判定三角形全等的錯解示例
一、對「對應」二字認識不準確，應用全等判別法有誤
例1 △abc 和 △def 中，∠a=30°，∠b=70°,ac=17cm，∠d=70°，∠e=
80°，de=17cm.那麼△abc與△def全等嗎？為什麼？
錯解：△abc與△def全等.證明如下：
在△def中，
∵ ∠d=70°，∠e=80°，
∴ ∠f=180°－∠d－∠e=180°―70°―80°=30°.
在△abc中，
∵ ∠a=30°，∠b=70°，
∴ ∠a=∠f，∠b=∠d.
又∵ ac=17cm，de=17cm，
∴ ac=de .
在△abc與△def中，
∴ △abc≌△def.
錯解分析：ac是∠b的對邊，de是∠f的對邊，而∠b≠∠f，所以這兩個三角形不全等.△abc與△def不全等.因為相等的兩邊不是相等的兩角的對邊，不符合全等三角形的判別法.
二、判定方法有錯誤
例2 如圖，ac⊥bc，dc⊥ec，ac=bc,dc=ec.
求證：∠d=∠e.
錯解：在△ace與△bcd中，
∵ac⊥bc ， dc⊥ec，
∴∠acb=∠ecd=90°.
又∵ac=bc，dc=ec,
∴ △ace≌△bcd，∴∠d=∠e.
錯解分析：上面的證明中，錯誤地應用了「邊角邊」. ∠acb與∠ecd並不是那一對三角形的內角.
正解：∵ ac⊥bc，dc⊥ec,
∴ ∠acb=∠ecd=90°,
∴ ∠ace=∠bcd.
∵ ac=bc, ∠ace=∠bcd,dc=ec,
∴ △ace≌△bcd, ∴∠d=∠e.
三、錯誤套用等式性質
例3 如圖，已知ac,bd相交於e點，∠a=∠b, ∠1=∠2.
求證：ae=be.
錯證：在△adc和△bcd中,
∵∠a=∠b,dc=cd, ∠2=∠1,
∴△adc≌△bcd,
∴△adc－△dec=△bcd－△dec,
∴△ade≌△bce, ∴ae=be.
錯解分析：在證明三角形全等時，一定要按判定定理進行證明.上面的證明中，將等式性質錯誤地搬到了三角形全等中.這是完全錯誤的.
正解：同上，易證△adc≌△bcd,
∴ad=bc.
在△ade和△bce中,
∵ad=bc，∠a=∠b，∠aed=∠bec,
∴△ade≌△bce,∴ae=be.
四、脫離題設，將對圖形的直觀印象視為條件進行證明
例4 如圖，在△abc中，ad是它的角平分線，bd=分別垂直於ab,ac,垂足為e,f.
求證：be=cf.
錯解1：認為de=df，並以此為條件.
在rt△bde與rt△cdf中，
∵de=df,bd=cd，
∴rt△bde≌rt△cdf（斜邊直角邊），∴be=cf.
錯解2：認為ad⊥bc，並以此為條件.
通過證明△abd≌△acd（邊角邊），得ab=ac,再由△aed≌△afd（角角邊），得ae=af,從而得到be=cf.
錯解分析：錯解1中認為de=df，並直接將其作為條件應用，因而產生錯誤；
錯解2中，認為ad⊥bc，沒有經過推理加以說明，因而也產生了錯誤.產生上述錯誤的原因是審題不清，沒有根據題設結合圖形找到證題依據.
正解：在△aed和△afd中,
∴ △aed≌△afd（角角邊），∴de=df.
在rt△bde與rt△cdf中，
rt△bde≌rt△cdf（斜邊直角邊），∴be=cf.
五、誤將「ssa (邊邊角）」當成「sas (邊角邊)」來證題
例5 如圖，d是△abc中bc邊上一點，e是ad上一點，eb=ec，∠abe=∠ace.
試證明：∠bae=∠cae.
錯解：在△aeb和△aec中，
∴ △aeb≌△aec，
∴∠bac=∠cae.
錯解分析：上解錯在證兩個三角形全等時用了「邊邊角」來判定，這是不正確的，因為有兩條邊以及其中一邊的對角對應相等的兩個三角形不一定全等.
正解：在△bec中，因eb=ec,故∠ebc=∠ecb.
∵ ∠abe=∠ace, ∴∠acb=∠abc，∴ab=ac，
在rt△aeb和rt△aec中，
∴△aeb≌△aec，∴∠bac=∠cae.
在學習中，學會對題中圖形進行觀察以及對已知條件進行分析，弄明白證明思路.同時，對三角形全等的各種條件要記熟並能區分.三角形的全等具有傳遞性，比如若有△abc≌△def，△def≌△mnp，則一定有△abc≌△mnp，這個性質在解題時有很重要的應用.
在一些計算圖形中有幾對全等三角形的題目時，利用這個性質可以發現一些不明顯的全等關係，幫助發現那些不是直接有關聯的全等三角形.
