軌跡方程的若干求法
一、直接法
直接根據等量關係式建立方程.
例1 已知點,動點滿足,則點的軌跡是( )
a.圓橢圓雙曲線拋物線
解析:由題知,,
由,得,即,
點軌跡為拋物線.故選d.
二、定義法
運用有關曲線的定義求軌跡方程.
例2 在中,上的兩條中線長度之和為39,求的重心的軌跡方程.
解:以線段所在直線為軸,線段的中垂線為軸建立直角座標系,如圖1,為重心,則有.
點的軌跡是以為焦點的橢圓,
其中..
所求的重心的軌跡方程為.
注意:求軌跡方程時要注意軌跡的純粹性與完備性.
三、轉代法
此方法適用於動點隨已知曲線上點的變化而變化的軌跡問題.
例3 已知△abc的頂點,頂點在拋物線上運動,求的重心的軌跡方程.
解:設,,由重心公式,得
又在拋物線上,. ③
將①,②代入③,得,
即所求曲線方程是.
四、引數法
如果不易直接找出動點的座標之間的關係,可考慮借助中間變數(引數),把x,y聯絡起來.
例4 已知線段,直線垂直平分於,在上取兩點,使有向線段滿足,求直線與的交點的軌跡方程.
解:如圖2,以線段所在直線為軸,以線段的中垂線為軸建立直角座標系.
設點,則由題意,得.
由點斜式得直線的方程分別為.
兩式相乘,消去,得.
這就是所求點m的軌跡方程.
評析:引數法求軌跡方程,關鍵有兩點:一是選參,容易表示出動點;二是消參,消參的途徑靈活多變.
五、待定係數法
當曲線的形狀已知時,一般可用待定係數法解決.
例5 已知a,b,d三點不在一條直線上,且,,,
.(1)求點軌跡方程;
(2)過作直線交以為焦點的橢圓於兩點,線段的中點到軸的距
離為,且直線與點的軌跡相切,求橢圓方程.
解:(1)設,由知為中點,易知.
又,則.
即點軌跡方程為;
(2)設,中點.
由題意設橢圓方程為,直線方程為.
直線與點的軌跡相切,
,解得.
將代入橢圓方程並整理,得,
, 又由題意知,即,解得.
故所求的橢圓方程為.
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