第八章平面電磁波
重點和難點
本章是時變電磁場的重要內容。應將理想介質中的平面波的傳播特性，極化特性，以及平面邊界上的反射和透射等內容作為重中之重。
講解傳播特性時，著重介紹波動方程解的物理意義，從相位變化的角度理解頻率和波長的物理含義，以及傳播速度。介紹均勻平面波、非均勻平面波和tem波等概念，以及它們之間的相互依存的關係。
介紹導電媒質中平面波的傳播特性時，應與理想介質中的傳播特性進行對比。
極化特性是平面波的重要特性，除了講清三種極化特性的意義，以及它們之間的關係，教師可以根據自己的知識，盡量多給學生介紹一些應用例項。
介紹平面波的反射和透射特性時，應指出反射係數及透射係數僅表示邊界上場量之間的關係。
講解平面波在多層媒質中的傳播特性時，著重介紹傳播波阻抗的應用及其阻抗特性隨長度的變化規律。
對於沿任意方向傳播的平面波復向量表示式，應著重強調指數項代表傳播方向，而復振幅表示平面波的極化方向。
通過理想導電邊界上的反射特性，引出導波系統。
導電媒質表面上的斜投射，以及等離子體和鐵氧體等各向異性媒質中傳播特性可以根據給定的學時適當從簡。
重要公式
波動方程：
非齊次波動方程：
齊次波動方程：
亥姆霍茲方程：
齊次向量亥姆霍茲方程：
齊次標量亥姆霍茲方程：
理想介質中的平面波：
電場強度：
磁場強度：
頻率： 波長：
波數： 相速：
相速、波長和頻率的關係：
波阻抗電場強度和磁場強度的關係：
復能流密度向量：
能量速度：
導電媒質中的平面波：
等效介電常數：
傳播常數：
相位常數：
衰減常數：
相速：波長：
波阻抗：
電場強度：
磁場強度：
若<<，則 ，，
若》，則
集膚深度：
正投射時邊界上反射係數和透射係數：
駐波比：
多層媒質正投射：
輸入波阻抗：
總反射係數：
任意方向傳播的平面波:
傳播向量：
無源區中均勻平面波滿足下列方程：
理想介質邊界上平面波的斜投射：
斯耐爾折射定律：
相位匹配條件：
平行極化波的反射係數及透射係數：
垂直極化波的反射係數及透射係數：
若，則平行極化波無反射時布魯斯特角：
，若，則全反射時臨界角，
等離子體中的平面波：
等效介電常數：
式中波動方程：
鐵氧體中的平面波：
磁導率式中
波動方程：
題解8-1 匯出非均勻的各向同性線性媒質中，正弦電磁場應該滿足的波動方程及亥姆霍茲方程。
解非均勻的各向同性線性媒質中，正弦電磁場應該滿足的麥克斯韋方程如下：
，分別對上面兩式的兩邊再取旋度，利用向量公式，得
則相應的亥姆霍茲方程為
8-2 設真空中平面上分布的表面電流，試求空間電場強度、磁場強度及能流密度。
解平面上分布的表面電流將產生向和方向傳播的兩個平面波，設z > 0區域中的電場和磁場分別為，，傳播方向為；而z < 0區域中的場強為和，傳播方向為。顯然，各個場分量均與邊界平行。由於表面電流的存在導致磁場強度在邊界上不連續，但是電場強度仍然連續。
由此求得下列方程：
式中。考慮到
； 求得，，獲知
因此，那麼z > 0
同理可得 ， z < 0
因此，兩邊的電場強度分別為
， z > 0
， z < 0
能流密度分別為
, z > 0
， z < 0
8-3 已知理想介質中均勻平面波的電場強度瞬時值為
(v/m)
試求磁場強度瞬時值、平面波的頻率、波長、相速及能流密度。
解已知電場強度瞬時值為
(v/m)
可見這是向+x方向傳播的平面波。因此，磁場強度的瞬時值為
(a/m)
式中為媒質的波阻抗。
根據題意，獲知平面波的角頻率，波數。由此求出
頻率：；波長：
相速： (m/s)
能流密度：
8-4 設真空中平面波的磁場強度瞬時值為
a/m)
試求該平面波的頻率、波長、相位常數、相速、電場強度復向量及能流密度。
解根據題意，獲知平面波的角頻率，相位常數。由此求出
頻率：；波長：
相速： (m/s)
