――概念.方法.題型.易誤點及應試技巧總結
§三角函式
1.角的概念的推廣：平面內一條射線繞著端點從乙個位置旋轉到另乙個位置所的圖形.
按逆時針方向旋轉所形成的角叫正角，按順時針方向旋轉所形成的角叫負角，一條射線沒有作任何旋轉時，稱它形成乙個零角.射線的起始位置稱為始邊，終止位置稱為終邊.
2.象限角的概念：在直角座標系中，使角的頂點與原點重合，角的始邊與軸的非負半軸重合，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限的角.
如果角的終邊在座標軸上，就認為這個角不屬於任何象限.
3. 終邊相同的角的表示：
（1）終邊與終邊相同(的終邊在終邊所在射線上) ，注意：相等的角的終邊一定相同，終邊相同的角不一定相等
如與角的終邊相同，且絕對值最小的角的度數是＿＿＿，合＿＿＿弧度.
（2）終邊與終邊共線(的終邊在終邊所在直線上) .
（3）終邊與終邊關於軸對稱.
（4）終邊與終邊關於軸對稱.
（5）終邊與終邊關於原點對稱.
（6）終邊在軸上的角可表示為：；終邊在軸上的角可表示為：；終邊在座標軸上的角可表示為：.
如的終邊與的終邊關於直線對稱，則
4.與的終邊關係：由「兩等分各象限.一二三四」確定.
如若是第二象限角，則是第_____象限角
5.弧長公式：，扇形面積公式：，1弧度(1rad).
如已知扇形aob的周長是6cm，該扇形的中心角是1弧度，求該扇形的面積.
6.任意角的三角函式的定義：設是任意乙個角，p是的終邊上的任意一點（異於原點），它與原點的距離是，那麼，， ， ，.三角函式值只與角的大小有關，而與終邊上點p的位置無關.
如（1）已知角的終邊經過點p(5，－12)，則的值為＿＿.
（2）設是第三.四象限角，，則的取值範圍是_______
（3）若，試判斷的符號
7.三角函式線的特徵是：正弦線mp「站在軸上(起點在軸上)」.
余弦線om「躺在軸上(起點是原點)」.正切線at「站在點處(起點是)」.三角函式線的重要應用是比較三角函式值的大小和解三角不等式.
如（1）若，則的大小關係為_____
（2）若為銳角，則的大小關係為_______
（3）函式的定義域是_______
8. 同角三角函式的基本關係式：
（1） 平方關係：
（2）倒數關係：sincsc=1,cossec=1,tancot=1,
（3）商數關係：
同角三角函式的基本關係式的主要應用是，已知乙個角的三角函式值，求此角的其它三角函式值.在運用平方關係解題時，要根據已知角的範圍和三角函式的取值，盡可能地壓縮角的範圍，以便進行定號；在具體求三角函式值時，一般不需用同角三角函式的基本關係式，而是先根據角的範圍確定三角函式值的符號，再利用解直角三角形求出此三角函式值的絕對值.
如（1）函式的值的符號為____
（2）若，則使成立的的取值範圍是____
（3）已知，，則＝____
（4）已知，則
（5）已知，則等於( )
a. b. c. d.
（6）已知，則的值為______
9.三角函式誘導公式（）的本質是：奇變偶不變（對而言，指取奇數或偶數），符號看象限（看原函式，同時可把看成是銳角）.
誘導公式的應用是求任意角的三角函式值，其一般步驟：（1）負角變正角，再寫成2k+,；(2)轉化為銳角三角函式.
如（1）的值為________
（2）已知，則______，若為第二象限角，則________.
10.兩角和與差的正弦.余弦.正切公式及倍角公式：
如（1）命題p：，命題q：，則p是q的( )
a.充要條件 b.充分不必要條件 c.必要不充分條件 d.既不充分也不必要條件
（2）已知，那麼的值為____
(3)已知，求的值（用a表示）甲求得的結果是，乙求得的結果是，對甲.乙求得的結果的正確性你的判斷是______
11. 三角函式的化簡.計算.
證明的恒等變形的基本思路是：一角二名三結構.即首先觀察角與角之間的關係，注意角的一些常用變式，角的變換是三角函式變換的核心！
第二看函式名稱之間的關係，通常「切化弦」；第三觀察代數式的結構特點.基本的技巧有:
（1）巧變角（已知角與特殊角的變換.已知角與目標角的變換.角與其倍角的變換.兩角與其和差角的變換. 如，，，，等），
如（1）已知，，那麼的值是_____
（2）已知，且，，求的值
（3）已知為銳角，，，則與的函式關係為______
(2)三角函式名互化(切割化弦)，
如已知，求的值
(3)公式變形使用（.
如（1）已知為銳角，且滿足，則＝_____
(2)設中，，，則此三角形是____三角形
(4)三角函式次數的降公升(降冪公式：，與公升冪公式：，).
如(1)若，化簡為_____
（2）函式的單調遞增區間為________
(5)式子結構的轉化(對角.函式名.式子結構化同).
如（1）
（2）求證：； （3）化簡：
(6)常值變換主要指「1」的變換（等），
如已知，求
(7)正余弦「三兄妹—」的記憶體聯絡――「知一求二」，
如（1）若，則 __特別提醒：這裡；
（2）若，求的值.
