攻克遞推數列通項公式
【內容摘要】用特徵方程法求數列通項公式並非競賽的專利，普通的學生也可
以掌握，利用本文的三個定理，可以快捷的求出2023年高考數學
（廣東卷陝西卷）的數列壓軸題的通項公式。
【關鍵詞】特徵方程遞推數列通項公式
【正文】
2023年高考廣東的文科數學和理科數學都是以數列作為壓軸題。從得分上看，文科數學的第21題數列題的平均分是0.14分 ，共有26萬多考生得0分，2位考生得滿分；理科數學的第21題數列題的平均分是0.
71，共有16萬多位考生得0分， 103位考生得滿分。這兩個壓軸題的關鍵就是通項公式的求解。這兩個題通項公式的求解方法很多，用一般的方法需要很強的構造能力，而用數學競賽中的特徵方程法求解是比較快捷的。
而且這個方法，普通學生也可以掌握，只需掌握以下三個定理。
一、一階線性遞推數列
定理1：已知數列的項滿足其中,稱方程為數列的特徵方程，設特徵方程的根為，則（1）當時，數列為常數數列；（2）當是以為公比的等比數列。
例1．已知數列滿足：，，求
解：相應特徵方程為
所以數列是首項為的等比數列.
例2．已知數列滿足遞推關係：其中為虛數單位。當取何值時，數列是常數數列？
解：相應特徵方程為則特徵根
要使為常數數列，則必須
二、二階線性遞推數列
定理2：已知數列的項滿足，，稱方程，為數列的特徵方程。若是特徵方程的兩個根，則（1）當時，數列的通項為，其中a，b由初始值決定；（2）當時，數列的通項為，其中，由初始值決定。
例3．（2023年高考廣東卷文科數學第21題）
設數列滿足， ，數列滿足是非零整數，且對任意的正整數m和自然數k，都有
（1）求數列和的通項公式；
（2）記，求數列的前n項和sn.
解：其中數列的通項公式的求解如下：
數列相應的特徵方程為，特徵根為
可設。又由，於是 ，故
例題4.（2023年高考廣東卷理科數學第21題）．
設為實數，是方程的兩個實根，數列滿足，，（…）．
（1）證明：，；
（2）求數列的通項公式；
（3）若，，求的前項和．
解：其中數列的通項公式的求解如下：
數列相應的特徵方程為，特徵根為
1 當時，可設，由，，
得 ，
2 當時，可設，由，，
得 ，
三、一次分式遞推數列
定理3：已知數列的項滿足：且對於，都有（其中p、q、r、h，且），稱方程為數列的特徵方程.
（1）當特徵方程有兩個相同的特徵根時，
（i） 若則數列為常數數列
（ii）若，則數列為等差數列。
（2）當特徵方程有兩個相異的特徵根、時，則數列為等比數列。
例題5．（2023年高考陝西卷數學第22題）
已知數列的首項，，．
（ⅰ）求的通項公式；
（ⅱ）證明：對任意的，，；
（ⅲ）證明：．
解：其中數列的通項公式的求解如下：
數列相應的特徵方程為，特徵根為
所以數列為等比數列，由，
得數列的首項是，
所以，可以看出，用特徵方程法求特定型別的遞推數列的通項公式是非常方便快捷的，對於基礎較好的學生，該方法可以是乙個很有益的補充。
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