陝西省劉大鳴
反證法證明不等式，其的關鍵是如何依據題設條件和不等式的結論製造矛盾？本文**之.
1 反證法證明中用「待定係數法」和絕對值不等式的性質構造矛盾 .
例1 設，求證中至少有乙個不小於1.
簡析：本題學生都知道直接法證明係分7類研究難以切入，注意結論為「至少有乙個」的形式用反證法可簡化分類，但如何構造矛盾確束手無策，究其原因是「待定係數法」的溝通作用認識不到位.
用反證法，假設都小於1，如何依據題設和絕對值不等式的性質構造矛盾？
注意研究的關係，用待定係數法溝通，，
於是，一方面用假設有，，
另一方面用絕對值不等式的性質有，矛盾，
所以原不等式成立.
構造矛盾的關鍵是用「待定係數法」溝通3個函式值之間的關係.
若借助平面區域，認識三個函式值之間，乙個可以用另兩個線性表示，待定係數法可產生符合學生認知結構的製造矛盾的方法.
假設都小於1，注意三個函式值的關係，
2 反證法證明中用「重要不等式」結論和性質構造矛盾.
例2 若a＞0，b＞0，a3+b3=2．求證a+b≤2，ab≤1．
簡析：由條件a3+b3=2及待證的結論a+b≤2的結構入手，聯想它們之間的內在聯絡，不妨用作差比較法或均值不等式或構造方程等等方法，架起溝通二者的「橋梁」．也可構造二次方程借助判別式構建不等式解出範圍；
現用反證法證明，借助配方法和重要不等式的結論構造矛盾.
假設a+b＞2，則a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)[(a+b)2-3ab]＞2(22-3ab)．因為a3+b3=2，所以2＞2(4-3ab)，因此ab＞1．①
另一方面，2=a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab)≥(a+b)(2ab-ab)=(a+b)·ab＞2ab，所以ab＜1． ②
於是（1）與（2）矛盾，故a+b≤2．
假設，則a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)[(a+b)2-3ab]<（a+b）[(a+b)2-3],
因為a3+b3=2，所以（a+b）3-3(a+b)-2>0 , 解範圍系配湊整體
(a+b)3+1-3(a+b)-3>0,
即(a+b-1) [(a+b)2-（a+b）+1]- 3(a+b+1)>0,，
注意正數範圍有 a+b＞2，這與a+b≤2矛盾，所以假設不成立，
故ab≤1由以上的討論，則a+b≤2，ab≤1．
例3已知.
簡析：注意題設中的對稱性，假設開方相加和均值不等式應用相加製造矛盾.
假設等號不能同時取到
另一方面注意輪換式的特點用不等式相加
於是有矛盾，故所證不等式成立.
【實戰演練】
已知函式f(x)定義在實數集上,對任意x,y都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)成立，且方程f(x)=0有最小正根c存在.求證f(0)=1,且f(x)是偶函式； |f(x)|≤1.
提示：反證法證題的實質，是利用原命題和它的逆否命題的等價性，當直接法證明不易時所採用的方法. 賦值和反證法解決.
令x=y=0,則f(0)=0或f(0)=1.若f(0)=0，則0為方程f(x)=0根與方程f(x)=0有最小正根c存在矛盾，故f(0)=1.令x=0,則f(-y)=f(y)，即f(x)是偶函式；
反證法解決.
假設存在x0使得 |f(x0)|>1.由對應法則有 2f(c+x0)f(c-x0)=f(2c)+f(2x0)=[2f(c)f(c)-f(0)]+[f(x0)(x0)-f(0)]=2[f2(x0) -1]>0,但是f(c+x0)=f[2c+(x0-c)]=-f(x0-c)=-f(c-x0),從而f(x0+c)f(c-x0)=-f2(c-x0)≤0與上式矛盾.故對任意x∈r,都有|f(x)|≤1.
巧用反證法證明不等式
反證法是根據 正難則反 的原理，即如果正面證明有困難時，或者直接證明需要分多種情況而反面只有一種情況時，可以考慮用反證法。反證法不僅在幾何中有著廣泛的應用，而且在代數中也經常出現。用反證法證明不等式就是最好的應用。要證明不等式a b，先假設a b，然後根據題設及不等式的性質，推出矛盾，從而否定假設。...
巧用反證法證明不等式
正難則反，巧用反證法證明不等式 反證法是根據 正難則反 的原理，即如果正面證明有困難時，或者直接證明需要分多種情況而反面只有一種情況時，可以考慮用反證法。反證法不僅在幾何中有著廣泛的應用，而且在代數中也經常出現。用反證法證明不等式就是最好的應用。要證明不等式a b，先假設a b，然後根據題設及不等式...
構造區域性不等式證明不等式
有些不等式的證明，若從整體上考慮難以下手，可構造若干個結構完全相同的區域性不等式，逐一證明後，再利用同向不等式相加的性質，即可得證。例1.若，求證 分析 由a，b在已知條件中的對稱性可知，只有當，即時，等號才能成立，所以可構造區域性不等式。證明 同理，例2.設是n個正數，求證 證明 題中這些正數的對...