1．正弦定理和餘弦定理
2.在△abc中，已知a，b和a時，解的情況
3.三角形中常用的面積公式
(1)s＝ah(h表示邊a上的高)；
(2)s＝bcsin a＝acsin b＝absin c；
(3)s＝r(a＋b＋c)(r為△abc內切圓半徑)．
1．(夯基釋疑)判斷下列結論的正誤．(正確的打「√」，錯誤的打「×」)
(1)在△abc中，∠a>∠b必有sin a>sin b．( )
(2)在△abc中的六個量中，若已知三個量，則可求另外三個量．( )
(3)在△abc中，若b2＋c2>a2，則△abc為銳角三角形．( )
(4)在△abc中，若a＝60°，a＝4，b＝4，則∠b＝45°或∠b＝135°.( )
[解析] (1)中，sin a>sin ba>b∠a>∠b，(1)正確．
在(2)中，已知三個量中至少有乙個邊，才可求另外三個量，(2)不正確．
在(3)中，a為銳角，△abc不一定是銳角三角形．(3)不正確．
在(4)中，a>b∠b<∠a，則∠b＝45°，(4)不正確．
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×
2．(教材習題改編)在△abc中，a＝15，b＝10，a＝60°，則cos b
[解析] 由正弦定理，知＝，∴sin b＝＝＝.
∵a>b且∠a＝60°，∴∠b<∠a＝60°，∴cos b>0，
∴cos b＝.
[答案]
3．在△abc中，a＝3，b＝2，cos c＝則△abc的面積為________．
[解析] 由cos c＝得sin c＝＝＝.
∴s△abc＝absin c＝×3×2×＝4.
[答案] 4
4．(2014·廣東高考)在△abc中，角a，b，c所對應的邊分別為a，b，c，已知bcos c＋ccos b＝2b，則
[解析] 因為bcos c＋ccos b＝2b，
所以b·＋c·＝2b，
化簡可得＝2.
[答案] 2
5．在△abc中，a＝，b＝，sin b＝，則符合條件的三角形有________個．
[解析] ∵asin b(見學生用書第68頁)
考向1 判定三角形的形狀
【典例1】 在△abc中，a，b，c分別為內角a，b，c的對邊，且2asin a＝(2b＋c)sin b＋(2c＋b)sin c.
(1)求a的大小；
(2)若sin b＋sin c＝1，試判斷△abc的形狀．
[解] (1)由已知，根據正弦定理得
2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.
由餘弦定理，a2＝b2＋c2－2bccos a，
∴bc＝－2bccos a，cos a＝－.
又0＜a＜π，∴a＝π.
(2)由(1)知sin2a＝sin2b＋sin2c＋sin bsin c，
∴sin2a＝(sin b＋sin c)2－sin bsin c.
又sin b＋sin c＝1，且sin a＝，
∴sin bsin c＝，因此sin b＝sin c＝.
又b、c∈，故b＝c.
所以△abc是等腰的鈍角三角形．
【規律方法】
1．(1)先用正弦定理化邊角混合式為邊的關係式，再用餘弦定理求角．
(2)利用正弦定理把(1)中關係式a2＝b2＋c2＋bc化為角的關係式．按角判斷三角形形狀．
2．(1)判定三角形形狀的途徑：(1)化邊為角，通過三角變換找出角之間的關係．(2)化角為邊，通過代數變形找出邊之間的關係．正(餘)弦定理是轉化的橋梁．
(2)無論使用哪種方法，都不要隨意約掉公因式；要移項提取公因式，否則會有漏掉一種形狀的可能．
【變式訓練1】 已知△abc的內角a，b，c成等差數列且a，b，c所對的邊分別為a，b，c，則下列命題中正確的有________(填所有正確命題序號)．
①b＝；
②若a，b，c成等比數列，則△abc為等邊三角形；
③若a＝2c，則△abc為銳角三角形；
④若tan a＋tan c＋>0，則△abc為鈍角三角形．
[解析] 對於①，∵a，b，c成等差數列，∴a＋c＝2b，又a＋b＋c＝π，∴b＝，故①正確．
對於②由餘弦定理得b2＝a2＋c2－2accos b＝a2＋c2－ac，
又b2＝ac，∴a2＋c2－ac＝ac即(a－c)2＝0，∴a＝c，又b＝，∴△abc為等邊三角形，故②正確．
對於③，若a＝2c，則
b2＝a2＋c2－2accos b＝4c2＋c2－2c2＝3c2，∴b＝c，此時滿足a2＝b2＋c2說明△abc是直角三角形，故③不正確．
對於④由b＝得a＋c＝.∴tan a＋tan c＝tan (a＋c)(1－tan atan c)＝－(1－tan atan c)
＝－＋tan atan c.
∴tan a＋tan c＋＝tan atan c.
若tan a＋tan c＋>0則tan atan c>0.
