雙流中學2014屆高三第十一周周考試題
數學（文史類）
出題人：高三文科備課組
第ⅰ卷選擇題（共50分）
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．已知集合,集合, ,則（ ）
a． b． c． d．
【解析】選d.
2．下列函式中，既是偶函式，又是在區間上單調遞減的函式是（ ）
a． b． c． d．
【解析】單調遞增，且為非奇非偶函式，不成立。是偶函式，但在上遞增，不成立。為偶函式，但在上不單調，不成立，所以選d.
3．「成立」是「成立」的 ( )
（a）充分不必要條件b）必要不充分條件
（c）充要條件d）既不充分也不必要條件
【解析】由得或。所以「成立」是「成立」的必要不充分條件，選b.
4．有5條線段分別為1,3,5,7,9，從這5條線段中任取3條，則所取3條線段能構成乙個三角形的概率為( )
a. b. c. d.
【解析】滿足三角形兩邊之和兩邊之差與第三邊關係選b
5．在△中，若，則此三角形必為（ ）
a．等腰三角形 b．等邊三角形 c．直角三角形 d．等腰直角三角形
【解析】由，得，即，即，所以，即三角形為等腰三角形，選a.
6．設是兩條不同的直線,α.β是兩個不同的平面, （ ）
a．若m∥α,n∥α,則m∥n b．若m∥α,m∥β,則α∥β
c．若m∥n,m⊥α,則n⊥α d．若m∥α,α⊥β,則m⊥β
【解析】c
7．函式在同一平面直角座標系內的大致圖象為
【解析】令。則，排除a,d.又，所以排除b,選c.
8．中，設，那麼動點的軌跡必通過的（ ）
a.垂心b.內心c.外心 d.重心
【解析】假設bc的中點是o.則,即，所以,所以動點**段的中垂線上，所以動點的軌跡必通過的外心，選c.
9．若函式滿足，且時，，函式，則函式在區間內的零點的個數為
a．8 b．9 c．10 d．13
【解析】由可知函式的週期是2.由得，分別做出函式的圖象，由圖象可知兩函式的交點有9個，所以函式的零點個數為9個，選b.
10．已知橢圓：和雙曲線：有相同的焦點、，是它們的共同焦距，且它們的離心率互為倒數，是它們在第一象限的交點，當時，下列結論中正確的是（ ）
【解析】設橢圓的離心率為，則.雙曲線的離心率為，.，則由餘弦定理得，當點看做是橢圓上的點時,有，當點看做是雙曲線上的點時,有，兩式聯立消去得，又因為，代入得，整理得，即，選a.
w. k#s5_
第ⅱ卷 （非選擇題共100分）
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分。
11．已知公差不為零的等差數列的前n項和為則等於
【解析】由得，即。所以，所以。
12．如圖，某三稜錐的三檢視都是直角邊為2的等腰直角三角形，則該三稜錐的體積是_______
【解析】由三檢視可知，該幾何體是乙個三稜錐，三稜錐的三個側面都是等腰直角三角形，,所以
． 13．已知拋物線y2＝2x的焦點是f，點p是拋物線上的動點，又有點a(3,2)．則|pa|＋|pf|的最小值是 ，取最小值時p點的座標
【答案】，
【解析】拋物線的準線為。過p做pm垂直於準線於m過a做an垂直於準線於n，則根據拋物線的定義知，所以，所以的最小值為，此時三點共線。，此時，代入拋物線得，即取最小值時p點的座標為。
14．若函式在上是單調增函式，則實數的取值範圍是____.
【答案】
【解析】設，則，若，則函式遞增，要使函式在上是單調增函式，則有遞增，所以有，即，所以。若，則函式遞減，要使函式在上是單調增函式，則有遞減，所以有，即，解得。所以實數的取值範圍是或。
即。15.已知點與點在直線的兩側，給出下列命題：
① ；② 時，有最小值，無最大值；
③ 存在正實數，使得恆成立
④ 且，時, 則的取值範圍是.
