第1章基本概念
1.1 集合
c r q z n c r+ r- 2z
a∈aa|
a b 或b a
或 a′
bb ∪ ai)
b∩()= (b∩ai)
定理1.1 設a，b，c是集合u的三個子集，則有
（1）交換律： a∪b=b∪a a∩b=b∩a
（2）結合律：(a∪b)∪c=a∪(b∪c)
(a∩b)∩c=a∩(b∩c)
（3）分配律： a∪(b∩c)=(a∪b)∩(a∪c)
a∩(b∪c)=(a∩b)∪(a∩c)
（4）模律： 若ac，則a∪(b∩c)=(a∪b)∩c∣∣∣∣∣
（5）冪等律：a∪a=a，a∩a=a
（6）吸收律：a∪(a∩b)=a∩(a∪b)=a
（7）兩極律：a∪u=u, a∩u=a,
a∪=a, a∩=
(8) 補餘律：a∪a' =u，a∩a'=
(9) 對合律:( a') '=a
（10）對合律: (a∪b)'= a'∩b'，(a∩b)'= a'∪b',
習題1.1
7. 設a=,寫出a的冪集2a
8.設a是包含n個元素的有限集，求a的冪集2a 所包含元素個數.
1.2 對映
定義1.5 設a,b是兩個給定的非空集合,若有乙個對應法則f ,使，通過f,!與其對應，則稱f是a到b的乙個對映，記作
f: ab或ab.
a稱為f的定義域，b稱為f的值域.b稱為a在f下的像，a稱為b在f下的原，記作b=f(a)或f: ab.
例3．設a=r+=,b=r ,則f: x,+
是r+到r的乙個對映.但是,h:, +
不是r+到r的對映，因為x∈r+在h下的像不唯一.
例5.設a是乙個非空集合，則ia:,是a到a自身的乙個對映，稱為a的恒等對映（或單位對映）.
定義1.6 設f是a到b的對映.
(1) 若 ，則稱b的子集為s在f下的像，記作f（s）.特別，當s=a時，f（a）稱為對映f的像，記作imf.
(2) 若，則稱a的子集為t在f下的完全原像，記作f- -1（t）.特別，當t時單元集（）也可記作f -1(b).
定義1.8 設a,b,c是三個集合,f是a到b的對映，g是b到c的對映，規定 h: xg(f(x)),
則h是a到c的對映，稱為f是g的合成（或乘積），記作h=g°f，即（g°f）（x）=g(f(x)),
定理1.2設f: a→b，g: b→c，h: c→d, 則
（1）h°（g°f）=( h°g)°f （結合律成立）;
（2）ib°f =f ，ia°f=f.
定義1.9 設f是a到b的乙個對映.
(1) 若a1,a2∈a ,當a1a2 時，有 f(a1) f (a2)，則稱f是a到b的乙個單射
(2) 若b∈b, ,使f(a)=b,則稱f是a到b的乙個滿射；
(3) 若f既是滿射，又是單射，則稱f是乙個雙射.
定理1.6 設a，b是兩個有限集，則a與b之間存在雙射的充要條件為.
習題1.2
2.(1)設f是a到b的單射，g是b到c的單射，證明g。f是a到c的單射.
（2）設f是a到b的滿射，g是b到c的滿射，證明g。f是a到c的滿射.
1.3 卡氏積與代數運算
定義1.11 設a,b,是兩個集合，作乙個新的集合：
｛（a ,b）︳a ∈a, b∈b｝，
稱這個集合是a與b的笛卡兒（descartes）積（簡稱卡氏積）, 記作a×b.
定義1.12設a,b,d是三個非空集合，從a×b到d的對映稱為a,b到d的代數運算.特別，當a=b=d時，a,a到a的代數運算簡稱為a上的代數運算.
例2 乙個z×z到z的對映：
a ,b) a(b+1)
是z上的代數運算.缺例3下面的 p12
定義 1.13設是集合a上的乙個代數運算，若a1, a2 , a3 a,都有（a1 a2 ）a3 = a1（a2 a3 ），則稱
適合結合律.
定理1.7 設集合a上的代數運算適合結合律，則對於a中任意n（n≥3）個元素a1,a2,……,an ,只要不改變元素的排列順序，任何一種加括號方法計算所得的結果都相同.
定義1.14 設是集合a上的乙個代數運算，若a1, a2 a, 都有 a1 a2 = a2 a1 ,則稱適合交換律.
定理1.8 設集合a上的代數運算同時適合結合律與交換律，則在n個元素的運算a1 a2…an （n≥2）中，元素的順序可以任意調換.