∴tan a，tan c同號，又在△abc中，a，c不能同為鈍角．
∴tan a，tan c只能同正，故a、c都是銳角．
∴△abc為銳角三角形，故④不正確．
[答案] ①②
考向2 與三角形面積有關的問題
【典例2】 (1)(2014·課標全國卷ⅱ改編)鈍角三角形abc的面積是，ab＝1，bc＝，則ac
(2)(2014·江西高考改編)在△abc中，內角a，b，c所對的邊分別為a，b，c，若c2＝(a－b)2＋6，c＝，則△abc的面積是________．
[解析] (1)s△abc＝ab·bcsin b＝×1×
sin b＝，
∴sin b＝，若b＝45°，則由餘弦定理得ac＝1，∴△abc為直角三角形，不符合題意，因此b＝135°，由餘弦定理得ac2＝ab2＋bc2－2ab·bccos b＝1＋2－2×1××＝5，
∴ac＝，符號題意．
(2)c2＝(a－b)2＋6，即c2＝a2＋b2－2ab＋6，①
∵c＝，由餘弦定理得c2＝a2＋b2－ab，②
由①②得ab＝6，∴s△abc＝absin c＝×6×＝.
[答案] (1) (2),
【規律方法】
1．(1)先利用面積公式求b，再由餘弦定理求ac，但要注意b為鈍角．(2)由已知條件及餘弦定理，先求出ab，進而利用面積公式求出面積．
2．(1)面積公式s＝absin c涉及邊、角，容易和正、餘弦定理聯絡起來．(2)選擇餘弦定理和面積公式時，一般應選擇角確定的一組．
【變式訓練2】 (2013·課標全國卷ⅱ)△abc的內角a，b，c的對邊分別為a，b，c，已知a＝bcos c＋csin b.
(1)求b；
(2)若b＝2，求△abc面積的最大值.
[解] (1)由已知及正弦定理得
sin a＝sin bcos c＋sin csin b．①
又a＝π－(b＋c)，
故sin a＝sin(b＋c)＝sin bcos c＋cos bsin c．②
由①②和c∈(0，π)得sin b＝cos b.
又b∈(0，π)，所以b＝.
(2)△abc的面積s＝acsin b＝ac.
由已知及餘弦定理得4＝a2＋c2－2accos.
又a2＋c2≥2ac，
故ac≤，當且僅當a＝c時，等號成立．
因此△abc面積的最大值為＋1.
考向3 利用正弦、餘弦定理解三角形(高頻考點)
命題視角解三角形是高考考查的重要內容，主要命題角度有：(1)已知邊、角關係求邊或角；(2)與三角函式、平面向量綜合；(3)與數列、不等式綜合．
【典例3】 (1)(2014·江蘇高考)若△abc的內角滿足sin a＋sin b＝2sin c，則cos c的最小值是________．
(2)(2014·安徽高考)設△abc的內角a，b，c所對邊的長分別是a，b，c，且b＝3，c＝1，a＝2b.
①求a的值；
②求sin的值．
[思路點撥]
(1)先用正弦定理化角的關係式為邊的關係式，結合餘弦定理用邊表示cos c，然後用基本不等式求最值．
(2)①用正、餘弦定理化角的關係式為邊的關係式，列出關於a的方程．
②用餘弦定理求cos a，進而利用平方關係求sin a.
[解析] (1)∵sin a＋sin b＝2sin c，
∴由正弦定理可得a＋b＝2c.
∴cos c＝＝
＝＝≥＝，
當且僅當a＝b時等號成立，故cos c的最小值為.
[答案]
(2)①因為a＝2b，所以sin a＝sin 2b＝2sin bcos b.
由正、餘弦定理得a＝2b·.
3 5正弦定理和餘弦定理
第3章第5節 一 選擇題 1 文 2010 泰安模考 在 abc中，若a 60 bc 4，ac 4，則角b的大小為 a 30b 45 c 135d 45 或135 答案 b 解析 ac sin60 4 2 4 4，故 abc只有一解，由正弦定理得，sinb 4 4，b 理 在 abc中，角a b c...
《正弦定理和餘弦定理》教學反思
我對教學所持的觀念是 數學學習的主要目的是 在掌握知識的同時，領悟由其內容反映出來的數學思想方法，要在思維能力 情感態度與價值觀等多方面得到進步和發展。數學學習的有效方式是 主動 合作。現代教育應是開放性教育，師生互動的教育，探索發現的教育，充滿活力的教育。可是這些說起來容易，做起來卻困難重重，平時...
正弦定理 餘弦定理總結和應用
1 掌握正弦定理 餘弦定理，並能解決一些簡單的三角形度量問題 2 能夠運用正弦定理 餘弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題 主要考查有關定理的應用 三角恒等變換的能力 運算能力及轉化的數學思想 解三角形常常作為解題工具用於立體幾何中的計算或證明，或與三角函式聯絡在一起求距離 高度...