函式的基本性質
1．奇偶性
（1）定義：
如果對於函式f(x)定義域內的任意x都有f(－x)=－f(x)，則稱f(x)為奇函式；
如果對於函式f(x)定義域內的任意x都有f(－x)=f(x)，則稱f(x)為偶函式。
如果函式f(x)不具有上述性質，則f(x)不具有奇偶性.
如果函式同時具有上述兩條性質，則f(x)既是奇函式，又是偶函式。
注意： 函式具有奇偶性的乙個必要條件是，定義域關於原點對稱。
（2）利用定義判斷函式奇偶性的格式步驟：
首先確定函式的定義域，並判斷其定義域是否關於原點對稱；
確定f(－x)與f(x)的關係；
作出相應結論：
若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，則f(x)是偶函式；
若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，則f(x)是奇函式。
（3）簡單性質：
①圖象的對稱性質：
乙個函式是奇函式的充要條件是它的圖象關於原點對稱；
乙個函式是偶函式的充要條件是它的圖象關於y軸對稱；
②設，的定義域分別是，那麼在它們的公共定義域上：
奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇
2．單調性
（1）定義：一般地，設函式y=f(x)的定義域為i， 如果對於定義域i內的某個區間d
內的任意兩個自變數x1，x2，當x1f(x2)），那麼就說
f(x)在區間d上是增函式（減函式）；
（2）如果函式y=f(x)在某個區間上是增函式或是減函式，那麼就說函式y=f(x)在這一區
間具有（嚴格的）單調性，區間d叫做y=f(x)的單調區間。
（3）判斷函式單調性的方法步驟
利用定義證明函式f(x)在給定的區間d上的單調性的一般步驟：
任取x1，x2∈d，且x1 作差f(x1)－f(x2)；
變形（通常是因式分解和配方）；
定號（即判斷差f(x1)－f(x2)的正負）；
下結論（即指出函式f(x)在給定的區間d上的單調性）。
（4）簡單性質
①奇函式在其對稱區間上的單調性相同；
②偶函式在其對稱區間上的單調性相反；
在公共定義域內：
增函式增函式是增函式； 減函式減函式是減函式；
增函式減函式是增函式； 減函式增函式是減函式。
3、函式的週期性
如果函式y＝f(x)對於定義域內任意的x，存在乙個不等於0的常數t，使得
f(x＋t)＝f(x)恆成立，則稱函式f(x)是週期函式，t是它的乙個週期.
性質：① 如果t是函式f(x)的週期，則kt(k∈n＋)也是f(x)的週期.
② 若週期函式f(x)的週期為t，則f(ωx)（ω≠0）是週期函式，且週期為。
例題：1、討論函式的單調性
2、的遞減區間是
3、已知奇函式是定義在上的減函式,若，求實數的取值範圍。
4、定義在r上的偶函式f(x)滿足f(x+2)=f(x－2)，若f(x)在[﹣2，0]上遞增，則（ ）
a．f(1)>f(5.5b．f(1)c．f(1)=f(5.5) d．以上都不對.
5、已知函式f(x)的定義域為n，且對任意正整數x，都有f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1)若f(0)＝2004，
求f(2004)
題型一：判斷函式的奇偶性
1、以下函式：（1）；（2）；(3)；其中奇函式是______，偶函式是______，非奇非偶函式是
2、已知函式=,那麼是
a.奇函式而非偶函式 b. 偶函式而非奇函式
c.既是奇函式又是偶函式 d.既非奇函式也非偶函式
題型二：奇偶性的應用
1、已知偶函式和奇函式的定義域都是(-4,4),它們在上的影象分別如
圖（2-3），則關於的不等式的解集是
2、已知，其中為常數，若，則_______
3、已知函式在r是奇函式，且當時，，則時，的解析式為
4、若是偶函式,且當時, ,則的解集是（ ）
a. b. c. d.
題型三：判斷證明函式的單調性
1、判斷並證明在上的單調性
2、判斷在上的單調性
題型四：函式的單調區間
1、下列函式中，在上為增函式的是
a. b. c.
2、函式的乙個單調遞增區間是（ ）
（a） （b） （c） （d）
3、下列函式中，在(0，2)上為增函式的是( )
(a)y=-3x+1 (b)y=|x+2| (c)y= (d)y=x2-4x+3
4、函式y=的遞增區間是( )
(a)(-∞，-2) (b)[-5，-2] (c)[-2，1]． (d)[1，+∞)．
題型五：單調性的應用
1、函式f(x)=x2+2(a-1)x+2在區間(-∞，4)上是減函式，那麼實數a的取值範圍是( )
(a)[3，+∞ ) (b) (-∞，-3] (c) (d)(-∞，5]
2、已知函式f(x)=2x2-mx+3，當x∈(-2，+∞)時是增函式，當x∈(-∞，-2)時是減函式，則f(1)等於( )
(a)-3 (b)13 (c)7 (d)由m而決定的常數．
3、函式恆成立，則b的最小
為題型六：週期問題
1、奇函式以3為最小正週期，，則為
a.3b.6c.-3d.-6
2、設f(x)是定義在r上以6為週期的函式，f(x)在(0,3)內單調遞增，且y=f(x)的圖象關於直線x =3對稱，則下面正確的結論是( )
(a) f(1.5)(c) f(6.5) 3、已知為偶函式,且,當時, ,則（ ）
a．2006b．4 c． d．
4、設是上的奇函式，，當時，，則等於_____
5、已知函式f(x)對任意實數x,都有f(x＋m)＝－f(x),求證:2m是f(x)的乙個週期.
6、已知函式f(x)對任意實數x,都有f(m＋x)＝f(m－x)，且f(x)是偶函式,
求證:2m是f(x)的乙個週期.
7、函式f(x)是定義在r上的奇函式，且f(－1)＝3，對任意的x∈r，均有f(x＋4)＝f(x)＋f⑵，求f(2001)的值.
函式的基本性質 總結版
3 設復合函式y f g x 其中u g x a是y f g x 定義域的某個區間，b是對映g x u g x 的象集 若u g x 在 a上是增 或減 函式，y f u 在b上也是增 或減 函式，則函式y f g x 在a上是增函式 若u g x 在a上是增 或減 函式，而y f u 在b上是減 ...
函式的基本性質
考情展望 1.考查給定函式 或抽象函式 的定義域.2.以分段函式為載體，考查函式的求值 值域及引數的範圍等問題.3.以新定義 新情景為載體，考查函式的表示方法 最值等問題 一 函式及對映的概念 二 函式的定義域 值域 相等函式 1 定義域 在函式y f x x a中，自變數x的取值範圍 數集a 叫做...
函式的基本性質
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