已知磁場強度瞬時值為
(a/m)
可見這是向-y方向傳播的平面波。因此，電場強度的瞬時值為
(v/m)
式中為真空的波阻抗。那麼，電場強度的復向量為
(v/m)
能流密度向量：
8-5 當頻率分別為10khz與10ghz的平面波在海水中傳播時，求此平面波在海水中的波長、傳播常數、相速及特性阻抗。
解當時，，
故可視為良導體。那麼
相位常數：；衰減常數：
波長：；相速
波阻抗：
當時，，
，故可視為非理想的電介質，則
相位常數：
衰減常數：
波長：；相速：
波阻抗：
8-6 推導式（8-3-9）。
解若媒質的電導率為，則無源區中的麥克斯韋方程為
令，代入下述齊次亥姆霍茲方程
再令，顯然為複數。設，將代入得
該方程兩端對應的實部和虛部應該相等，即
求解上述聯立方程即可求得式（8-3-9），即
8-7 試證乙個線極化平面波可以分解為兩個旋轉方向相反的圓極化波。
證明令乙個x方向的線極化平面波為
那麼可將上式改寫為
顯然上式右端兩項均為圓極化平面波，而且旋轉方向恰好相反。這就證實乙個線極化平面波可以分解為兩個旋轉方向相反的圓極化波。
8-8 試證乙個橢圓極化平面波可以分解為兩個旋轉方向相反的圓極化平面波。
證明由教材8-4節可見，通過座標軸旋轉，任一橢圓極化平面波均可表示為
令，，即
， 那麼前式可展開為
此式又可改寫為
顯然，上式代表兩個旋轉方向相反的圓極化波。
8-9 試證圓極化平面波的能流密度瞬時值與時間及空間無關。
證明設圓極化波電場強度的瞬時值為
上式可改寫為
相應的磁場強度為
那麼，能流密度瞬時值為
可見，圓極化波的能流密度瞬時值與時間及空間無關。
8-10 設真空中圓極化平面波的電場強度為
(v/m)
試求該平面波的頻率、波長、極化旋轉方向、磁場強度以及能流密度。
解由電場強度的表示式可見，，那麼
波長：；頻率：
因傳播方向為+x方向，z分量又導前y分量，因此該圓極化平面波是左旋的。
磁場強度為
（a/m）
能流密度為
（w/m2）
8-11 當平面波自第一種理想介質向第二種理想介質垂直投射時，若媒質波阻抗，證明邊界處為電場駐波最大點；若，則邊界處為電場駐波最小點。
證明設入射波的傳播方向為+z方向，z <0一側媒質波阻抗為z1，z >0一側媒質波阻抗為z2，那麼，入射波和反射波可以分別表示為
入射波：；反射波：
邊界上的反射係數為
由於兩種介質均為理想介質，和為實數，且。
媒質①中合成電場可表示為
媒質①中合成電場的振幅為
顯然，絕對值的最大值為，而最小值為。
當時，，那麼在z = 0的邊界上
可見邊界上為電場駐波最大點。
當時，，那麼在z = 0的邊界上
可見邊界上為電場駐波最小點。
實際上，當時，，由於邊界上反射波和入射波的相位相同，因而形成電場駐波的最大點。當時，，邊界上反射波和入射波的相位相反，因而形成電場駐波的最小點。
8-12 當均勻平面波自真空向理想介質平面邊界垂直投射時，測得駐波比為2.7，試求該理想介質的介電常數。
解由題可知， ，求得。
若取，則由及，求出
。顯然，此結果不合理。因此，應取，則求得。
8-13 當右旋圓極化平面波自真空沿正z方向向位於z = 0平面的理想導電體平面垂直投射時，若其電場強度的振幅為e0，試求：①電場強度的瞬時形式及複數形式；②反射波電場強度的表示式；③理想導電體表面的電流密度。
解由題意知，可設該右旋圓極化平面波的電場強度的複數形式為
其瞬時值為
反射波為 ，因，則
。令真空中的合成磁場為
因為；那麼合成磁場為
已知表面電流密度為
式中，為理想導電體表面的合成磁場。因此，求得表面電流為
。8-14 若在電磁引數，的玻璃表面鍍上一層透明的介質以消除紅外線的反射，紅外線的波長為0.75m，試求：
①該介質膜的介電常數及厚度；②當波長為0.42m的紫外線照射該鍍膜玻璃時，反射功率與入射功率之比。
