第十章約束條件下多變數函式
的尋優方法
● 將非線性規劃線性規劃
● 將約束問題無約束問題
● 將複雜問題較簡單問題
10．1約束極值問題的最優性條件
非線性規劃：min f(x)
hi(x)=0 (i=1,2,…,m) (10.1.1)
gj(x)≥0 (j=1,2,…,l)
一、 基本概念
1．起作用約束
設x(1)是問題(10.1.1)的可行點。對某gj(x)≥0而言：
或gj(x(1))=0：x(1)在該約束形成的可行域邊界上。
該約束稱為x(1)點的起作用約束。
或gj(x(1))＞0：x(1)不在該約束形成的可行域邊界上。
該約束稱為x(1)點的不起作用約束。
g1(x)
x(1)點的起作用約束對x(1)點的微小攝動有某種限制作用。
等式約束對所有可行點都是起作用約束。
2．正則點
對問題(10.1.1)，若可行點x(1)處，各起作用約束的梯度線性無關，則x(1)是約束條件的乙個正則點。
3．可行方向（對約束函式而言）
用r表示問題(10.1.1)的可行域。
設x(1)是乙個可行點。對某方向d來說，若存在實數λ1>0，使對於任意λ(0<λ<λ1)均有x(1)+λd∈r，則稱d是點x(1)處的乙個可行方向。
經推導可知，只要方向d滿足：
▽gj(x(1))td>0 (j∈j10.1.3)
即可保證它是點x(1)的可行方向。j是x(1)點起作用約束下標的集合。
在x(1)點，可行方向d與各起作用約束的梯度方向的夾角為銳角
4．下降方向（對目標函式而言）
設x(1)是問題(10.1.1)的乙個可行點。
對x(1)的任一方向d來說，若存在實數λ1>0，使對於任意λ(0<λ<λ1)均有f(x(1)+λd) 經推導可知，只要方向d滿足：
f(x(1))td<010.1.5)
即可保證它為x(1)點的下降方向。
在x(1)點，下降方向d與該點處目標函式的負梯度方向的夾角為銳角。
5．可行下降方向
在可行點x(1)處，若方向d同時滿足(10.1.3)和(10.1.5)，則它是x(1)點的可行下降方向。
若x(1)點不是極小點，繼續搜尋的方向應該從該點的可行下降方向中去找。
若某點存在可行下降方向，則它不會是極小點。
若某點是極小點，則該點不存在可行下降方向。
二、 庫恩—塔克條件（一階必要條件）
● 它是非線性規劃最重要的理論成果之一。
● 只要是最優點（且為正則點）就必然滿足它。
● 滿足它的點不一定是最優點（不是充分條件）。
● 對凸規劃而言，它是最優點的充要條件。
1．庫恩—塔克條件
對非線性規劃(10.1.1)而言，若x*是區域性（或全域性）極小點且為上述約束條件的正則點，則一定存在向量
∧*=(λ1*,λ2*,…,λm*)t及γ*=(γ1*,γ2*,…,γl*)t，使得下述條件成立：
γj*gj(x*)=0 (j=1,2,…,l10.1.7)
γj*≥0 (j=1,2,…,l10.1.8)
● 共有n+m+l個未知量（x，∧*，γ*）
● 可列n+m+l個方程（其中有m個等式約束方程）
● 由(10.1.7)知，在x*點不起作用約束gj(x*)>0 ,相應的γj*=0
● 「正則點」是k-t條件所必須的,但不是最優點所必須的。
問題(10.1.1)的廣義拉格朗日函式：
廣義拉格朗日乘子：
1*,λ2*,…,λm*及γ1*,γ2*,…,γl*
2．求滿足庫恩—塔克條件的點（k-t點）
例：求下列非線性規劃問題的k-t點
min f(x)=2x12+2x1x2+x22-10x1-10x2
g1(x)=5-x12-x22≥0 (1)
g2(x)=6-3x1-x2≥0 (2)
解：設k-t點為
共有4個未知數x1，x2，γ1，γ2
由(10.1.6)及(10.1.7)各列出2個方程。
因只有2個不等式約束，可分4種情況討論：
(1) 兩約束均不起作用：有γ1=γ2=0
(2) 約束(1)起作用，約束(2)不起作用：有γ2=0
(3) 約束(1)不起作用，約束(2)起作用：有γ1=0
(4) 兩約束均起作用：有γ1>0，γ2>0
三、 關於凸規劃的全域性最優解定理
對非線性規劃(10.1.1)而言，若f(x)是凸函式，gj(x)（j=1,2,…,l）是凹函式，hi(x) (i=1,2,…,m)是線性函式，可行域為r，x*∈r,且在x*處有庫恩—塔克條件(10.
