第4講數學歸納法
【2023年高考會這樣考】
1．數學歸納法的原理及其步驟．
2．能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題．
【複習指導】
複習時要抓住數學歸納法證明命題的原理，明晰其內在的聯絡，把握數學歸納法證明命題的一般步驟，熟知每一步之間的區別聯絡，熟悉數學歸納法在證明命題中的應用技巧．
基礎梳理
1．歸納法
由一系列有限的特殊事例得出一般結論的推理方法，通常叫做歸納法．根據推理過程中考查的物件是涉及事物的全體或部分可分為完全歸納法和不完全歸納法．
2．數學歸納法
(1)數學歸納法：設是乙個與正整數相關的命題集合，如果：①證明起始命題p1(或p0)成立；②在假設pk成立的前提下，推出pk＋1也成立，那麼可以斷定對一切正整數成立．
(2)用數學歸納法證明乙個與正整數有關的命題時，其步驟為：
①歸納奠基：證明當取第乙個自然數n0時命題成立；
②歸納遞推：假設n＝k，(k∈n*，k≥n0)時，命題成立，證明當n＝k＋1時，命題成立；
③由①②得出結論．
兩個防範
數學歸納法是一種只適用於與正整數有關的命題的證明方法，第一步是遞推的「基礎」，第二步是遞推的「依據」，兩個步驟缺一不可，在證明過程中要防範以下兩點：
(1)第一步驗證n＝n0時，n0不一定為1，要根據題目要求選擇合適的起始值．
(2)第二步中，歸納假設起著「已知條件」的作用，在證明n＝k＋1時，命題也成立的過程中一定要用到它，否則就不是數學歸納法．第二步關鍵是「一湊假設，二湊結論」．
三個注意
運用數學歸納法應注意以下三點：
(1)n＝n0時成立，要弄清楚命題的含義．
(2)由假設n＝k成立證n＝k＋1時，要推導詳實，並且一定要運用n＝k成立的結論．
(3)要注意n＝k到n＝k＋1時增加的項數．
雙基自測
1．在應用數學歸納法證明凸n邊形的對角線為n(n－3)條時，第一步檢驗第乙個值n0 等於( )．
a．1 b．2 c．3 d．0
解析邊數最少的凸n邊形是三角形．
答案 c
2．利用數學歸納法證明不等式1＋＋＋…＋＜f(n)(n≥2，n∈n*)的過程，由n＝k到n＝k＋1時，左邊增加了( )．
a．1項 b．k項 c．2k－1項 d．2k項
解析 1共增加了2k項，故選d.
答案 d
3．用數學歸納法證明：「1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈n*)」在驗證n＝1時，左端計算所得的項為( )．
a．1 b．1＋a
c．1＋a＋a2 d．1＋a＋a2＋a3
答案 c
4．某個命題與自然數n有關，若n＝k(k∈n*)時命題成立，那麼可推得當n＝k＋1時該命題也成立，現已知n＝5時，該命題不成立，那麼可以推得( )．
a．n＝6時該命題不成立 b．n＝6時該命題成立
c．n＝4時該命題不成立 d．n＝4時該命題成立
解析法一由n＝k(k∈n*)成立，可推得當n＝k＋1時該命題也成立．因而若n＝4成立，必有n＝5成立．現知n＝5不成立，所以n＝4一定不成立．
法二其逆否命題「若當n＝k＋1時該命題不成立，則當n＝k時也不成立」為真，故「n＝5時不成立」「n＝4時不成立」．
答案 c
5．用數學歸納法證明不等式＋＋…＋＞的過程中，由n＝k推導n＝k＋1時，不等式的左邊增加的式子是________．
解析不等式的左邊增加的式子是＋－＝，故填.
答案考向一用數學歸納法證明等式
【例1】用數學歸納法證明：
tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋…＋tan(n－1)α·tan nα＝－n(n∈n*，n≥2)．
[審題視點] 注意第一步驗證的值，在第二步推理證明時要注意把假設作為已知．
證明 (1)當n＝2時，右邊＝－2＝－2＝＝tan α·tan 2α＝左邊，等式成立．
(2)假設當n＝k(k∈n*且k≥2)時，等式成立，即
tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋…＋tan(k－1)α·tan kα＝－k，
那麼當n＝k＋1時，
tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋…＋tan(k－1)α·tan kα＋tan kα·tan(k＋1)α
＝－k＋tan kα·tan(k＋1)α
＝＋1＋tan kα·tan(k＋1)α－(k＋1)
＝＋－(k＋1)
＝－(k＋1)．
這就是說，當n＝k＋1時等式也成立．
由(1)(2)知，對任何n∈n*且n≥2，原等式成立．
用數學歸納法證明等式時，要注意第(1)步中驗證n0的值，如本題要取n0＝2，在第(2)步的證明中應在歸納假設的基礎上正確地使用正切的差角公式．
【訓練1】 用數學歸納法證明：
對任意的n∈n*，＋＋…＋＝.
