軌跡方程問題
軌跡方程，常見的有下面的五種形式：
①由幾何量，確定軌跡方程；②根據圓錐曲線的定義，求軌跡方程；③給出某些條件（平面幾何、三角函式、解析幾何、向量表示式等）求軌跡方程(直接法)；④「代點法」求軌跡方程；⑤「交軌法」求軌跡方程；⑥引數法．
1．由幾何量確定軌跡方程【引數法】
例1．(08、山東文22)已知曲線：所圍成的封閉圖形的面積為
，曲線的內切圓半徑為，記為以曲線與座標軸的交點為頂點的橢圓．(1)求橢圓的標準方程【幾何量】；
(2)設是過橢圓中心的任意弦，是線段的
垂直平分線，是上異於橢圓中心的點．
①若＝λ(為座標原點)，當點在橢圓上運動時，求點的軌跡方程；【代點法、k引數】
②若是與橢圓的交點，求的面積的最小值．
解：(1)由題意得
橢圓方程：＝1．
(2)若ab所在的斜率存在且不為零，設
ab所在直線方程為y＝kx(k≠0)，a()．①由．
設m(x，y)，由|mo|＝λ|oa|(λ≠0) |mo|2＝λ2|oa|2．
因為l是ab的垂直平分線，所以直線l的方程為y＝k＝，代入上式有：
，由，當k＝0或不存時，上式仍然成立.，綜上所述，m的軌跡方程為，（λ0）．
②當k存在且k0時， |oa|2＝．
由．＝．
≥．＝≥，
當且僅當4＋5k2＝5＋4k2時，即k＝1時等號成立．
當；當k不存在時，．
綜上所述，的面積的最小值為．
【橢圓的乙個性質、極角、橢圓的引數方程】．
2．根據圓錐曲線的定義，求軌跡方程
例2．（07、江西理21）設動點到點和的距離分別為和，，且存在常數，使得．
(1)證明：動點的軌跡為雙曲線，並求出的方程；
(2)過點作直線雙曲線的右支於兩點，試確定的範圍，使·＝0，其中點為座標原點．
解：(1)在中，，即，
，即（常數），
點的軌跡是以為焦點，實軸長的雙曲線，方程為：．
（2）設，
①當垂直於軸時，的方程為，，在雙曲線上．
即，因為，所以．
②當不垂直於軸時，設的方程為．
由得：，由題意知：
，．由·＝0，且在雙曲線右支上，所以．
由①②知．
例3．(2010、湖北文) 已知一條曲線c在y軸右邊，c上每一點到點f（1,0）的距離減去它到y軸距離的差都是1．（1）求曲線c的方程；（2）是否存在正數m，對於過點m（m，0）（且與曲線c有兩個交點a，b的任一直線，都有·＜0？若存在，求出m的取值範圍；若不存在，請說明理由．
解：（1）設點是曲線c上任意一點，由題設知：動點到定點f（1,0）的距離＝動點到定直線的距離動點是以點f（1,0）為焦點、以直線為準線的拋物線曲線c的方程為．
（2）設過點m（（的直線與曲線c的交點為a，，設的方程為，由．又
·＝又，，代入上式有：
恆成立 min＝0
．所以存在正數m，對於過點m（m,0)且與曲線c有兩個交點a,b的任一直線，都有·＜0,且m 的取值範圍是．
例4．（07、北京）矩形abcd的兩條對角線相交於點m(2，0)，ab邊所在直線的方程為x－3y－6＝0．點t(－1，1)在ad邊所在直線上．(1)求ad邊所在直線的方程；
(2)求矩形abcd外接圓的方程；
(3)動圓p過點n(－2，0)，且與矩形abcd的外接圓外切，求動圓p的圓心的軌跡方程．
解：（i）因為ab邊所在直線的方程為x－3y－6＝0，且ad⊥ab，所以直線ad的斜率為－3．又因為點t(－1，1)，在直線ad上，
所以ad邊所在直線的方程為y－1＝－3(x＋1)，即3x＋y＋2＝0．