其中正確的命題是把你認為所有正確的命題的序號都填上）．
【解析】因為點p,q在直線的兩側，所以，即，所以①錯誤。當時，得，即，所以無最小值，所以②錯誤。的幾何意義為點到原點的距離。
則原點到直線的距離，所以,所以只要，則有成立，所以③正確，如圖.的幾何意義表示點到點連線斜率的取值範圍。由圖象可知或，即的取值範圍為，所以④正確。
所以正確的命題為③④。
三、解答題：共6大題，共75分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
16．（本小題滿分12分）已知函式，．
（1）求函式的最小正週期；
（2）設△的內角、、的對邊分別為、、，且，，，求的值．
【答案】解：（ⅰ），
則的最小正週期是6分
（ⅱ），則，
∵，∴∴
∵，由正弦定理，得
由餘弦定理，得，②
由①②解得12分）
17．設數列的前項和為.已知，，。
（ⅰ）求數列的通項公式；
（ⅱ）記為數列的前項和，求；
【答案】（ⅰ）由題意，，則當時，.
兩式相減，得2分
又因為4分
所以數列是以首項為，公比為的等比數列，……………………5分
所以數列的通項公式是6分
（ⅱ）因為，
12分 18．（本小題滿分12分）經銷商經銷某種農產品，在乙個銷售季度內，每售出1 t該產品獲利潤500元，未售出的產品，每1 t虧損300元．根據歷史資料，得到銷售季度內市場需求量的頻率分布直方圖，如圖所示．經銷商為下乙個銷售季度購進了130 t該農產品．以x(單位： t，100≤x≤150)表示下乙個銷售季度內的市場需求量，t(單位：元)表示下乙個銷售季度內經銷該農產品的利潤．
(1)將t表示為x的函式；
(2)根據直方圖估計利潤t不少於57 000元的概率．
解 (1)當x∈[100，130)時，
t＝500x－300(130－x)＝800x－39 000.
當x∈[130，150]時，t＝500×130＝65 000.
所以t＝
(2)由(1)知利潤t不少於57 000元當且僅當120≤x≤150.
由直方圖知需求量x∈[120，150]的頻率為0.7，所以下乙個銷售季度內的利潤t不少於57 000元的概率的估計值為0.7.
19．（本小題滿分12分） 如圖，已知三稜錐a－bpc中，ap⊥pc，ac⊥bc，m為
ab中點，d為pb中點，且△pmb為正三角形．
(1)求證：dm∥平面apc；
(2)求證：平面abc⊥平面apc；
【答案】：(1)由已知得，md是△abp的中位線 ∴md∥ap
∵md面apc，ap面apc
∴md∥面apc
(2)∵△pmb為正三角形，d為pb的中點，
∴md⊥pb，∴ap⊥pb 又∵ap⊥pc，pb∩pc＝p ∴ap⊥面pbc
∵bc面pbc ∴ap⊥bc 又∵bc⊥ac，ac∩ap＝a
∴bc⊥面apc ∵bc面abc ∴平面abc⊥平面apc
20．（本小題滿分13分）已知曲線的方程為，曲線是以、為焦點的橢圓，點為曲線與曲線在第一象限的交點，且．
(1)求曲線的標準方程；
(2)直線與橢圓相交於，兩點，若的中點在曲線上，求直線的斜率的取值範圍．
【答案】解：（1）依題意，，,利用拋物線的定義可得，
點的座標為………2分
,又由橢圓定義得.…4分
，所以曲線的標準方程為； ……6分
（2）（方法一）設直線與橢圓交點，的中點的座標為，
設直線方程為
與聯立得
由8分由韋達定理得
將m(,)代入整理得 ②…10分
將②代入①得令則
且………12分
（方法二）設直線與橢圓交點，的中點的座標為，
將的座標代入橢圓方程中，得
兩式相減得7分
，直線的斜率， ………8分
由，，解得，或（舍）
由題設，， ……10分
即12分
21．（本小題滿分14分）已知函式f(x)= .
(ⅰ)求f(x)的單調區間;
(ⅱ)證明:當f(x1)=f(x2)(x1≠x2)時,x1+x2<0.
【答案】解: (ⅰ)
. 所以,.
(ⅱ)由(ⅰ)知,只需要證明:當x>0時f(x) < f(-x)即可.. .
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