四、分組法求和
有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數列，然後分別求和，再將其合併即可.
[例7] 求數列的前n項和：，…
解：設將其每一項拆開再重新組合得
分組）當a＝1時分組求和）
當時，＝
[例8] 求數列的前n項和.
解：設 ∴ ＝
將其每一項拆開再重新組合得
sn分組）
＝分組求和）
練習：求數列的前n項和。
解：五、裂項法求和
這是分解與組合思想在數列求和中的具體應用. 裂項法的實質是將數列中的每項（通項）分解，然後重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的. 通項分解（裂項）如：
（1） （2）
（3） （4）
（5）(6)
[例9] 求數列的前n項和.
解：設裂項）
則裂項求和）
[例10] 在數列中，，又，求數列的前n項的和.
解： ∵
裂項）∴ 數列的前n項和
裂項求和）
[例11] 求證：
解：設裂項）
裂項求和）
＝∴ 原等式成立
練習：求 1 3， 1 1 5， 1 3 5， 1 63之和。
解：六、合併法求和
針對一些特殊的數列，將某些項合併在一起就具有某種特殊的性質，因此，在求數列的和時，可將這些項放在一起先求和，然後再求sn.
[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.
解：設sn＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°
找特殊性質項）
∴sn＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···
+（cos89°+ cos91°）+ cos90合併求和）
0[例13] 數列：，求s2002.
解：設s2002＝
由可得……
找特殊性質項）
∴ s2002合併求和）
＝＝＝＝5[例14] 在各項均為正數的等比數列中，若的值.
解：設由等比數列的性質找特殊性質項）
和對數的運算性質得
（合併求和）
＝＝＝10七、利用數列的通項求和
先根據數列的結構及特徵進行分析，找出數列的通項及其特徵，然後再利用數列的通項揭示的規律來求數列的前n項和，是乙個重要的方法.
[例15] 求之和.
解：由於找通項及特徵）
∴分組求和）＝＝
＝[例16] 已知數列：的值.
解：∵ （找通項及特徵）
設制分組）
裂項）∴ （分組、裂項求和）
練習：求5，55，555，…，的前n項和。
解：∵an= 5 9(10n-1)
∴sn = 5 9(10-1)+ 5 9(102-1) + 5 9(103-1) + … + 5 9(10n-1)
5 9[（10+102+103+……+10n）-n]
10n＋1-9n-10）
整合提公升：以上乙個7種方法雖然各有其特點，但總的原則是要善於改變原數列的形式結構，使其能進行消項處理或能使用等差數列或等比數列的求和公式以及其它已知的基本求和公式來解決，只要很好地把握這一規律，就能使數列求和化難為易，迎刃而解。
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專題 數列求和的基本方法和技巧
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