**摘要：本文是分析新教材中「演算法迴圈結構流程圖」的型別、迴圈結構的退出條件、迴圈結構與其他結構的聯絡、以及設計迴圈結構流程圖應注意的事項等四個方面，其中重點談到如何把握和設計迴圈結構的退出條件，著手探索演算法迴圈結構流程圖的教學。
關鍵詞：流程圖；計數變數；迴圈結構
為了加強高中課程與社會發展、科技進步以及學生生活的聯絡，於是在2023年高中課程改革時，高中數學新教材就增加了演算法知識，並放在數學必修ⅲ的第一章。其中流程圖是演算法中的重點，而迴圈結構的流程圖是乙個難點，學生在學習時感到最困難的是迴圈結構出口條件的把握，也就是說何時應該退出迴圈結構執行下一步？退出時該用「>」還是「≥」，用「<」還是 「≤」？
計數變數、累加變數的初始值與終值分別是什麼？迴圈結構中的當型與直到型有何區別？等等，學生感到茫然。
若學生掌握了流程圖，程式設計序就容易了，因此我認為，加強對演算法中迴圈結構的分析與研究很有必要。下面結合具體問題談談我在學習新教材和實施「演算法中迴圈結構流程圖」教學過程中的認識和體會。
正如我們知道的，「在一些演算法中，也經常會出現從某處開始，按照一定條件，反覆執行某一處步驟的情況，這就是迴圈結構。反覆執行的步驟稱為迴圈體。」【1】那麼我們在教學中應該關注的是什麼呢？
關注的問題一：迴圈結構有哪些型別？
根據對條件的不同處理，迴圈結構分為如下兩種，
（一）當型（while型）。「當型迴圈在每次執行迴圈體前對控制迴圈條件進行判斷，當條件滿足時執行迴圈體，不滿足則停止；」 【2】當型迴圈有時也稱為「前測試型」迴圈（如圖1）。
（二）直到型（until型）。「直到型迴圈在執行了一次迴圈體之後，對控制迴圈條件進行判斷，當條件不滿足時執行迴圈體，滿足則停止。」【3】直到型迴圈又稱為「後測試型」迴圈（如圖2）。
對同乙個問題，一般來說既可以用當型，又可以用直到型。當然其流程圖（即程式框圖）是有所不同的。
例1 設計乙個計算1+2+3+…+100的值的程式框圖。其當型迴圈結構程式框圖是圖3，直到型迴圈結構程式框圖是圖4。
迴圈結構不能是永無終止的「死迴圈」，一定要在某個條件下終止迴圈，這就需要判斷框作出判斷，因此，迴圈結構中一定包含判斷框。
從以上例子還可看出當型迴圈的判斷條件「i<100?」與直到型迴圈的判斷條件 「i>=100?」剛好是相反的。即在同一演算法中，當型迴圈與直到型迴圈的條件互為對立。
關注的問題二：如何把握和設計迴圈結構的退出條件？
這裡有必要先介紹計數變數和累加變數的作用：計數變數是用於記錄迴圈次數，同時它的取值還用於判斷迴圈是否終止；累加變數（或稱累積變數）用於輸出結果。
（一）計數變數和累加變數（或稱累積變數）一般是同步執行的，計數一次，就累加（或累積）一次。
例1中「i」是計數變數，「s」是累加變數。每對i計數一次，就對s累加一次，當i=100時，退出迴圈，此時迴圈次數剛好為100次。
（二）有時計數變數並沒有準確記錄迴圈次數。如：
例2 設計求1+3+5+7+…+31的流程圖。
例2流程圖（圖5）用的是直到型迴圈，當中的s是累加變數，i是計數變數，這裡每對s累加一次，就對i計數一次，當i>31(即i=33)時要退出迴圈體，但此時迴圈次數卻只有16次；
（三）有時計數變數有兩個，乙個用來判斷迴圈是否結束，另乙個用來準確記錄迴圈次數。如：
例3 設計求1×2×4×7×…×46的程式框圖。
例3程式框圖（圖6）是直到型迴圈，當中t與i都是計數變數，p是累積變數，每對t和i計數一次,就對p累積一次，其中t是控制迴圈次數，i是判斷迴圈是否終止。當i>46(即i=56，t=9) 時，退出迴圈體，此時迴圈次數剛好是9次，只是在設計框圖時不需人為算出t=9。
（四）有時要退出迴圈體，有計數變數還是無法真正退出迴圈結構的。如
例4 任意給定乙個大於1的整數n，試設計乙個程式或步驟對n是否為質數做出判定。演算法如下：
第一步，判斷n是否等於2。若n=2，則n是質數；若n>2，執行第二步。
第二步，依次從2～（n-1）檢驗是不是n的因數，即整除n的數。若有這樣的數，則n不是質數；若沒有這樣的數，則n是質數。
