指數與指數冪的運算
【學習目標】
1．理解有理指數冪的含義，掌握冪的運算.
2．理解指數函式的概念和意義，理解指數函式的單調性與特殊點．
3．理解對數的概念及其運算性質．
4．重點理解指數函式、對數函式、冪函式的性質，熟練掌握指數、對數運算法則，明確算理，能對常見的指數型函式、對數型函式進行變形處理.
5．會求以指數函式、對數函式、冪函式為載體的復合函式的定義域、單調性及值域等性質.
6．知道指數函式與對數函式互為反函式(a＞0，a≠1).
【要點梳理】
要點一、冪的概念及運算性質
1.整數指數冪的概念及運算性質
2.分數指數冪的概念及運算性質
為避免討論，我們約定a>0，n，mn*，且為既約分數，分數指數冪可如下定義：
3．運算法則
當a＞0,b＞0時有：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
要點詮釋：
(1)根式問題常利用指數冪的意義與運算性質，將根式轉化為分數指數冪運算；
(2)根式運算中常出現乘方與開方並存，要注意兩者的順序何時可以交換、何時不能交換.如；
(3)冪指數不能隨便約分.如.
要點二、根式的概念和運算法則
1．n次方根的定義：
若xn=y(n∈n*，n>1，y∈r)，則x稱為y的n次方根，即x=.
n為奇數時， y的奇次方根有乙個，是負數，記為；零的奇次方根為零，記為；
n為偶數時，正數y的偶次方根有兩個，記為；負數沒有偶次方根；零的偶次方根為零，記為.
2．兩個等式
（1）當且時，；
（2）要點詮釋：
①計算根式的結果關鍵取決於根指數n的取值，尤其當根指數取偶數時，開方後的結果必為非負數，可先寫成的形式，這樣能避免出現錯誤．
②指數冪的一般運算步驟
有括號先算括號裡的；無括號先做指數運算．
負指數冪化為正指數冪的倒數．
底數是負數，先確定符號，底數是小數，先要化成分數，底數是帶分數(如)，先要化成假分數（如15/4），然後要盡可能用冪的形式表示，便於用指數運算性質．
在化簡運算中，也要注意公式：
a2－b2＝（a－b）（a＋b），a3－b3＝（a－b）（a2＋ab＋b2），a3＋b3＝（a＋b）（a2－ab＋b2），
（a±b）2＝a2±2ab＋b2，（a±b）3＝a3±3a2b＋3ab2±b3，的運用，能夠簡化運算.
指數函式及其性質
【要點梳理】
要點一、指數函式的概念：
函式y=ax(a>0且a≠1)叫做指數函式，其中x是自變數，a為常數，函式定義域為r.
要點詮釋：
（1）形式上的嚴格性：只有形如y=ax(a>0且a≠1)的函式才是指數函式．像，，等函式都不是指數函式．
（2）為什麼規定底數a大於零且不等於1：
①如果，則對於一些函式，比如，當時，在實數範圍內函式值不存在．
②如果，則是個常量，就沒研究的必要了。而a=0時y=0沒意義．
要點二、指數函式的圖象：
要點詮釋：
（1）當底數大小不定時，必須分「」和「」兩種情形討論。
（2）指數函式與的圖象關於軸對稱。
要點三、指數函式底數變化與影象分布規律
1 則：0＜b＜a＜1＜d＜c
觀察可知，底數越接近1，圖象曲線越平緩，底數越遠離1，圖象曲線越陡，而且指數函式都過點（0,1）
又即：x∈(0,+∞)時， （底大冪大）
x∈(－∞,0)時，（底小冪小）
要點四、指數式大小比較方法
(1)單調性法：化為同底數指數式，利用指數函式的單調性進行比較.
(2)中間量法：
(3)分類討論法
(4)比較法
比較法有作差比較與作商比較兩種，其原理分別為：
①若；；；
②當兩個式子均為正值的情況下，可用作商法，判斷，或即可．
對數及對數運算
【要點梳理】
要點一、對數概念
1.對數的概念
如果，那麼數b叫做以a為底n的對數，記作:logan=b.其中a叫做對數的底數，n叫做真數.
