知識結構梳理
（1）含有個未知數。
（2）未知數的最高次數是
1、概念 （3）是方程。
4）一元二次方程的一般形式是
（1法，適用於能化為的一元。
二次方程
（2法，即把方程變形為ab=0的形式，
2、解法 （a，b 為兩個因式）, 則a=0或
（3法（4法，其中求根公式是
當時，方程有兩個不相等的實數根。
（5） 當時，方程有兩個相等的實數根。
當時，方程有沒有的實數根。
可用於解某些求值題
（1一元二次方程的應用 （2
（3可用於解決實際問題的步驟 （4
（5（6知識點歸類
建立一元二次方程模型
知識點一一元二次方程的定義
如果乙個方程通過移項可以使右邊為0，而左邊只含有乙個未知數的二次多項式，那麼這樣的方程叫做一元二次方程。
注意：一元二次方程必須同時滿足以下三點：①方程是整式方程。②它只含有乙個未知數。
③未知數的最高次數是2.同時還要注意在判斷時，需將方程化成一般形式。
例下列關於的方程，哪些是一元二次方程？
⑴；⑵；（3）；（4）；（5）
知識點二一元二次方程的一般形式
一元二次方程的一般形式為（a，b，c是已知數，）。其中a，b，c分別叫做二次項係數、一次項係數、常數項。
注意：（1）二次項、二次項係數、一次項、一次項係數，常數項都包括它前面的符號。
（2）要準確找出乙個一元二次方程的二次項係數、一次項係數和常數項，必須把它先化為一般形式。
（3）形如不一定是一元二次方程，當且僅當時是一元二次方程。
例1 將下列方程化為一般形式，並分別指出它們的二次項係數、一次項係數和常數項。
（1）； （2）； （3）
例2 已知關於的方程是一元二次方程時，則
知識點三一元二次方程的解
使方程左、右兩邊相等的未知數的值叫做方程的解，如：當時，所以是方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
知識點四建立一元二次方程模型
建立一元二次方程模型的步驟是：審題、設未知數、列方程。
注意：（1）審題過程是找出已知量、未知量及等量關係；（2）設未知數要帶單位；（3）建立一元二次方程模型的關鍵是依題意找出等量關係。
例如圖（1），有乙個面積為150㎡的長方形雞場，
雞場一邊靠牆（牆長18m），另三邊用竹籬笆圍成，
若竹籬笆的長為35m，求雞場的長和寬各為多少？ 雞場
（只設未知數，列出方程，並將它化成一般形式。）
因式分解法、直接開平方法
知識點一因式分解法解一元二次方程
如果兩個因式的積等於0，那麼這兩個方程中至少有乙個等於0，即若pq=0時，則p=0或q=0。
用因式分解法解一元二次方程的一般步驟：（1）將方程的右邊化為0；（2）將方程左邊分解成兩個一次因式的乘積。（3）令每個因式分別為0，得兩個一元一次方程。
（4）解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解。
關鍵點：（1）要將方程右邊化為0；（2）熟練掌握多項式因式分解的方法，常用方法有：提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）等。
例用因式分解法解下列方程：
（1）； （2）； （3）。
知識點二直接開平方法解一元二次方程
若，則叫做a的平方根，表示為，這種解一元二次方程的方法叫做直接開平方法。
（1）的解是；（2）的解是；（3）的解是。
例用直接開平方法解下列一元二次方程
（1）； （2）； （3）
知識點三靈活運用因式分解法和直接開平方法解一元二次方程
形如的方程，既可用因式分解法分解，也可用直接開平方法解。
例運用因式分解法和直接開平方法解下列一元二次方程。
（1）； （2）
知識點四用提公因式法解一元二次方程
把方程左邊的多項式（方程右邊為0 時）的公因式提出，將多項式寫出因式的乘積形式，然後利用「若pq=0時，則p=0或q=0」來解一元二次方程的方法，稱為提公因式法。
如：，將原方程變形為，由此可得出
注意：在解方程時，千萬注意不能把方程兩邊都同時除以乙個含有未知數的式子，否則可能丟失原方程的根。
知識點五形如「」的方程的解法。
對於形如「」的方程（或通過整理符合其形式的），可將左邊分解因式，方程變形為，則，即。
注意：應用這種方法解一元二次方程時，要熟悉「」型方程的特徵。
例解下列方程：（12）
配方法知識點一配方法
解一元二次方程時，在方程的左邊加上一次項係數一半的平方，再減去這個數，使得含未知數的項在乙個完全平方式裡，這種方法叫做配方，配方後就可以用因式分解法或直接開平方法了，這樣解一元二次方程的方法叫做配方法。
注意：用配方法解一元二次方程，當對方程的左邊配方時，一定記住在方程的左邊加上一次項係數的一半的平方後，還要再減去這個數。
例用配方法解下列方程：
（1）； （2）
知識點二用配方法解二次項係數為1的一元二次方程
用配方法解二次項係數為1的一元二次方程的步驟：
（1） 在方程的左邊加上一次項係數的一半的平方，再減去這個數；
（2） 把原方程變為的形式。