根據演算法直接畫出的程式框圖（圖7），這裡d是計數變數，但此時當中紅色粗線部分問題還沒解決。
這就需要增加乙個變數flag，它是用來判斷是否為質數的乙個變數，該變數的取值只有兩個，「1」和「0」，若flag=1，則是質數；否則不是質數。flag並沒有實質的含義，那就象乙個人的姓名能代表他本人，其外號也可代表他本人，學號同樣能代表他本人。而一般來說用學號管理更方便。
「flag=1」只是質數的乙個代號。當然代號可以選別的，如用b變數，「b=1是質數的代號，而當b≠1時則不是質數」等等都行。直到型迴圈結構的圖8是正確的。
該例中有計數變數d，d與flag的取值都是用於判斷迴圈是否終止，在這裡兩變數缺一不可。我們在這裡就把類似於 「flag」 這樣作用的變數叫做標誌變數。標誌變數並不記錄迴圈次數，它只用來控制迴圈體結束。
（五）有時迴圈體中並無計數變數，且迴圈次數是不能確定的。以上的例1，例2，例3中都有計數變數，且迴圈體的迴圈次數都是確定的，而在例4中迴圈次數是不確定的，有0，1，2，…，n-2次多種可能。又例如
例5 用二分法設計乙個求方程x2-2=0的正近似根的演算法（精確到ε＝0.005）。
第一步：令f(x)= x2-2，因為f(1)<0，f(2)>0，則根在區間（1，2），設x1=1,x2=2，即根在區間（x1 ，x2）。
第二步：令m=，計算f(m)的值，並判斷f(m)是否為0。若是，則m為所求根；若否，則繼續執行以下步驟。
第三步：若f(x1)f(m)>0，知f(m) f(x2)<0，則根在區間（m, x2），令x1=m；否則根在區間（x1 ,m），令x2=m。
第四步：判斷|x1—x2|<ε（即|x1—x2|<0.005）是否成立？若是，則令m=，m為滿足條件的近似根；若否，則返回第二步。
其框圖如圖9（是直到型迴圈結構），這裡並無計數變數，而用來判斷迴圈是否終止的只是標誌變數a。其迴圈次數最多為（這裡x1，x2是初始值），但實際上並不知道其實際的迴圈次數。
關注的問題三：迴圈結構與其他結構有何聯絡？
1． 迴圈結構中都有順序結構。
2． 條件結構巢狀著迴圈結構，如圖8。
3． 迴圈結構巢狀著條件結構，如圖8，圖9。
4． 迴圈結構巢狀著迴圈結構，如圖10（是乙個關於九九乘法表的流程圖）
最後談談設計迴圈結構流程圖應注意的事項：
1． 計數變數和累加變數（或累積變數）分別代表什麼？有什麼作用？
2． 兩個變數（計數變數和累加變數）的初始值、終值分別是多少？
3． 計數變數遞加的值（即步長）有多大？
4． 退出迴圈體時判斷框中計數變數取值限制，用「>」還是「≥」？用「<」還是 「≤」？
5． 不要漏掉流程線的箭頭，也不要忘記在判斷框相連的流程線上寫「是」（或「y」），「否」（或「n「），還要注意當型中「是」執行迴圈體，直到型中「是」退出迴圈體。
6． 當遇到條件結構巢狀著迴圈結構，或迴圈結構巢狀著條件結構，或迴圈結構巢狀著迴圈結構時，注意一定要把整個結構套進去，就象大盆裝小盆，要完整的裝好，不能溢位。
7． 迴圈結構一般只有乙個進口，乙個出口。在二分法的圖9中，迴圈體中設計了乙個進口，乙個出口，只有這樣才能順利轉化為程式語言。
【1】普通高中課程標準實驗教科書《數學3》（a版）人民教育出版社，2004,5第1版p9
【2】【3】普通高中課程標準實驗教科書《數學3》（a版）人民教育出版社，2004,5第1版p10
參考文獻
①普通高中課程標準實驗教科書《數學3》（a版）人民教育出版社，2004,5第1版
②《中學教材全解高中數學必修③》主編: 薛金星，陝西人民教育出版社，2005，1第1版，2006,2第1版
③《高中同步測控優化設計》主編：任志鴻，南方出版社2004,12第2版，2006,1第3版
**題目：談談新課程改革中「演算法迴圈結構流程圖」的教學
作者：盧麗英
單位：東莞中學數學科
聯絡**：22119827 ，137********
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