1. ,.
2..3.
4.集合的子集個數共有個;真子集有個;非空子集有個;非空的真子集有個.
5.二次函式的解析式的三種形式
(1)一般式;
(2)頂點式;當已知拋物線的頂點座標時,設為此式
(3)零點式;當已知拋物線與軸的交點座標為時,設為此式
4切線式:。當已知拋物線與直線相切且切點的橫座標為時,設為此式
6.解連不等式常有以下轉化形式
.7.方程在內有且只有乙個實根,等價於或。
8.閉區間上的二次函式的最值
二次函式在閉區間上的最值只能在處及區間的兩端點處取得,具體如下:
(1)當a>0時,若,則;
,,.(2)當a<0時,若,則,
若,則,.
9.一元二次方程=0的實根分布
1方程在區間內有根的充要條件為或;
2方程在區間內有根的充要條件為
或或;3方程在區間內有根的充要條件為或 .
10.定區間上含引數的不等式恆成立(或有解)的條件依據
(1)在給定區間的子區間形如,,不同上含引數的不等式(為引數)恆成立的充要條件是。
(2)在給定區間的子區間上含引數的不等式(為引數)恆成立的充要條件是。
(3) 在給定區間的子區間上含引數的不等式(為引數)的有解充要條件是。
(4) 在給定區間的子區間上含引數的不等式(為引數)有解的充要條件是。
對於引數及函式.若恒成立,則;若恒成立,則;若有解,則;若有解,則;若有解,則.若函式無最大值或最小值的情況,可以仿此推出相應結論
11.真值表
12.常見結論的否定形式
13.四種命題的相互關係(右圖):
14.充要條件記表示條件,表示結論
1充分條件:若,則是充分條件.
2必要條件:若,則是必要條件.
3充要條件:若,且,則是充要條件.
注:如果甲是乙的充分條件,則乙是甲的必要條件;反之亦然.
15.函式的單調性的等價關係
(1)設那麼
上是增函式;
上是減函式.
(2)設函式在某個區間內可導,如果,則為增函式;如果,則為減函式.
16.如果函式和都是減函式,則在公共定義域內,和函式也是減函式; 如果函式和都是增函式,則在公共定義域內,和函式也是增函式; 如果函式和在其對應的定義域上都是減函式,則復合函式是增函式; 如果函式和在其對應的定義域上都是增函式,則復合函式是增函式;如果函式和在其對應的定義域上乙個是減函式而另乙個是增函式,則復合函式是減函式.
17.奇偶函式的圖象特徵
奇函式的圖象關於原點對稱,偶函式的圖象關於y軸對稱;反過來,如果乙個函式的圖象關於原點對稱,那麼這個函式是奇函式;如果乙個函式的圖象關於y軸對稱,那麼這個函式是偶函式.
18.常見函式的影象:
19.對於函式(),恆成立,則函式的對稱軸是;兩個函式與的圖象關於直線對稱.
20.若,則函式的圖象關於點對稱;
若,則函式為週期為的週期函式.
21.多項式函式的奇偶性
多項式函式是奇函式的偶次項(即奇數項)的係數全為零.
多項式函式是偶函式的奇次項(即偶數項)的係數全為零.
22.函式的圖象的對稱性
(1)函式的圖象關於直線對稱.
(2)函式的圖象關於直線對稱
.23.兩個函式圖象的對稱性
(1)函式與函式的圖象關於直線(即軸)對稱.
(2)函式與函式的圖象關於直線對稱.
(3)函式和的圖象關於直線y=x對稱.
24.若將函式的圖象右移、上移個單位,得到函式的圖象;若將曲線的圖象右移、上移個單位,得到曲線的圖象.
25.幾個常見的函式方程
(1)正比例函式.
(2)指數函式.
(3)對數函式.
(4)冪函式.
(5)余弦函式,正弦函式,,
. 26.幾個函式方程的週期(約定a>0)
1,則的週期t=a;
2,或,則的週期t=2a;
(3),則的週期t=3a;
(4)且,則的週期t=4a;
27.分數指數冪
(1),且.
(2),且.
28.根式的性質
1.2當為奇數時,;
當為偶數時,.
29.有理指數冪的運算性質
(1) .
(2) .
(3).
注:若a>0,p是乙個無理數,則ap表示乙個確定的實數.上述有理指數冪的運算性質,對於無理數指數冪都適用.
30.指數式與對數式的互化式: .
31.對數的換底公式 : (,且,,且, ).
對數恒等式:(,且, ).
推論 (,且, ).
32.對數的四則運算法則:若a>0,a≠1,m>0,n>0,則
(1); (2) ;
(3); (4) 。
33.設函式,記.若的定義域為,則且;若的值域為,則,且。
34. 對數換底不等式及其推廣:設,,,且,則
1. 2.
35. 平均增長率的問題負增長時
如果原來產值的基礎數為n,平均增長率為,則對於時間的總產值,有.
36.數列的通項公式與前n項的和的關係:( 數列的前n項的和為).
