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2013高教社杯全國大學生數學建模競賽
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古塔的變形
摘要： 本文研究的古塔的變形問題，通過對問題背景及附件資料進行深入地分析，採用資料擬合、求平均值等方法整理出具有科學性的分析資料。通過對建築物位移監測資料處理方法的研究, 採用自回歸模型對位移監測資料進行處理, 根據建立的模型對具體建築物的監測點的位移變化量進行預報。
經過計算分析, 根據位移量之間變化的關係而建立的自回歸**模型具備較高的擬合及**精度,運用三維座標系和數學軟體將古塔的模型以空間模型的形式表現出來，直觀且科學，對於研究古塔的變形具有較高的科學性和說服性。再通過三維座標之間的回歸和三維座標與時間的回歸而分析出古塔的傾斜，彎曲，扭曲等變形狀況，通過數學軟體的計算及列表列圖的方法將結果直觀體現，通過大量的計算與分析，運用幾何和代數方法將古塔的變形量以數學的方式說明。對於分析古塔變形趨勢中，運用了位移差和位移殘差平方公式等量及與時間的關係來說明其變形趨勢。
對於問題一，通過對監測資料的分析，得出此塔為八邊形的塔，並通過平均值法求出古塔各層的中心座標，具體見表（一）。
對於問題二，通過問題一對變形監測資料的研究和處理，我們組運用了自回歸模型的方法，利用z和x,y之間的回歸關係，我們運用數學軟體計算求出a1和a2，並通過代數及其幾何關係，求出每年監測出的古塔傾斜角度。具體見圖（2）和表（2）。
對於問題中的彎曲問題，我們用古塔的中點高度發生變化的多少來表示彎曲程度，由於彎曲程度主要是隨著時間的變化而變化，所以我們用時間和變形的監測資料進行回歸擬合得出△z（表示古塔的彎曲程度），經過數學軟體的大量計算，用列表的方式將每次監測所得每層的彎曲程度表示出來，具體見表（3）。
對於問題中的扭曲問題，我們用第一層作為基層，即不扭動層，其他層相對於一層扭動了多少度來說明古塔的扭曲程度。為了這一說明，我們取每一層第一點和第五點作直線。並將每一層的直線與第一層的直線做對比，求出兩直線之間的夾角，並用此夾角來說明除第一層以外的每一層相對於第一層扭動了多少度。
以此角度大小來表現古塔扭曲程度。具體見表（4）
對於問題三，是分析古塔的變形趨勢，根據監測的變形資料和位移與時間及波動穩定性的關係，列出了乙個時期對上一時期的位移差，看出古塔變形的趨勢是向哪個方向，具體見圖（5）。再通過位移平方差公式，對古塔整體變形的趨勢波動進行分析，並結合時間等因素推算出古塔變形趨勢在增加。具體見表（5）。
關鍵詞：變形資料擬合平均值自回歸模型位移變化
三維座標系數學軟體幾何代數方法位移差位移平方差
1.1基本情況：
某古塔在我國已有上千年的歷史，是我國的重點保護文物。但由於長時間受到自重、氣溫、風力、**、颶風的影響，古塔出現了各種變形，如傾斜、彎曲、扭曲等。為保護古塔，文物部門需要適時對古塔進行觀測，了解各種變形量，以制定必要的保護措施，因此管理部門委託測繪公司先後於2023年7月、2023年8月、2023年3月和2023年3月對該古塔進行了4次觀測。
1.2需解決的問題:
問題一：根據附件1提供的4次觀測資料，給出確定古塔各層中心位置的通用方法，並列表給出各次測量的古塔各層中心座標。
問題二：利用數學模型和所得資料分析該塔傾斜、彎曲、扭曲等變形情況。
問題三：分析該塔的變形趨勢。
二、問題分析
2.1問題一的分析：
對於問題一，通過觀察所給的資料，每一層的8個觀測點都位於古塔的每層的八個角落。據此，將古塔的每一層類似看做乙個正八邊形，可用求正八邊形的中點的方法來確定古塔每一層的中點座標。通過所給每層的觀測資料，分別求x，y，z座標的平均值，近似作為古塔各層中心座標。
2.2問題二的分析：
對於問題二，主要是研究古塔的傾斜，彎曲，扭曲等變形量，據此分三點來分析問題二。
