線是圓的切線.
7. 平行射影
乙個圖形上各點在平面α上的平行射影所組成的圖形，叫做這個圖形的平行射影.
8. 平面與圓柱面的截線
圓柱形物體的斜截口是橢圓，直截口是圓.
基礎達標
1. 如圖，已知ab是⊙o的弦，ac切⊙o於點a，∠bac=60°，則∠adb的度數為 .
2019高考數學第一輪複習
1 當為任意實數時,直線恆過定點,則焦點在軸上且過點的拋物線的標準方程是 2 設p是正方形abcd外一點，o是正方形中心，po 平面abcd，以下四個結論 pa pb pc pd 若ae pb，則pb 平面aec 在稜pb上存在一點e，使得pd 平面aec 在稜pb上存在一點e，使得平面abe 平面...
高考數學第一輪複習
第一章集合 第一節集合的含義 表示及基本關係 a組1 已知a b 則集合a與b的關係為 2 若，則實數a的取值範圍是 3 已知集合a 集合b 則集合a與b的關係是 4 2009年高考廣東卷改編 已知全集u r，則正確表示集合m 和n 關係的韋恩 venn 圖是 5 2010年蘇 錫 常 鎮四市調查 ...
高考第一輪複習政治攻略
第一輪複習時，適當的練習是必要的，對題型進行歸類訓練，弄清各類題型的答題思路 方法和技巧，以最大限度地避免失誤。開拓思路，盡可能地把與本題目相關的內容列舉出來，然後加以適當選擇，這樣可以避免可能出現的失誤 還要弄清題型變化特點，拓寬學生思路，提高靈活變通能力。二 注重知識的靈活運用，能將基礎知識與新...