(2)由解得點的座標為，因為矩形abcd兩條對角線的交點為，所以為矩形外接圓的圓心．又．從而矩形外接圓的方程為；
(3)因為動圓過點，所以是該圓的半徑，又因為動圓與圓外切，所以，即．故點的軌跡是以為焦點，實軸長為2√2的雙曲線的左支．，，．
從而動圓的圓心的軌跡方程為．
注：動圓圓心軌跡問題
①動圓與兩外離定圓均外切(含相交)；②動圓過定點且定圓外切；③動圓過定點且定直線相切；④動圓與兩定圓乙個外切，乙個內切；⑤動圓過定點且定圓相切．
3．「代入法」求軌跡方程：設點m是已知曲線f（x，y）＝0上的動點，點p因點m的運動而運動（即點p是點m的相關點），求點p的軌跡方程．
①設點m的座標為m（，），則f（，）＝0；
②設點p的座標為p（x，y）；
③因為「點p因點m的運動而運動」，可以求得：＝f（x，y），＝g（x，y）；【求解的關鍵】
④把＝f（x，y），＝g（x，y）代入f（，）＝0，即得所求點p的軌跡方程．
例5．（09、海南）已知橢圓的中心為直角座標系的原點，焦點在軸上，它的乙個頂點到兩個焦點的距離分別是7和1．（1）求橢圓的方程；（2）若為橢圓上的動點，為過且垂直於軸的直線上的點，（e為橢圓c的離心率），求點的軌跡方程，並說明軌跡是什麼曲線．
解：（ⅰ）設橢圓長半軸長及分別為a，c．由已知得a＝4，c＝3橢圓c的方程為．
（2）設m（x，y），p（，）．其中∈[－4，4]，＝x．有……①
由得：＝．
故【下面是尋找關係式＝f（x，y），＝g（x，y）的過程】
又 ②式代入①：並整理得：，所以點m的軌跡是兩條平行於x軸的線段．
注：本題的第一問是由幾何量確定軌跡方程；第二問是「代入法」求軌跡方程．
例5．（09、重慶理）已知以原點為中心的橢圓的一條準線方程為，離心率，m是橢圓上的動點．
(1)若c、d的座標分別是(0，√3)、(0，－√3)，求·的最大值； 21世紀教育網
解：(1)設橢圓方程為：（a＞b＞0）．準線方程＝，＝， 橢圓方程為：．所以：c、d是橢圓的兩個焦點＋＝4．·≤，當且僅當＝，即點m的座標為時上式取等號·的最大值為4．
(2)如圖，點a的座標為(1，0)，點b是圓上的點，點n是點m(橢圓上的點)在軸上的射影，點q滿足條件：＝＋，·＝0．求線段qb的中點p的軌跡方程．
解：設，，n()，．
由＝＋， ………①
由·＝00
…………②
記p點的座標為(，)，因為p是的中點，
＝＝＝動點p的方程為：．【代入法求軌跡方程】．
4．「交軌法」求軌跡方程：設動曲線f(x,y）＝0和動曲線g(x，y)＝0相交於點p，求點p的軌跡方程．從理論上，其求解程式為：
①設動點p的座標為：；②解方程組，求交點即得到．
其中一般會含有引數，有乙個消除引數的難點．
例6．（09、安徽）已知橢圓＋＝1（a＞b＞0）的離心率為．以原點為圓心，以橢圓短半軸長為半徑的圓與直線y＝x＋2相切．（1）求a與b的值；．
解：（1）e＝＝．又圓心（0，0）到直線y＝x＋2的距離d＝半徑b＝，∴＝2，＝3．【】
【（2）設該橢圓的左，右焦點分別為和，直線過且與x軸垂直，動直線與y軸垂直，交於點p.求線段的垂直平分線與直線的交點m的軌跡方程，並指明曲線型別】
解：（－1，0）、（1，0），由題意可設p（1，t）（t≠0）.那麼線段的中點為n（0，）．的方程為：y＝t，設m()是所求軌跡上的任意點.
