二次函式最值問題
【知識版塊一】二次函式應用題
（例1）研究所對某種新型產品的產銷情況進行了研究，為了投資商在甲、乙兩地生產並銷售該產品提供了如下成果：第一年的年產量為（噸）時，所需的全部費用（萬元）與滿足關係式，投入市場後當年能全部售出，且在甲、乙兩地每噸的售價、（萬元）均與滿足一次函式關係。（注：
年利潤=年銷售額-全部費用）
（1）成果表明，在甲地生產並銷售噸時，，請你用含的代數式表示甲地當年的年銷售額，並求年利潤（萬元）與之間的函式關係式；
（2）成果表明，在乙地生產並銷售噸時，（為常數），且在乙地當年的最大年利潤為35萬元。試確定的值；
（3）受資金、生產能力等多種因素的影響，某投資商計畫第一年生產並銷售該產品18噸，根據（1），（2）中的結果，請你通過計算幫他決策，選擇在甲地還是乙地產銷才能獲得較大的年利潤？
（變式1）隨著綠城南寧近幾年城市建設的快速發展，對花木的需求量逐年提高。某園林專業戶計畫投資種植花卉及樹木，根據市場調查與**，種植樹木的利潤與投資量成正比例關係，如圖①所示；種植花卉的利潤與投資量成二次函式關係，如圖②所示（注：利潤與投資量的單位：
萬元）圖圖②（1）分別求出利潤與關於投資量的函式關係式；
（2）如果這位專業戶以8萬元資金投入種植花卉和樹木，他至少獲得多少利潤？他能獲取的最大利潤是多少？
（變式2）某市種植某種綠色蔬菜，全部用來出口．為了擴大出口規模，該市決定對這種蔬菜的種植實行**補貼，規定每種植一畝這種蔬菜一次性補貼菜農若干元．經調查，種植畝數（畝）與補貼數額（元）之間大致滿足如圖1所示的一次函式關係．隨著補貼數額的不斷增大，出口量也不斷增加，但每畝蔬菜的收益（元）會相應降低，且與之間也大致滿足如圖2所示的一次函式關係．
（1）在**未出台補貼措施前，該市種植這種蔬菜的總收益額為多少？
（2）分別求出**補貼政策實施後，種植畝數和每畝蔬菜的收益與**補貼數額之間的函式關係式；
（3）要使全市這種蔬菜的總收益（元）最大，**應將每畝補貼數額定為多少？並求出總收益的最大值．
【知識版塊二】距離類最值問題
（例2）知識技能：三角形兩邊之和大於第三邊，三角形兩邊之差小於第三邊
如圖所示，在平面直角座標系中，四邊形abcd是直角梯形，bc∥ad，∠bad=90°，bc與y軸相交於點m，且m是bc的中點，a、b、d三點的座標分別是a（﹣1，0），b（﹣l，2），d（3，0）．連線dm，並把線段dm沿da方向平移到on．若拋物線y=ax2+bx+c經過點d、m、n．
（1）求拋物線的解析式．
（2）拋物線上是否存在點p，使得pa=pc，若存在，求出點p的座標；若不存在，請說明理由．
（3）設拋物線與x軸的另乙個交點為e，點q是拋物線的對稱軸上的乙個動點，當點q在什麼位置時有|qe﹣qc|最大？並求出最大值．
（變式）如圖所示，在平面直角座標系中，正方形的邊長為2，點、分別在軸的負半軸和軸的正半軸上，拋物線經過點、和
（1）求拋物線的解析式．
（2）如果點由點出發沿邊以2cm/s的速度向點運動，同
時點由點出發沿邊以1cm/s的速度向點運動，當其中一點到達終點時，另一點也隨之停止運動．設
①試求出與運動時間之間的函式關係式，並寫出的取值範圍；
②當取，在拋物線上是否存在點，使得以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出點的座標；如果不存在，請說明理由．
（3）在拋物線的對稱軸上求點，使得到、的距離之差最大，求出點的座標．
（例3）知識技能：面積恆定，根據底最短求高最長。
已知直線分別交軸、軸於、兩點，線段上有一動點由原點向點運動，速度為每秒1個單位長度，過點作軸的垂線交直線於點，設運動時間為秒．
（1）當時，線段上另有一動點由點向點運動，它與點以相同速度同時出發，當點到達點時兩點同時停止運動（如圖1）．
①直接寫出秒時、兩點的座標；
②若以、、為頂點的三角形與△abc相似，求的值．
（2）當時，設以為頂點的拋物線與直線的另一交點為（如圖2），
①求的長；
②設的邊上的高為，當為何值時，的值最大？
（例4）知識技能：兩點之間直線最短
如圖，在直角座標系中，已知點a（0，1），b（﹣4，4），將點b繞點a順時針方向90°得到點c；頂點在座標原點的拋物線經過點b．
（1）求拋物線的解析式和點c的座標；
（2）拋物線上一動點p，設點p到x軸的距離為，點p到點a的距離為，試說明；
（3）在（2）的條件下，請**當點p位於何處時，△pac的周長有最小值，並求出△pac的周長的最小值．
（例5）知識技能：將軍飲馬
在平面直角座標系中，已知拋物線（為常數）的頂點為，等腰直角三角形的定點的座標為，的座標為，直角頂點在第四象限.
（1）如圖，若該拋物線過，兩點，求該拋物線的函式表示式；
（2）平移（1）中的拋物線，使頂點在直線上滑動，且與交於另一點.
）若點在直線下方，且為平移前（1）中的拋物線上的點，當以
三點為頂點的三角形是等腰直角三角形時，求出所有符合條件的點的座標；
）取的中點，連線.試**是否存在最大值？若存在，求出該最大值；若不存在，請說明理由.