解 ①為了消除紅外線反射，介質膜的介電常數應使其波阻抗z2滿足下述關係式
式中z0為真空波阻抗，z1為玻璃的波阻抗。已知
，那麼，介質膜的介電常數應滿足下式
介質膜的厚度應等於該紅外線在其內傳播時的波長的四分之一。已知紅外線的波長，那麼介質膜的厚度應為
②已知紫外線的波長，則其在介質膜中的波長為，相位常數為，那麼
對於波長的紫外線，邊界上的輸入波阻抗為
那麼，邊界上的總反射係數為
功率之比等於場強振幅的平方比，故反射功率與入射功率之比為
。8-15 設某種多層媒質由三種媒質組成，當平面波自第一種媒質沿正z方向向多層媒質邊界正投射時，如習題圖8-15所示。若r12為媒質①與媒質②形成的邊界反射係數，r23為媒質②與媒質③形成的邊界反射係數，試以反射係數r12及r23表示z = 0處的總反射係數。
解依題意知
，，其中、、分別為三種媒質
的波阻抗；則可得
，；那麼，在處的輸入波阻抗為
已知總反射係數為，將與代入，求得
。8-16 已知平面波的電場強度為
向三層介質邊界正投射，如習題圖
8-16所示。已知三種介質的引數為
，中間介質夾層厚度，試求各區域中電場強度及磁場強度。
解由題意知，波數，波長。
在媒質②中的波長為，，可見。那麼，處的輸入波阻抗為
故處總的反射係數為
，透射係數為
；已知入射波電場強度為，那麼在的區域中，反射波電場強度為。相應的磁場強度為
在的區域中，可令入射波和反射波的電場強度和磁場強度分別為
， ，在z > d的區域中，可令入射波的強度和磁場強度分別為
， 根據z = 0和z = d的邊界上電場強度和磁場強度的切向分量必須連續的邊界條件，可得下列方程：即式中
代入上述方程組，求得
那麼，各區域中的電場強度和磁場強度分別如下：
，，，，，8-17 試證式（8-7-14）。
證明已知均勻平面波表示式為
， 式中
代入無源區中的麥克斯韋方程
考慮到式中
顯然，上式可改寫為
因此求得
同理可證第二方程 。
對於散度方程，考慮到
可見，，求得。
同理可證第四方程。
8-18 已知平面波的電場強度為
試求：① 傳播常數k；② 極化特性；③ 是否是tem波？
解已知平面波的表示式為 ，由題獲知
可見，，即傳播常數為
傳播方向位於yz平面，如習題圖8-18所示。
ey分量與ez分量構成線極化波，它和相位不同振幅不等的ex分量合成後,構成橢圓極化波。由於ex分量相位導前，因此形成右旋橢圓極化波。
因，故為tem波。
8-19 當以及和均不等時，試求垂直極化平面波斜投射時的布魯斯特角和臨界角。
電磁場於電磁波指導書
第二章靜電場 重點和難點 電場強度及電場線等概念容易接受，重點講解如何由物理學中積分形式的靜電場方程匯出微分形式的靜電場方程，即散度方程和旋度方程，並強調微分形式的場方程描述的是靜電場的微分特性或稱為點特性。利用亥姆霍茲定理，直接匯出真空中電場強度與電荷之間的關係。通過書中列舉的4個例子，總結歸納出...
電磁場與電磁波實驗指導書 參考
實驗一電磁波感應器的設計與製作 實驗二電磁波傳播特性實驗 實驗三電磁波的極化實驗 實驗四天線方向圖測量實驗 實驗一電磁波感應器的設計與製作 一 預習要求 1 什麼是法拉第電磁感應定律？2 什麼是電偶極子？3 了解線天線基本結構及其特性。二 實驗目的 1 認識時變電磁場，理解電磁感應的原理和作用。2 ...
電磁場與電磁波實驗指導列印版
目錄實驗一 gunn振盪器 1 實驗二 調製器和晶體檢波器 8 實驗三 波導內的傳播型別 波長和相位速度 15 實驗四 微波器件引數的測量 q值和諧振腔的頻寬 21 實驗五 微波器件引數的測量 駐波比的測量 26 實驗六 微波器件引數的測量 阻抗測量 30 1 實驗目的 本實驗的目的是學習微波訊號源...