（3）已知，試用表示的值
12.輔助角公式中輔助角的確定： (其中角所在的象限由a, b的符號確定，角的值由確定)在求最值.化簡時起著重要作用.
如（1）若方程有實數解，則的取值範圍是
（2）當函式取得最大值時，的值是______
（3）如果是奇函式，則=
13.正弦函式和余弦函式的圖象：正弦函式和余弦函式圖象的作圖方法：
五點法：先取橫座標分別為0，的五點，再用光滑的曲線把這五點連線起來，就得到正弦曲線和余弦曲線在乙個週期內的圖象.
14.正弦函式.余弦函式的性質：
（1）定義域：都是r.（2）值域：都是，對，當時，取最大值1；當時，取最小值－1；對，當時，取最大值1，當時，取最小值－1.
如（1）若函式的最大值為，最小值為，則__，＿
（2）函式（）的值域是____
（3）若，則的最大值和最小值分別是
（4）函式的最小值是_____，此時
（5）己知，求的變化範圍
（6）若，求的最大.最小值.
特別提醒：在解含有正余弦函式的問題時，你深入挖掘正余弦函式的有界性了嗎？
（3）週期性：①.的最小正週期都是2；②和的最小正週期都是.
如(1)若，則＝___
(2) 函式的最小正週期為____
(3) 設函式，若對任意都有成立，則的最小值為____
（4）奇偶性與對稱性：正弦函式是奇函式，對稱中心是，對稱軸是直線；余弦函式是偶函式，
對稱中心是，對稱軸是直線（正(餘)弦型函式的對稱軸為過最高點或最低點且垂直於軸的直線，對稱中心為圖象與軸的交點）.
如（1）函式的奇偶性是______
（2）已知函式為常數），且，則______
（3）函式的圖象的對稱中心和對稱軸分別是
（4）已知為偶函式，求的值.
（5）單調性：上單調遞增，
在單調遞減；在上單調遞減，在上單調遞增.特別提醒，別忘了！
15.形如的函式：
（1）幾個物理量：a―振幅；―頻率（週期的倒數）；―相位；―初相；
（2）函式表示式的確定：a由最值確定；由週期確定；由圖象上的特殊點確定，
如，的圖象如圖所示，則＝_____
（3）函式圖象的畫法：①「五點法」――設，令＝0，求出相應的值，計算得出五點的座標，描點後得出圖象；②圖象變換法：這是作函式簡圖常用方法.
（4）函式的圖象與圖象間的關係：①函式的圖象縱座標不變，橫座標向左（>0）或向右（<0）平移個單位得的圖象；②函式圖象的縱座標不變，橫座標變為原來的，得到函式的圖象；③函式圖象的橫座標不變，縱座標變為原來的a倍，得到函式的圖象；④函式圖象的橫座標不變，縱座標向上（）或向下（），得到的圖象.要特別注意，若由得到的圖象，則向左或向右平移應平移個單位，
如（1）函式的圖象經過怎樣的變換才能得到的圖象？
(2) 要得到函式的圖象，只需把函式的圖象向___平移____個單位
（3）將函式影象，按向量平移後得到的函式影象關於原點對稱，這樣的向量是否唯一？若唯一，求出；若不唯一，求出模最小的向量.
（4）若函式的圖象與直線有且僅有四個不同的交點，則的取值範圍是
（5）研究函式性質的方法：模擬於研究的性質，只需將中的看成中的，但在求的單調區間時，要特別注意a和的符號，通過誘導公式先將化正.
如（1）函式的遞減區間是______（2）的遞減區間是_______
（3）設函式的圖象關於直線對稱，它的週期是，則( )
a. b.在區間上是減函式
c. d.的最大值是a
（4）對於函式給出下列結論：①圖象關於原點成中心對稱；②圖象關於直線成軸對稱；③圖象可由函式的影象向左平移個單位得到；
④影象向左平移個單位，即得到函式的影象.其中正確結論是_______
（5）已知函式圖象與直線的交點中，距離最近兩點間的距離為，那麼此函式的週期是_______
16.正切函式的圖象和性質：
（1）定義域：.遇到有關正切函式問題時，你注意到正切函式的定義域了嗎？
（2）值域是r，在上面定義域上無最大值也無最小值；
（3）週期性：是週期函式且週期是，它與直線的兩個相鄰交點之間的距離是乙個週期.絕對值或平方對三角函式週期性的影響：
一般說來，某一週期函式解析式加絕對值或平方，其週期性是：弦減半.切不變．既為週期函式又是偶函式的函式自變數加絕對值，其週期性不變，其它不定.
如的週期都是, 但的週期為，
而，的週期不變；
（4）奇偶性與對稱性：是奇函式，對稱中心是，特別提醒：正(餘)切型函式的對稱中心有兩類：
一類是圖象與軸的交點，另一類是漸近線與軸的交點，但無對稱軸，這是與正弦.余弦函式的不同之處.
（5）單調性：正切函式在開區間內都是增函式.但要注意在整個定義域上不具有單調性.如下圖：
17. 三角形中的有關公式：
(1)內角和定理：三角形三角和為，這是三角形中三角函式問題的特殊性，解題可不能忘記！任意兩角和與第三個角總互補，任意兩半角和與第三個角的半形總互餘.
銳角三角形三內角都是銳角三內角的余弦值為正值任兩角和都是鈍角任意兩邊的平方和大於第三邊的平方.
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