（變式1）已知，如圖，二次函式圖象的頂點為h，與x軸交於a、b兩點（b在a點右側），點h、b關於直線l對稱．
（1）求a、b兩點座標，並證明點a在直線l上；
（2）求二次函式解析式；
（3）過點b作直線bk∥ah交直線l於k點，m、n分別為直線ah和直線l上的兩個動點，連線hn、nm、mk，求hn+nm+mk和的最小值．
（變式2）如圖1，拋物線的頂點為c（l，4），交x軸於a、b兩點，交y軸於點d，其中點b的座標為（3，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖2，過點a的直線與拋物線交於點 e，交y軸於點f，其中點e的橫座標為2，若直線pq為拋物線的對稱軸，點g為直線 pq上的一動點，則x軸上是否存在一點h，使d、g，h、f四點所圍成的四邊形周長最小．若存在，求出這個最小值及點g、h的座標；若不存在，請說明理由；
【知識版塊三】面積類最值問題
知識技能：①規則圖形直接利用面積公式②不規則圖形面積分解為規則圖形再表示
（例6）如圖，拋物線與x軸交於a、b兩點，與y軸交於點c（0，﹣3）
（1）求拋物線的對稱軸及k的值；
（2）拋物線的對稱軸上存在一點p，使得pa+pc的值最小，求此時點p的座標；
（3）點m是拋物線上的一動點，且在第三象限．
①當m點運動到何處時，△amb的面積最大？求出△amb的最大面積及此時點m的座標；
②當m點運動到何處時，四邊形amcb的面積最大？求出四邊形amcb的最大面積及此時點的座標．
（變式1）如圖，拋物線與x軸交與a(1,0),b(- 3，0)兩點。
（1）求該拋物線的解析式；
（2）設（1）中的拋物線交y軸與c點，在該拋物線的對稱軸上是否存在點q，使得△qac的周長最小？若存在，求出q點的座標；若不存在，請說明理由；
（3）在（1）中的拋物線上的第二象限上是否存在一點p，使△pbc的面積最大？，若存在，求出點p的座標及△pbc的面積最大值.若沒有，請說明理由.
（變式2）如圖1，拋物線與x軸交於b、c兩點（點b在點c的左側），拋物線另有一點a在第一象限內，且∠bac=90°．
（1）填空：oboc
（2）連線oa，將△oac沿x軸翻摺後得△odc，當四邊形oacd是菱形時，求此時拋物線的解析式；
（3）如圖2，設垂直於x軸的直線l：x=n與（2）中所求的拋物線交於點m，與cd交於點n，若直線l 沿x軸方向左右平移，且交點m始終位於拋物線上a、c兩點之間時，試**：當n為何值時，四邊形amcn的面積取得最大值，並求出這個最大值．
（【知識版塊四】構造二次函式求最值
（例8）如圖，拋物線交x軸於點a（﹣3，0），點b（1，0），交y軸於點e（0，﹣3）．點c是點a關於點b的對稱點，點f是線段bc的中點，直線l過點f且與y軸平行．直線y=﹣x+m過點c，交y軸於d點．
（1）求拋物線的函式表示式；
（2）點k為線段ab上一動點，過點k作x軸的垂線與直線cd交於點h，與拋物線交於點g，求線段hg長度的最大值；
（變式）如圖，拋物線與x軸交於點a（2，0），交y軸於點b（0，）．直線過點a與y軸交於點c，與拋物線的另乙個交點是d．
（1）求拋物線與直線的解析式；
（2）設點p是直線ad上方的拋物線上一動點（不與點a、d重合），過點p作 y軸的平行線，交直線ad於點m，作de⊥y軸於點e．**：是否存在這樣的點p，使四邊形pmec是平行四邊形？若存在請求出點p的座標；若不存在，請說明理由；
（3）在（2）的條件下，作pn⊥ad於點n，設△pmn的周長為l，點p的橫座標為x，求l與x的函式關係式，並求出l的最大值．
（例9）如圖，在平面直角座標系xoy中，拋物線經過a、b、c三點，已知點a（﹣3，0），b（0，3），c（1，0）．
（1）求此拋物線的解析式．
（2）點p是直線ab上方的拋物線上一動點，（不與點a、b重合），過點p作x軸的垂線，垂足為f，交直線ab於點e，作pd⊥ab於點d．動點p在什麼位置時，△pde的周長最大，求出此時p點的座標；
二次函式最值
一 二次函式定義 函式叫x的二次函式。二次函式可通過配方法化為為或y a x 2 形式，其中h 頂點座標 h,k 或 對稱軸 直線x 二 看表填空 最值 特別注意頂點橫座標是否在自變數的取值範圍內 若頂點橫座標在自變數的取值範圍內 當a 0時，函式有最值，並且當x 時，y最小值 當a 0時，函式有最...
二次函式的最值問題經典總結完善版
二次函式的最值問題 一 再現及鞏固 二次函式的一般式 化成頂點式，如果自變數的取值範圍是全體實數，那麼函式在頂點處取得最大值 或最小值 即當時，函式有最小值，並且當，當時，函式有最大值，並且當，二 鞏固練習 1.求下列二次函式的最值 1 求函式的最值 2 求函式的最值 2.某商品現在的售價為每件60...
二次函式最值經典例題收錄
二次函式最值問題專題第 4 講 一 興趣匯入 topic in 二 學前測試 testing 重點梳理 1 二次函式一般形式為 頂點式為 2 結合二次函式的影象可知 當x滿足時，y隨著x的增大而增大 當x滿足時，y隨著x的增大而減小。3 數形結合討論最值問題，1 在x取任意實數時有 當時，影象開口 ...