習題1.3
2.判定下列法則『。』是否為有理數q上的代數運算？
（1）ab= (a + b)
（2）ab=b+2b2
（3）ab= a2–ab+b2
（4）ab=
（5）ab=b
1.4 等價關係與集合的分類
定義1.18 設a,b是兩個集合，則a×b的子集r稱為a,b間的乙個二元關係.當（a , b）∈r時稱a與b具有關係r，記作arb;
當(a ,b) r時，稱a與b不具有關係r，記作ar'b.
例1 設a=r,則
r1=｛（a ,b）︳(a ,b)∈r×r , a=b｝,
r2=｛（a ,b）︳(a ,b)∈r×r ,a≤b｝,
r3=｛（a ,b）︳(a ,b)∈r×r ,a=2b｝,
r4=｛（a ,b）︳(a ,b)∈r×r ,a2+b2=1｝
都是實數集r上的關係.而且，ar1b a=b,所以r1就是實數間的「相等」關係；ar2b a≤b , 所以r2就是實數間的「小於或等於」關係；而且r1的逆關係r1-1就是r1；r1的餘關係r1′就是實數間的「不等」關係；r2的逆關係r2-1就是實數間的「大於或等於」關係；r2的餘關係r2′就是實數間的「大於」關係.
例3設a=q,則
r=｛（,）︳a , c ∈z ,b , d ∈z,ad = bc｝
是有理數集q上的乙個關係.
例4 設r表示所有實數域上的一元多項式所組成的集合，則
r=｛（f（x），g（x））︳f（x），g（x）∈r, f（x）︳，g（x）,且g（x）
︳f（x）｝是r上的乙個關係.
例5.設a=z,則
r=｛（a ,b）︳a ,b ∈z , a , b的奇偶性相同｝
是整數集z上的乙個關係
定義1.19 設～是集合a上的乙個二元元素，若滿足下列性質：
（1） 自反性：，a～a
（2） 對稱性：,a～b b～a
（3） 傳遞性：,a～b, b～ca～c
則稱～是a上的乙個等價關係.當a～b時，稱a與b等價.
定義1.20 設乙個集合a分成若干個非空子集，使得a中每乙個元素屬於乙個子集，則這些子集的全體稱為a的乙個分類.每乙個子集稱為乙個類.類裡任何乙個元素稱為這個類的乙個代表.
由定義可知，ade非空子集族s=是a的乙個分類當且僅當滿足下列性質：
（1）=a；
（2）當ij時，aiaj= ,即不同的類互不相交.
例6 設a=，則
s1=,,}
s2=,,}
s3=,}
定理1.11 設～是a上的乙個等價關係，對於，令，x～a }，則a的子集族是乙個分類.
定義1.21 設～是a上的乙個等價關係，由a得全體不同～等價類所組成的集合族稱為a關於～的商集，記作a/～.
例8 設a=z，m∈n，令
rm=｛（a,b）︳a , b ∈z , m∣a-b｝,
證明 rm 是整數集z上的乙個等價關係，並給出有這個等價關係所確定的z的乙個分類.
因此，rm是z上的乙個等價關係.由這個等價關係rm所確定的rm等價類為[0]=
[1]=，
[2]=，
[m-1]=.
rm稱為模m的同餘關係，由rm所確定的等價類稱為模m剩餘類，z關於rm的商集為
z/rm=，
它由m個不同的剩餘類組成.今後將z/rm記作zm
第二章群
2.1 半群
定義2.1 設s是乙個非空集合，若
（1） 在s中存在乙個代數運算；
（2） 適合結合律：
則稱s關於是乙個半群，記作（s，），
若半群s的運算還適合交換律：
ab=ba, a,b∈s,
則稱s是交換半群。
半群的代數運算「」通常稱為乘法，並將符號「」省略，即ab記作ab，稱為a與b的積.
乙個交換半群s的代數運算常記作「+」，並稱為加法，此時結合律、交換律分別為
a+b）+c=a+(b+c) a,b,c∈s
a+b=b+a a,b∈s.
例1 對於自然數集n,由於數的加法、乘法都是n上適合結合律與交換律的代數運算，所以（n，+）（n，×）都是交換半群
例3 對於實數域上全體一元多項式所組成的集合r[x]，由於多項式的加法、乘法都是r[x]上適合結合律與交換律的代數運算，所以（r[x]，＋），(r[x],×)都是交換半群.
例4 設mn（p）表示數域p上全體n階矩陣所組成的集合，由於矩陣的加法是mn（p）上適合結合律與交換律的代數運算，所以（mn（p），＋）是交換群，矩陣的乘法是mn（p）上適合結合律，但不適合交換律的代數運算，所以（mn（p），*）是不可交換半群.
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