第18講平面向量與解析幾何
在高中數學新課程教材中，學生學習平面向量在前，學習解析幾何在後，而且教材中二者知識整合的不多，很多學生在學習中就「平面向量」解平面向量題，不會應用平面向量去解決解析幾何問題。用向量法解決解析幾何問題思路清晰，過程簡潔，有意想不到的神奇效果。著名教育家布魯納說過：
學習的最好刺激是對所學材料的興趣，簡單的重複將會引起學生大腦疲勞，學習興趣衰退。這充分揭示方法求變的重要性，如果我們能重視向量的教學，必然能引導學生拓展思路，減輕負擔。
一、知識整合
平面向量是高中數學的新增內容，也是新高考的乙個亮點。 向量知識、向量觀點在數學、物理等學科的很多分支有著廣泛的應用，它具有代數形式和幾何形式的「雙重身份」，能融數形與一體，能與中學數學教學內容的的許多主幹知識綜合，形成知識交匯點。而在高中數學體系中，解析幾何占有著很重要的地位，有些問題用常規方法去解決往往運算比較繁雜，不妨運用向量作形與數的轉化，則會大大簡化過程。
二、例題解析
例1、（2023年全國高考題）橢圓的焦點為ff，點p為其上的動點，當∠fp f為鈍角時，點p橫座標的取值範圍是___。
解：f1（－,0）f2（,0）,設p（3cos,2sin）
為鈍角∴
=9cos2－5＋4sin2=5 cos2－1<0
解得： ∴點p橫座標的取值範圍是（）
點評：解決與角有關的一類問題，總可以從數量積入手。本題中把條件中的角為鈍角轉化為向量的數量積為負值，通過座標運算列出不等式，簡潔明瞭。
例2、已知定點a(-1,0)和b(1,0)，p是圓(x-3)2+(y-4)2=4上的一動點，求的最大值和最小值。
分析：因為o為ab的中點，所以故可利用向量把問題轉化為求向量的最值。
解：設已知圓的圓心為c，由已知可得：
又由中點公式得
所以又因為點p在圓(x-3)2+(y-4)2=4上
所以且所以
即故所以的最大值為100，最小值為20。
點評：有些解幾問題雖然沒有直接用向量作為已知條件出現，但如果運用向量知識來解決，也會顯得自然、簡便，而且易入手。
例3、（2023年天津高考題）o是平面上一定點，a、b、c是平面上不共線的三個點，動點p滿足，，則p的軌跡一定通過△abc的（ ）
（a）外心 （b）內心 （c）重心 （d）垂心
分析：因為同向的單位向量，由向量加法的平行四邊形則知是與∠abc的角平分線（射線）同向的乙個向量，又，知p點的軌跡是∠abc的角平分線，從而點p的軌跡一定通過△abc的內心。
反思：根據本題的結論，我們不難得到求乙個角的平分線所在的直線方程的步驟；
（1） 由頂點座標（含線段端點）或直線方程求得角兩邊的方向向量；
（2） 求出角平分線的方向向量
（3） 由點斜式或點向式得出角平分線方程。
例4、（2023年天津）已知常數，向量，經過原點以為方向向量的直線與經過定點以為方向向量的直線相交於點，其中．試問：是否存在兩個定點，使得為定值，若存在，求出的座標；若不存在，說明理由．
（本小題主要考查平面向量的概念和計算,求軌跡的方法，橢圓的方程和性質，利用方程判定曲線的性質，曲線與方程的關係等解析幾何的基本思想和綜合解題能力.）
解：根據題設條件，首先求出點p座標滿足的方程，據此再判斷是否存在兩定點，使得點p到兩定點距離的和為定值.
∵， ∴=（λ，a），=（1，－2λa）.
因此，直線op和ap的方程分別為和.
消去引數λ，得點的座標滿足方程.
整理得因為所以得：
（i）當時，方程①是圓方程，故不存在合乎題意的定點e和f；
（ii）當時，方程①表示橢圓，焦點和為合乎題意的兩個定點；
（iii）當時，方程①也表示橢圓，焦點和為合乎題意的兩個定點.
點評：本題以平面向量為載體，考查求軌跡的方法、利用方程判定曲線的性質、曲線與方程的關係等解析幾何的基本思想和綜合解題能力。去掉平面向量的背景，我們不難看到，本題即為下題：
在△oap中，o（0，0）、a（0，a）為兩個定點，另兩邊op與ap的斜率分別是，求p的軌跡。
而課本上有一道習題（數學第二冊（上）第96頁練習題4）：
三角形abc的兩個頂點a、b的座標分別是（-6，0）、（6，0），邊ac、bc所在直線的斜率之積等於，求頂點c的軌跡方程。通過本例可見高考題目與課本的密切關係。
例5．（2023年天津卷理22）橢圓的中心是原點o，它的短軸長為，相應於焦點f（c，0）（）的準線與x軸相交於點a，|of|=2|fa|，過點a的直線與橢圓相交於p、q兩點.
（1）求橢圓的方程及離心率；
（2）若，求直線pq的方程；
（3）設（），過點p且平行於準線的直線與橢圓相交於另一點m，證明.
分析：本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質，直線方程，平面向量的計算，曲線和方程的關係等解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力.
（1）解：由題意，可設橢圓的方程為.
由已知得解得
所以橢圓的方程為，離心率.
（2）解：由（1）可得a（3，0）.
設直線pq的方程為.由方程組
得依題意，得.
設，則由直線pq的方程得.於是
. ③
∵，∴. ④
由①②③④得，從而.
所以直線pq的方程為或
（2）證明：.由已知得方程組
注意，解得
因，故.
而，所以.
三、總結提煉
由於向量具有幾何形式和代數形式的「雙重身份」，使向量與解析幾何之間有著密切聯絡，而新課程高考則突出了對向量與解析幾何結合考查，這就要求我們在平時的解析幾何教學與複習中，應抓住時機，有效地滲透向量有關知識，樹立應用向量的意識。應充分挖掘課本素材，在教學中從推導有關公式、定理，例題講解入手，讓學生去品位、去領悟，在公式、定理的探索、形成中逐漸體會向量的工具性，逐漸形成應用向量的意識，在教學中還應注重引導學生善於運用一些問題的結論，加以引申，使之成為解題方法，體會向量解題的優越性，在教學中還應注重引導學生善於運用向量方法解題，逐步樹立運用向量知識解題的意識。
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