一．質點運動學
基本內容：位置向量，速度，加速度，他們的微積分關係，自然座標下切、法向加速度，極座標下徑向速度，橫向速度，直線運動，拋物運動，圓周運動，角量描述，相對運動
1.運動學中的兩類問題
★(1)已知運動方程求質點的速度、加速度。這類問題主要是利用求導數的方法。
例1 一艘船以速率ｕ駛向碼頭p，另一艘船以速率v自碼頭離去，試證當兩船的距離最短時，兩船與碼頭的距離之比為：
設航路均為直線，為兩直線的夾角。
證：設任一時刻船與碼頭的距離為x、y，兩船的距離為l，則有
對ｔ求導，得
將代入上式，並應用作為求極值的條件，則得
由此可求得
即當兩船的距離最短時，兩船與碼頭的距離之比為
★(2)已知質點加速度函式a＝a(x，v，t)以及初始條件，建立質點的運動方程。這類問題主要用積分方法。
例2 一質點從靜止開始作直線運動，開始時加速度為a0，此後加速度隨時間均勻增加，經過時間τ後，加速度為2a0，經過時間2τ後，加速度為3 a0 ,…求經過時間nτ後，該質點的速度和走過的距離。
解：設質點的加速度為a = a0+ t
∵ t = 時， a =2 a0a0 /
即a = a0+ a0 t
由 a = dv /dt ， 得 dv = adt
由 v = ds /dt ， ds = v dt
t = n 時，質點的速度
質點走過的距離
2.相對運動
例3 有一寬為l的大江，江水由北向南流去．設江中心流速為u0，靠兩岸的流速為零．江中任一點的流速與江中心流速之差是和江心至該點距離的平方成正比．今有相對於水的速度為的汽船由西岸出發,向東偏北45°方向航行，試求其航線的軌跡方程以及到達東岸的地點．
解：以出發點為座標原點，向東取為x軸，向北取為y軸，因流速為-y方向，由題意可得ux = 0
uy = a(xl/2)2＋b
令 x = 0, x = l處 uy = 0, x = l/2處 uy＝－u0，代入上式定出a＝4u0/l2、ｂ＝－u0，
而得船相對於岸的速度(vx，vy)明顯可知是
將上二式的第一式進行積分，有
還有，即
因此，積分之後可求得如下的軌跡(航線)方程
到達東岸的地點(x，y )為
二．質點動力學
1.牛頓運動定律
基本內容：牛頓運動三定律，慣性力
(1)運用微積分處理力學問題：根據力函式的形式選擇運動定律的形式；正確地分離變數
例4 如例4圖，光滑水平面上固定一半徑為r的薄圓筒，質量為m的物體在筒內以初速率v0沿筒的內壁逆時針方向運動，物體與筒內壁接觸處的摩擦係數為μ。求：
(1)作用在物體上的摩擦力；
(2)物體的切向加速度；
(3)物體速度從v0減小到v0/3所需的時間和經歷的路程。
解由題意知物體作半徑為r的圓周運動，設任一時刻t物體的速率為v，受力情況如例4圖所示，n和f分別是環內壁作用在物體上的彈力和摩擦力，物體所受重力和水平面的支承力在豎直方向相互平衡，圖中未畫出。在自然座標系中的分量式是
(1)由，得
兩邊積分得故
再由摩擦力公式和(2.31)式得
即摩擦力隨時間t逐漸減小；方向沿圓周切向與物體相對於筒的運動方向相反。
(2)由(2.32)式得
(3)當時，有得
再由，有
兩邊積分
ds＝rv0
得s＝ln(r＋μv0t)|＝ln 3
例5 繩子張力
一條質量分布均勻的繩子，質量為m、長度為l，一端拴在豎直轉軸oo′上，並以恆定角速度ω在水平面上旋轉．設轉動過程中繩子始終伸直不打彎，且忽略重力，求距轉軸為r處繩中的張力t( r)．
解：取距轉軸為r處，長為d r的小段繩子，其質量為 ( m/l ) dr ．
取元，畫元的受力圖)
由於繩子作圓周運動，所以小段繩子有徑向加速度，由牛頓定律得：
t ( r )- (t + dt ) = ( m / l) dr rω2
得dt =－( mω2 / l) r dr
由於繩子的末端是自由端 t (l) = 0
有(2)牛頓定律只在慣性系中成立，非慣性係中應用相對運動關係式或引入慣性力。
例6 一光滑直杆oa與豎直軸oz成α 角（α為常數）．直杆以勻角速度繞oz軸轉動，桿上有一質量為m的小滑環，在距o點為l處與直杆相對靜止如圖示．試以oa桿為參考係求出此時杆的角速度ω，並討論小滑環是否處於穩定平衡？
解：(1) 取杆oa為參考係，小環處於靜止狀態，受力如圖：、及慣性離心力三者合力為零.