1.6)、(10.1.
7)、(10.1.8)成立，則x*是全域性最優解。
● 上述r是凸集，f(x)是凸函式，故為凸規劃問題。
● 對凸規劃而言，k-t條件是區域性極小點的充要條件，且區域性極小點即全域性極小點。
四、 二階充分條件
1．二階充分條件
對非線性規則(10.1.1)而言，若f(x)、gj(x) (j=1,2,…,l)、hi(x)(i=1,2,…,m)二次連續可微，x*是可行點，又存在向量
∧*=(λ1*,λ2*,…,λm*)t及γ*=(γ1*,γ2*,…,γl*)t，使庫恩—塔克條件(10.1.6)、(10.
1.7)、(10.1.
8)成立，且對滿足下述(10.1.9) 、(10.
1.10)、 (10.1.
11)三條件的任意非零向量z有(10.1.12)成立， 則x*是問題(10.
1.1)的嚴格區域性極小點。
其中，j是點x*處起作用的不等式約束的下標j的集合。
是廣義拉格朗日函式在點x*處的海賽矩陣。
令滿足(10.1.9) 、(10.
1.10) 、(10.1.
11)三條件的非零向量z構成的子空間為m，則(10.1.12)式表明，廣義拉格朗日函式在點x*處的海賽矩陣在子空間m上是正定的。
2．利用k-t條件和二階充分條件求約束極小
(1) 第一種情況
若能用其它方法先求出乙個點x*，這個點是約束極小的可能性很大。不妨先假設其為約束極小，再逐一證明之。
1 證明x*是可行點
2 證明x*是正則點
3 把x*代入k-t條件(10.1.6) 、(10.1.7)、 (10.1.8)式中， 應能求出符合條件的向量 ∧*和γ*。
4 證明廣義拉格朗日函式在點x*處的海賽矩陣正定（在子空間m上）
若能證明上述四點，則x*是乙個嚴格區域性極小點。
(2)第二種情況
若不能先求出乙個可能極小點的具體值，就先求出滿足k-t條件的點x*，再證明④，則x*是乙個嚴格區域性極小點。
10．2近似規劃法
近似規劃法（map），亦稱小步梯度法，它把非線性規劃的求解變為一系列近似線性規劃的求解。
非線性規則：min f(x)
hi(x)=0 (i=1,2 ,…,m) (10.2.1)
gj(x)≥0(j=1,2,…,l)
其中，r是可行域，en是n維歐氏空間。f(x)、 hi(x) (i=1,2,…,m)和gj(x) (j=1,2,…,l)均存在一階連續偏導數。
一. 基本原理和演算法步驟
1．給定初始可行點x(1)，初始步長限制δj(1) (j=1,2,…,n)，步長縮小係數β∈(0,1)，允許誤差ε1，ε2，令k=1。
2．在點x(k)處，將f(x)、hi(x)、gj(x)按泰勒級數展開並取一階近似，得到近似線性規劃問題：
min f(x)≈f(x(k))+▽f(x(k))t (x-x(k))
hi(x)≈hi(x(k))+▽hi(x(k))t (x-x(k))=0 (i=1,2,…,m)
gj(x)≈gj(x(k))+▽gj(x(k))t (x-x(k))≥0 (j=1,2,…,l)
3．在上述近似線性規劃的基礎上，增加一組限制步長的線性約束後，求解之，得到最優解x(k+1)。由於線性近似通常只在展開點附近近似程度較高，故需限制變數取值範圍：
xj-xj(k)|≤δj(k) (j=1,2,…,n)
即 -δ1(k)≤x1-x1(k)≤δ1(k)
2(k)≤x2-x2(k)≤δ2(k)
x2 2 - bc
1 - ad
0x1例如二維問題：已知x(k)=(3,1.5)t，δ(k)=(2,0.5)t
則所增約束的可行域為矩形abcd
4．檢驗x(k+1)點對原始約束是否可行？
若不可行，則縮小步長限制，令δj(k)=βδj(k) (j=1,2,…,n)，
返回步驟3
若可行，則轉步驟5
5．判斷精度
若|f(x(k+1))-f(x(k))|<ε1，且|| x(k+1) -x(k)||<ε2，
或者|δj(k)| <ε2 (j=1,2,…,n)，則x(k+1)為近似最優解；
否則，令δj(k)=δj(k) (j=1,2,…,n)，置k=k+1，返回步驟2。
● δ(k)的大小對演算法影響很大，須根據初始點、函式性態等進行選擇。
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