要點詮釋：
對數式logan=b中各字母的取值範圍是：a>0 且a1， n>0， br.
2.對數具有下列性質：
(1)0和負數沒有對數，即；
(2)1的對數為0，即；
(3)底的對數等於1，即.
3．兩種特殊的對數
通常將以10為底的對數叫做常用對數，.
以e（e是乙個無理數，）為底的對數叫做自然對數，.
要點二、對數的運算法則
已知(1) 正因數的積的對數等於同一底數各個因數的對數的和；
(2) 兩個正數的商的對數等於被乘數的對數減去除數的對數；
(3) 正數的冪的對數等於冪的底數的對數乘以冪指數；
要點詮釋：
（1）利用對數的運算法則時，要注意各個字母的取值範圍，即等式左右兩邊的對數都存在時等式才能成立.如：log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的，因為雖然log2(-3)(-5)是存在的，但log2(-3)與log2(-5)是不存在的.
（2）不能將和、差、積、商、冪的對數與對數的和、差、積、商、冪混淆起來，即下面的等式是錯誤的：
錯誤1：loga(mn)=logamlogan，
錯誤2： (m·n)=logam·logan，
要點三、對數公式
1．對數恒等式：
2．換底公式
同底對數才能運算，底數不同時可考慮進行換底，在a>0， a≠1， m>0的前提下有:
(1)令 logam=b， 則有ab=m， (ab)n=mn，即， 則
所以得出結論:.
(2)，令logam=b， 則有ab=m， 則有
即， 即，即
當然，細心一些的同學會發現(1)可由(2)推出，但在解決某些問題(1)又有它的靈活性.而且由(2)還可以得到乙個重要的結論:
.對數函式及其性質
【要點梳理】
要點一、對數函式的概念
1．函式y=logax(a>0，a≠1)叫做對數函式.其中是自變數，函式的定義域是，值域為．
2．判斷乙個函式是對數函式是形如的形式，即必須滿足以下條件：
（1）係數為1；
（2）底數為大於0且不等於1的常數；
（3）對數的真數僅有自變數．
要點詮釋：
（1）只有形如y=logax(a>0，a≠1)的函式才叫做對數函式，像等函式，它們是由對數函式變化得到的，都不是對數函式。
（2）求對數函式的定義域時應注意：①對數函式的真數要求大於零，底數大於零且不等於1；②對含有字母的式子要注意分類討論。
要點二、對數函式的圖象
要點詮釋：
（1）關於對數式logan的符號問題，既受a的制約又受n的制約，兩種因素交織在一起，應用時經常出錯.下面介紹一種簡單記憶方法，供同學們學習時參考.
（2）以1為分界點，當a，n同側時，logan>0；當a，n異側時，logan<0.
（3）由於底數的取值範圍制約著對數函式圖象的公升降（即函式的單調性），因此在解與對數函式單調性有關的問題時，必須考慮底數是大於1還是小於1，不要忽略．
2．底數變化與圖象變化的規律
在同一座標系內，a越接近1，圖象越陡，a越遠離1，圖象越平緩。這剛好和指數函式的規律相反
所以可以總結出一句話，指數近一緩，對數近一陡。
要點四、反函式
1．反函式的定義
一般地，設函式y=f(x)(x∈a)的值域是b，根據這個函式中x、 y 的關係，用y把x表示出，得到x= g(y)。若對於y在b中的任何乙個值，通過x= g(y) （這時候x= g(y)裡面的y是自變數，x是因變數），x在a中都有唯一的值和它對應，那麼這個函式x= g(y)(x∈b)叫做函式y=f(x)(x∈a)的反函式，記作y=f -1 (x) 。反函式y=f -1(x)的定義域、值域分別是函式y=f(x)的值域、定義域
由定義可以看出，函式y=f(x)的定義域a正好是它的反函式y=f-1 (x)的值域；函式y=f(x)的值域b正好是它的反函式y=f-1 (x)的定義域．
由定義可知:對數就是指數變換而來的，因此對數函式是和它底數相同的指數函式的反函式。變化關係如右圖
要點詮釋：
不是每個函式都有反函式，有些函式沒有反函式，如y=x2．一般說來，單調函式有反函式．
2．反函式的性質
（1）互為反函式的兩個函式的圖象關於直線對稱．
（2）若函式圖象上有一點，則必在其反函式圖象上，反之，若在反函式圖象上，則必在原函式圖象上．
冪函式及圖象變換
【要點梳理】
要點一、冪函式概念
形如的函式，叫做冪函式，其中x是自變數，為常數.