【下面求直線mn的方程，然後與直線的方程聯立，求交點m的軌跡方程】
直線的斜率k＝，∴線段的中垂線mn的斜率＝－．所以：直線mn的方程為：
y－＝－x．由，
消去引數t得：，即：
，其軌跡為拋物線（除原點）．
又解：由於＝（－x，－y），＝（－x，－y）．∵·＝0，
∴，消引數t得：（x≠0），其軌跡為拋物線（除原點）．
注：本題的第一問是由幾何量確定軌跡方程；第二問是「交軌法」求軌跡方程．
4．直接法求軌跡方程．給出某種條件：平面幾何、三角函式、解析幾何、向量形式等．求解程式：①設動點p的座標為p(x，y)；②按題目的條件寫出關係式；③整合關係式；④註明範圍．
例8．（09、山東）設,在平面直角座標系中,已知向量,向量
,，動點的軌跡為e．
（1）求軌跡e的方程,並說明該方程所表示曲線的形狀；
解：因為, ,，所以·＝，即．
當m＝0時，方程表示兩條直線：；
當時，方程表示的是圓：；
當m＞0且時，方程表示的是橢圓；
當m＜0時,方程表示的是雙曲線．
例8．(07湖南理20）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過點的動直線與雙曲線相交於兩點．【直接法求軌跡】
（1）若動點滿足（其中為座標原點），求點的軌跡方程；
(2)在軸上是否存在定點，使·為常數？若存在，求出點的座標；若不存在，請說明理由．
解：(1)由條件知，，設，．設，則
，，，由
的中點座標為．
當不與軸垂直時，，
即．又因為兩點在雙曲線上，所以，，兩式相減得
，即．將代入上式，化簡得．
當與軸垂直時，，求得，也滿足上述方程．
所以點的軌跡方程是．
（2）假設在軸上存在定點，使·為常數．
當不與軸垂直時，設直線的方程是．
代入有．
則是上述方程的兩個實根，所以，，
於是·．
因為·是與無關的常數，所以，即，此時·＝－1．
當與軸垂直時，點的座標可分別設為，，
此時·＝(1，√2)·(1，－√2)＝－1．故在軸上存在定點，使·為常數．
求軌跡方程
學習目標 1 了解什麼叫軌跡，並能根據所給的條件，選擇恰當的直角座標系求出曲線的軌跡方程。2 在形成概念的過程中，培養分析 抽象和概括等思維能力，掌握形數結合 函式與方程 化歸與轉化等數學思想。重點 掌握直接法 定義法 待定係數法 相關點法 引數法等幾種求曲線軌跡方程的常用方法。難點 用相關點法 引...
求軌跡方程常用方法
一 知識提要 1 軌跡方程的實質 軌跡方程的概念是軌跡方程求法的基礎，一般地，在直角座標中，如果軌跡c上的點與乙個二元方程的實數解建立了如下關係 1 軌跡上的點的座標都是這個方程的解 2 以這個方程的解為座標的點都在軌跡c上 則這個方程叫做軌跡的方程，這條軌跡叫做方程的軌跡 求軌跡方程就是求軌跡上的...
求軌跡方程方法總結
高考數學中求軌跡方程的常見方法 一 直接法.u.c.o.m 當所求動點的要滿足的條件簡單明確時，直接按 建系設點 列出條件 代入座標 整理化簡 限制說明 五個基本步驟求軌跡方程,稱之直接法.例1 已知點 動點滿足，則點的軌跡為a 圓 b 橢圓 c 雙曲線 d 拋物線 解 由條件，整理得，此即點的軌跡...