六、把「角角角」當成判定三角形全等的條件來使用
例6 如圖, ∠cab =∠dba, ∠c=∠d, e為ac和bd的交點.△adb與△bca全等嗎? 說明理由.
錯解: △adb ≌△bca.
因為∠c = ∠d, ∠cab = ∠dba, 所以∠dab =∠cba,
所以△adb ≌△bca(aaa) .
錯解分析: 錯解把三個角對應相等作為這兩個三角形全等的依據, 顯然是錯誤的, 「角角角」不是識別兩個三角形全等的條件.
正解: △adb ≌△bca.
因為∠cab = ∠dba, ∠c = ∠d, ab = ba( 公共邊) ,
所以△adb ≌△bca(aas) .
七、把「邊邊角」當成判定三角形全等的條件來使用
例7 如圖,已知△abc 中, ab = ac, d,e 分別是ab,ac 的中點, 且cd = be, △adc 與△aeb全等嗎? 說明理由.
錯解: △adc ≌ △aeb.
因為ab = ac, be = cd, ∠bae = ∠cad,
所以△adc ≌ △aeb( ssa) .
錯解分析: 錯解把「邊邊角」作為三角形全等的判別方法, 實際上, 「邊邊角」不能作為三角形全等的判別依據, 因為兩邊及一邊對角對應相等的兩個三角形不一定全等.
正解: △adc ≌ △aeb.
因為ab = ac, d,e 為ab,ac 的中點,
所以ad = ae.
在△adc 和△aeb 中,
因為ac = ab, ad = ae, cd = be, 所以△adc ≌ △aeb( sss) .
八、區域性當整體
例8 如圖, 已知ab = ac, ∠b = ∠c , bd = ce, 試說明△abe 與△acd 全等的理由.
錯解: 在△abe 和△acd 中,
因為ab = ac, ∠b = ∠c, bd = ce, 所以△abe ≌ △acd( sas) .
錯解分析: 錯解沒有認真地結合圖形來分析條件, 錯把三角形邊上的一部分(bd 是be 的一部分, ce 是cd 的一部分) 當成邊來說明, 這不符合「邊角邊」條件.
正解: 因為bd = ce,
所以bd + de = ce + de,
即be = cd.
在△abe 和△acd 中,
因為ab = ac, ∠b = ∠c, be = cd,
所以△abe ≌ △acd( sas) .
九、把等量相減用在全等上
例9 如圖, 已知ac,bd 相交於點o, ∠a =∠b, ∠1 = ∠2, ad = bc.
試說明△aod ≌ △boc.
錯解: 在△adc 和△bcd 中,
因為∠a = ∠b, ∠2 = ∠1, dc = cd,
所以△adc ≌ △bcd (aas) , 所以△adc - △doc ≌ △bcd-
△doc, 即△aod ≌ △boc.
錯解分析: 錯解原因是將等式的性質盲目地用到了三角形全等中, 實際上, 三角形全等是兩個三角形完全重合, 是不能根據等式上的數量關係來說明的.
正解: 在△aod 和△boc 中, ∠a = ∠b, ∠aod = ∠boc, ad =bc,
所以△aod ≌ △boc(aas) .
十．「同理可證」實際不同理
例10 已知： ad和a′d′分別是△abc和△a′b′c′的中線，ab=a′b′，bc=b′c′，ad=a′d′．
求證：△abc≌△a′b′c′．
錯解： 如圖，因為bd=bc， b′d ′=b′c′，bc=b′c′，
所以bd=b′d′． 在△abd和△a′b′d′中， ab=a′b′，bd=b′d′，ad=a′d′，因此△abd≌△a′b′d′．同理可證△adc≌△a′d′c′．故△abd+△adc≌△a′b′d+△a′d′c′，即△abc≌△a′b′c′．
錯解分析： 以上證法有兩個錯誤：⑴用了不同理的同理可證．證明△abd≌a′b′d′與△adc≌△a′d′c′的理由是不同的.
要證△adc≌△a′d′c′，需證∠adc=∠a′d′c′， 根據sas來證； ⑵由兩對全等三角形之和推出△abc≌△a′b′c′，理由不充分．
正解： 由△abd≌△a′b′d′，有∠b=∠b′． 在△abc和△a′b′c′中， ab=a′b′，∠b=∠b′，bc=b′c′，因此△abc≌△a ′b ′c′．
十一． 不顧條件任意引申
例11 已知：如圖，ab=ac，bd=ce，ad=ae．
求證：be=cd．
錯解： 在△abd和△ace中，因為ab=ac，bd=ce，ad=ae，所以
△abd≌△ace，故∠1=∠2．於是∠dac=∠bae．故be=cd．
錯解分析：等角對等邊成立的條件是在同乙個三角形中．而這裡∠dac與∠bae 雖然相等，但是，它們不在同乙個三角形中，所以不能得出be=cd．錯解犯了不顧條件任意引申的錯誤．
正解：在△abd和△ace中，因為ab=ac，bd=ce，ad=ae，所以△abd≌△ace．故∠1=∠2．於是∠dac=∠bae．從而△adc≌△aeb．故be=dc．
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