要點詮釋：
冪函式必須是形如的函式，冪函式底數為單一的自變數x，係數為1，指數為常數.例如：等都不是冪函式.
要點二、冪函式的圖象及性質
各種冪函式的圖象：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
要點詮釋：
冪函式隨著的取值不同，它們的定義域、性質和圖象也不盡相同，但它們有一些共同的性質：
(1)所有的冪函式在(0，+∞)都有定義，並且圖象都過點(1，1)；
(2)時，冪函式的圖象通過原點，並且在區間上是增函式．特別地，當時，冪函式的圖象下凸；當時，冪函式的圖象上凸；
(3)時，冪函式的圖象在區間上是減函式．在第一象限內，當從右邊趨向原點時，圖象在軸右方無限地逼近軸正半軸，當趨於時，圖象在軸上方無限地逼近軸正半軸．
2.作冪函式圖象的步驟如下:
(1)先作出第一象限內的圖象；
(2)若冪函式的定義域為(0，+∞)或[0，+∞)，作圖已完成；
若在(-∞，0)或(-∞，0]上也有意義，則應先判斷函式的奇偶性
如果為偶函式，則根據y軸對稱作出第二象限的圖象；
如果為奇函式，則根據原點對稱作出第三象限的圖象.
3.冪函式解析式的確定
(1)借助冪函式的定義，設冪函式或確定函式中相應量的值．
(2)結合冪函式的性質，分析冪函式中指數的特徵．
(3)如函式是冪函式，求的表示式，就應由定義知必有，即．
4.冪函式值大小的比較
(1)比較函式值的大小問題一般是利用函式的單調性，當不便於利用單調性時，可與0和1進行比較．常稱為「搭橋」法．
(2)比較冪函式值的大小，一般先構造冪函式並明確其單調性，然後由單調性判斷值的大小．
(3)常用的步驟是：①構造冪函式；②比較底的大小；③由單調性確定函式值的大小．
要點三、初等函式圖象變換
基本初等函式包含以下九種函式：正比例函式、反比例函式、一次函式、二次函式、冪函式、指數函式、對數函式、三角函式、耐克函式。
由基本初等函式經過四則運算以及簡單復合所得的函式叫初等函式．
指數對數冪函式知識點總結
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指數函式 對數函式與冪函式
一 知識網路 見下頁 附 1 指數函式的圖象和性質 2 對數函式的影象和性質 二 考綱解析 3 題型分類與例題精講 題型一指數和對數的運算 同步練習 4 2009全國卷2 設，則 a.b.c.d.5 2010四川 a 0b 1c 2d 4 6 2011天津 已知則 a bc d 題型二指數函式的影象...
指數對數冪函式知識點彙總
指數函式 對數函式 冪函式單元複習與鞏固 撰稿 劉楊審稿 嚴春梅責編 丁會敏 一 知識框圖 二 目標認知 學習目標 1.指數函式 1 通過具體例項，了解指數函式模型的實際背景 2 理解有理指數冪的含義，通過具體例項了解實數指數冪的意義，掌握冪的運算.3 理解指數函式的概念和意義，能借助計算器或計算機...