證明 (1)當n＝1時，左邊＝＝，右邊＝，左邊＝右邊，所以等式成立．
(2)假設當n＝k(k∈n*且k≥1)時等式成立，即有
＋＋…＋＝，
則當n＝k＋1時，
＋＋…＋＋
＝＋＝＝＝＝，
所以當n＝k＋1時，等式也成立．
由(1)(2)可知，對一切n∈n*等式都成立．
考向二用數學歸納法證明整除問題
【例2】是否存在正整數m使得f(n)＝(2n＋7)·3n＋9對任意自然數n都能被m整除，若存在，求出最大的m的值，並證明你的結論；若不存在，說明理由．
[審題視點] 觀察所給函式式，湊出推理要證明所需的項．
解由f(n)＝(2n＋7)·3n＋9得，f(1)＝36，f(2)＝3×36，f(3)＝10×36，f(4)＝34×36，由此猜想：m＝36.
下面用數學歸納法證明：
(1)當n＝1時，顯然成立；
(2)假設n＝k(k∈n*且k≥1)時，f(k)能被36整除，即f(k)＝(2k＋7)·3k＋9能被36整除；當n＝k＋1時，[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9＝(2k＋7)·3k＋1＋27－27＋2·3k＋1＋9＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)，
由於3k－1－1是2的倍數，故18(3k－1－1)能被36整除，這就是說，當n＝k＋1時，f(n)也能被36整除．
由(1)(2)可知對一切正整數n都有f(n)＝(2n＋7)·3n＋9能被36整除，m的最大值為36.
證明整除問題的關鍵「湊項」，而採用增項、減項、拆項和因式分解等手段，湊出n＝k時的情形，從而利用歸納假設使問題獲證．
【訓練2】 用數學歸納法證明an＋1＋(a＋1)2n－1(n∈n*)能被a2＋a＋1整除．
證明 (1)當n＝1時，a2＋(a＋1)＝a2＋a＋1可被a2＋a＋1整除．
(2)假設n＝k(k∈n*且k≥1)時，
ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，
則當n＝k＋1時，
ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2(a＋1)2k－1＝a·ak＋1＋a·(a＋1)2k－1＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1，由假設可知a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]能被a2＋a＋1整除，(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1也能被a2＋a＋1整除，
∴ak＋2＋(a＋1)2k＋1也能被a2＋a＋1整除，
即n＝k＋1時命題也成立，
∴對任意n∈n*原命題成立．
考向三用數學歸納法證明不等式
【例3】用數學歸納法證明：對一切大於1的自然數，不等式·…·>均成立．
[審題視點] 本題用數學歸納法證明不等式，在推理過程中用放縮法，要注意放縮的「度」．
證明 (1)當n＝2時，左邊＝1＋＝；右邊＝.
∵左邊》右邊，∴不等式成立．
(2)假設n＝k(k≥2，且k∈n*)時不等式成立，
即·…·>.
則當n＝k＋1時，
·…·>·＝＝
>＝＝.
∴當n＝k＋1時，不等式也成立．
由(1)(2)知，對於一切大於1的自然數n，不等式都成立．
在由n＝k到n＝k＋1的推證過程中，應用放縮技巧，使問題得以簡化，用數學歸納法證明不等式問題時，從n＝k到n＝k＋1的推證過程中，證明不等式的常用方法有比較法、分析法、綜合法、放縮法等．
【訓練3】 已知函式f(x)＝x3－x，數列滿足條件：a1≥1，an＋1≥f′(an＋1)．試比較＋＋＋…＋與1的大小，並說明理由．
解 ∵f′(x)＝x2－1，an＋1≥f′(an＋1)，∴an＋1≥(an＋1)2－1.
∵函式g(x)＝(x＋1)2－1＝x2＋2x在區間[1，＋∞)上單調遞增，於是由a1≥1，得a2≥(a1＋1)2－1≥22－1，進而得a3≥(a2＋1)2－1≥24－1＞23－1，
由此猜想：an≥2n－1.
下面用數學歸納法證明這個猜想：
①當n＝1時，a1≥21－1＝1，結論成立；
②假設n＝k(k≥1且k∈n*)時結論成立，即ak≥2k－1，則當n＝k＋1時，由g(x)＝(x＋1)2－1在區間[1，＋∞)上單調遞增知，ak＋1≥(ak＋1)2－1≥22k－1≥2k＋1－1，即n＝k＋1時，結論也成立．
由①、②知，對任意n∈n*，都有an≥2n－1.
即1＋an≥2n，∴≤，
1－n＜1.
考向四歸納、猜想、證明
【例4】數列滿足sn＝2n－an(n∈n*)．
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