（3） 若，用直接開平方法求出的值，若n﹤0，原方程無解。
例解下列方程：
知識點三用配方法解二次項係數不是1的一元二次方程
當一元二次方程的形式為時，用配方法解一元二次方程的步驟：（1）先把二次項的係數化為1：方程的左、右兩邊同時除以二項的係數；
2) 移項：在方程的左邊加上一次項係數的一半的平方，再減去這個數，把原方程化為的形式；
（3）若，用直接開平方法或因式分解法解變形後的方程。
例用配方法解下列方程：
（1）； （2）
公式法知識點一一元二次方程的求根公式
一元二次方程的求根公式是：
用求根公式法解一元二次方程的步驟是：（1）把方程化為的形式，確定的值（注意符號）；（2）求出的值；（3）若，則把及的值代人求根公式，求出。
例用公式法解下列方程
（1）； （2）； （3）
知識點二選擇適合的方法解一元二次方程
直接開平方法用於解左邊的含有未知數的平方式，右邊是乙個非負數或也是乙個含未知數的平方式的方程
因式分解要求方程右邊必須是0，左邊能分解因式；
公式法是由配方法推導而來的，要比配方法簡單。
注意：一元二次方程解法的選擇，應遵循先特殊，再一般，即先考慮能否用直接開平方法或因式分解法，不能用這兩種特殊方法時，再選用公式法，沒有特殊要求，一般不採用配方法，因為配方法解題比較麻煩。
例用適當的方法解下列一元二次方程：
（1）；（2）；（3）
知識點三一元二次方程根的判別式
一元二次方程根的判別式 △=
運用根的判別式，不解方程，就可以判定一元二次方程的根的情況：
（1） △=﹥0方程有兩個不相等的實數根；
（2） △==0方程有兩個相等的實數根；
（3） △=﹤0方程沒有實數根；
利用根的判別式判定一元二次方程根的情況的步驟：①把所有一元二次方程化為一般形式；②確定的值；③計算的值；④根據的符號判定方程根的情況。
例不解方程，判斷下列一元二次方程根的情況：
（1）；（2）；（3）
知識點四根的判別式的逆用
在方程中，
（1）方程有兩個不相等的實數根﹥0
（2）方程有兩個相等的實數根=0
（3）方程沒有實數根﹤0
注意：逆用一元二次方程根的判別式求未知數的值或取值範圍，但不能忽略二次項係數不為0這一條件。
例為何值時，方程的根滿足下列情況：
（1）有兩個不相等的實數； （2）有兩個相等的實數根； （3）沒有實數根；
知識點五一元二次方程的根與係數的關係
若是一元二次方程的兩個根，則有，
根據一元二次方程的根與係數的關係求值常用的轉化關係：
（12）
（3）；
（4）││==
例已知方程的兩根為，不解方程，求下列各式的值。
（12）。
知識點六根據代數式的關係列一元二次方程
利用一元二次方程解決有關代數式的問題時，要善於用一元二次方程表示題中的數量關係（即列出方程），然後將方程整理成一般形式求解，最後作答。
例當取什麼值時，代數式與代數式的值相等？
一元二次方程的應用
知識點一列一元二次方程解應用題的一般步驟
（1） 審題，（2）設未知數，（3）列方程，（4）解方程，（5）檢驗，（6）作答。
關鍵點：找出題中的等量關係。
知識點二用一元二次方程解與增長率（或降低率）有關得到問題
增長率問題與降低率問題的數量關係及表示法：（1）若基數為a，增長率為，則一次增長後的值為，兩次增長後的值為；（2）若基數為a，降低率為，則一次降低後的值為，兩次降低後的值為。
例某農場糧食產量在兩年內由3000噸增加到3630噸，設這兩年的年平均增長率為，列出關於的方程為
知識點三用一元二次方程解與市場經濟有關的問題
與市場經濟有關的問題：如：營銷問題、水電問題、水利問題等。
例某商店如果將進貨價為8 元的商品每件10元售出，每天可售200件，現在採取提高售價，減少進貨價的方法增加利潤，已知這種商品每漲價0.5元，其銷量減少10件。
一元二次方程知識點總結
根的判別式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式，通常用 來表示，即 i當 0時，一元二次方程有2個不相等的實數根 ii當 0時，一元二次方程有2個相同的實數根 iii當 0時，一元二次方程沒有實數根 四 一元二次方程根與係數的關係 如果方程的兩個實數根是，那麼，也就是說，對於任何乙個有實數...
一元二次方程知識點總結
一 一元二次方程的根 2 一元二次方程根與係數的關係 4 根與係數的關係的應用 驗根 不解方程，利用根與係數的關係可以檢驗兩個數是不是一元二次方程的兩根 求根及未知數係數 已知方程的乙個根，可利用根與係數的關係求出另乙個數及未知數係數.求代數式的值 在不解方程的情況下，可利用根與係數的關係求關於和的...
一元二次方程知識點的總結
知識結構梳理 1 含有個未知數。2 未知數的最高次數是 1 概念 3 方程的兩邊都是關於未知數的整式 4 一元二次方程的一般形式是 1 配方法 適用於能化為的一元。二次方程 2 因式分解法 即把方程變形為ab 0的形式，2 解法a，b 為兩個因式 則a 0或b 0 3 直接開平方法 方程能化為x2 ...