其中 將①式沿oa杆方向取投影可得
(2) 因為n與杆是垂直的，故無論n取何值，都不影響小環沿杆的運動．現假定小環受到乙個擾動，向杆a端發生一位移l，即l大於零．由上面②式知：
即慣性離心力f′沿杆的分量大於重力沿杆的分量，二者方向相反，合力指向杆的a端，故小環將沿杆向a端加速，不能再返回平衡位置．反之，如小環向o
端發生一l位移，此時l < 0，故
小環將受到乙個指向杆o端的合力，也不會再返回平衡位置
∴ 小環所處平衡是不穩定平衡．
2.動量定理及守恆定律
基本內容：質點及質點系動量定理，動量守恆定律，質心及其運動定理
(1) 若，則系統無論在哪個方向動量都守恆；若，但系統在某一方向上的合外力為零，則該方向上動量守恆。
(2)碰撞、打擊問題中，在δt→0時，只能忽略恆定的有限大小的主動外力(例如重力)，而隨碰撞而變化的被動外力(例如支援力)一般是不能忽略的。
(3)若遇到變質量系統，要正確分析出t時刻和(t＋dt)時刻的動量。
★例7：可變質量系統
圖示一輛總質量為m的裝滿砂子的小車，車下有一可調節的小孔，當小孔開啟時，砂子從小孔中豎直漏出．設每秒均勻漏出砂子的質量為m，當小車在水平恒力的作用下，在水平地面上由靜止開始運動時，砂子也同時開始從小孔中漏出．如果小車行進時的摩擦可以忽略不計，試由動量定理證明t時刻小車的運動速度和加速度分別為
,證：設t時刻小車的質量為 ，小車的速度為v (t)，t + dt時刻小車的質量為
小車的速度為
★由動量定理列出水平方向的方程
略去兩次小量
由①式可直接得出
*例8：二體質點系問題
今有質量分別為m1和m2的兩個質點組成的系統，忽略外力作用，其質心處於靜止狀態．當質量為m1的質點繞質心作半徑為r1的勻速圓周運動時，質點m2作何種運動？
解：將座標原點o建在質心c上，則有
大學物理 劉果紅 力學
力學力學主要是研究物體機械運動的規律及其應用的。機械運動是最簡單 最基本的運動形式，它指的是物體之間的相互位置隨時間的變化。力學包括運動學 動力學。質點運動學是研究物體在空間的位置如何隨時間改變的，但不討論改變的原因 質點動力學是研究物體間的相互作用以及由其引起的物體機械運動的變化。質點運動學 一 ...
河北科技大學大學物理答案力學
第一章質點運動學 1 1.質點運動學方程為 si 求時的速度和加速度 寫出正交分解式 解 當時，當時，1 2 一質點沿直線運動，其座標與時間有如下關係 si a 皆為常數 求任意時刻質點的速度和加速度。解 1 3 一質點運動的加速度為 si 其初始速度與初始位矢均為0，求 1 則時該質點的速度 2 ...
山東科技大學大學物理學習指導11 22章例題
第十一章靜電場 例題答案 11 1.b 11 2.b 11 3.b 11 4.從o點指向缺口中心點 11 5沿矢徑op 11 6.d 11 7.向右 向右 11 8.見書上 11 9.d 11 10.c 11 11.c 11 12.45 v 15 v 11 13 14.見書上 11 15.無答案 練...