對於傾斜，主要是三維座標中x，y軸對於z軸的傾斜角度，即是對中心軸的傾斜角度，而第一題已經對每年的監測資料進行了總結，得出每次監測各層的中心座標，故運用x，y與z的自回歸模型，再通過代數和幾何關係，求出每年古塔x，y軸的傾斜角度，並加以說明，具體結果見表（2）。
對於彎曲，主要是要找出能表示彎曲程度的量，經過查詢變形量具體分析的資料，知道彎曲主要是中點的高度（z）發生了變化，列出時間和每層的中心座標的回歸擬合，並且通過數學軟體計算，得出彎曲程度△z，並列出表直觀說明，易於比較。具體結果見表（3）。
對於扭曲變數，通過matlab軟體做出的古塔空間圖形，及查詢了扭曲問題的分析的資料，我們最終採用以第一層為基層，其他層相對於古塔扭曲的度數，主要是通過每層的兩個點算出每層的斜率，再通過斜率公式算出角度，以此說明古塔每次扭曲程度的變化及大小。具體見表（4）
2.3問題三的分析：
對於該塔的變形趨勢，經過第一題和第二題，已將古塔的變形位置的中心和變形量進行了具體分析。本題要分析變形趨勢，具體是從古塔各中心點在各個時期的位移變化量，通過列位移殘差公式，得出該塔的變形趨勢。見圖（5）。
再通過整體的位移殘差平方公式，得到古塔每層在某個時期的變形趨勢波動，具體見表（5）。
三、問題假設
1． 假設該塔為正八邊形的塔
2． 假設該塔的底層不扭曲變形
3． 假設監測該塔時後兩次改變了監測位置
4． 假設地質的變動對古塔無影響
四、建立模型及求解
（一）符號說明：
1∠a為古塔與x軸構成的角度
2∠a為古塔與y軸構成的角度
3 z為中點的高度
4 △z來表示古塔的彎曲程度
5 bi為表示兩直線的夾角
6△x為x軸的位置偏移量
7△y為y軸的位置偏移量
8△z1為z軸的位置偏移量
9△s2為古塔整體的位置偏移平方差
10 i為古塔層數
11 t為從2023年開始所經過的時間
（二）模型建立及求解
3.1 對問題1的求解
根據資料中給出的各層各個點座標的值，可把古塔的每一層類似的看成乙個正八邊形。根據數學邏輯和模型，正八邊形的中心座標可用平均值法求出，故塔的中心座標為（）。 附件一是每次測量出的古塔的各層的各個點的座標，通過平均值法整理資料，得出以下結果：
表（一）
其中的x=(x1+x2+……+x8)/8得來，y，z值同理。
通過matlab做出古塔的模型**：
下圖（1）
圖（1）
3.2對問題二的求解：
對於古塔的傾斜，彎曲、扭曲等變形情況的分析，第一題通過科學分析和數學邏輯思維，用平均值法對建築物位置的監測資料進行總結，得出各個時期各個層的中心座標值，通過這些資料，運用過對建築物位移監測資料處理方法的研究, 採用自回歸模型對位移監測資料進行處理, 根據建立的模型對具體建築物的監測點的位移變化量進行預報。經過計算分析, 對古塔的變形情況進行說明。
2019高教社杯全國大學生數學建模競賽A題
儲油罐的變位識別與罐容表標定 摘要隨著工業革命的來臨，人們逐步機器生產代替手工業製造，燃油也成為了熱門話題.儲油罐作為加油站常用的貯存設施，對油品在不同液面高度時的貯油量進行精確的計量變得尤為重要，燃油灌的變位識別與罐容表的標定可以對油位計量管理系統需要進行定期校正，以提高其測量準確度.本文為了研究...
2019高教社杯全國大學生數學建模競賽A題評閱要點
說明 本要點僅供參考，各賽區評閱組應根據對題目的理解及學生的解答，自主地進行評閱。本問題的資料 於某城市對土壤環境的實地監測。評閱時，應著重注意數學模型的建立 計算方法 或所選軟體的程式語句 及選擇該方法的理由。1 可用插值擬合的方法獲得各重金屬汙染物濃度的空間分布。再參考由背景值確定的閾值，定量分...
2019高教社杯全國大學生數學建模競賽
承諾書我們仔細閱讀了中國大學生數學建模競賽的競賽規則.我們完全明白，在競賽開始後參賽隊員不能以任何方式 包括 電子郵件 網上諮詢等 與隊外的任何人 包括指導教師 研究 討論與賽題有關的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規則的,如果引用別人的成果或其他公開的資料 包括網上查到的資料 必須按照規定...