37.等差數列的通項公式:;
其前n項和公式為:.
38.等比數列的通項公式:;
其前n項的和公式為或.
39.等比差數列:的通項公式為
;其前n項和公式為:.
40.分期付款(按揭貸款) :每次還款元(貸款元,次還清,每期利率為).
41.常見三角不等式
1若,則.
(2) 若,則.
(3) .
42.同角三角函式的基本關係式 :,=,.
43.正弦、余弦的誘導公式奇變偶不變,符號看象限
,44.和角與差角公式
;;.(平方正弦公式);
.=(輔助角所在象限由點的象限決定, ).
45.二倍角公式及降冪公式 ..
.46.三角函式的週期公式
函式,x∈r及函式,x∈r(a,ω,為常數,且a≠0)的週期;函式,(a,ω,為常數,且a≠0)的週期.
三角函式的影象:
五點法作圖列表:
47.正弦定理:r為外接圓的半徑.
48.餘弦定理
;;.53.面積定理
1分別表示a、b、c邊上的高.
2.(3).
49.三角形內角和定理
在△abc中,有
.50. 簡單的三角方程的通解
. ..特別地,有. .
.51.最簡單的三角不等式及其解集 ..
. . ..
52.實數與向量的積的運算律:設λ、μ為實數,那麼
(1) 結合律
(2)第一分配律
(3)第二分配律
53.向量的數量積的運算律:
(1) ·= · 交換律;
(2(3
54.平面向量基本定理
如果、是同一平面內的兩個不共線向量,那麼對於這一平面內的任一向量,有且只有一對實數λ1、λ2,使得=λ1+λ2.
不共線的向量、叫做表示這一平面內所有向量的一組基底.
三點a、b、c共線的充要條件: (m為任意點)
55.向量平行的座標表示
設=,=,且,則 ().
56. 與的數量積(或內積):·=||||。
57. ·的幾何意義:
數量積·等於的長度||與在的方向上的投影||的乘積.
向量在向量上的投影:||=.
58.平面向量的座標運算
(1)設=,=,則+=.
(2)設=,=,則-=.
(3)設a,b,則.
(4)設=,則=.
(5)設=,=,則·=.
59.兩向量的夾角公式
(=,=).
60.平面兩點間的距離公式
=(a,b).
61.向量的平行與垂直 :設=,=,且,則
||=λ .
() ·=0.
62.線段的定比分公式 :設,,是線段的分點,是實數,且,則.
63.三角形的重心座標公式
△abc三個頂點的座標分別為、、,則△abc的重心的座標是.
64.點的平移公式
.注:圖形f上的任意一點p(x,y)在平移後圖形上的對應點為,且的座標為.
65.「按向量平移」的幾個結論
1點按向量=平移後得到點.
(2) 函式的圖象按向量=平移後得到圖象,則的函式解析式為.
(3) 圖象按向量=平移後得到圖象,若的解析式,則的函式解析式為.
(4)曲線:按向量=平移後得到圖象,則的方程為.
(5) 向量=按向量=平移後得到的向量仍然為=.
66. 三角形五「心」向量形式的充要條件
設為所在平面上一點,角所對邊長分別為,則
1為的外心.
2為的重心.
3為的垂心.
4為的內心.
5為的的旁心.
67.常用不等式:
1(當且僅當a=b時取「=」號).
2(當且僅當a=b時取「=」號).34
5.6(當且僅當a=b時取「=」號)。
68.最值定理:已知都是正數,則有
1若積是定值,則當時和有最小值;
2若和是定值,則當時積有最大值.
3已知,若則有
。4已知,若則有
69.一元二次不等式,如果與同號,則其解集在兩根之外;如果與異號,則其解集在兩根之間.簡言之:同號兩根之外,異號兩根之間.;.
70.含有絕對值的不等式 :當a> 0時,有.或.
71.無理不等式
1 .2.
3.72.指數不等式與對數不等式
(1)當時,
; .
(2)當時,
; 73.斜率公式
、.74.直線的五種方程
1點斜式 (直線過點,且斜率為).
2斜截式 (b為直線在y軸上的截距).
3兩點式
兩點式的推廣:無任何限制條件!
(4)截距式 (分別為直線的橫、縱截距,)
5一般式 (其中a、b不同時為0).
直線的法向量:,方向向量:
75.兩條直線的平行和垂直
(1)若,
①; ②.
(2)若,,且a1、a2、b1、b2都不為零,
①;②;
,,,此時直線
76.四種常用直線系方程及直線系與給定的線段相交:
(1)定點直線系方程:經過定點的直線系方程為(除直線),其中是待定的係數; 經過定點的直線系方程為,其中是待定的係數.
(2)共點直線系方程:經過兩直線,的交點的直線系方程為(除),其中λ是待定的係數.
(3)平行直線系方程:直線中當斜率k一定而b變動時,表示平行直線系方程.與直線平行的直線系方程是(),λ是參變數.
(4)垂直直線系方程:與直線 (a≠0,b≠0)垂直的直線系方程是,λ是參變數.
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